高一数学 期末复习试卷（四）- 2020-2021学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

高一数学 期末复习试卷（四）（人教A版）

一、单项选择题

1．下列命题中的真命题是（    ）

A．，

B．命题“”的否定

C．“直线与直线垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于-1”

D．“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件

【答案】D

【解析】

对于选项A，当时，不成立，故A错误；

对于选项B，命题“，”的否定是“”，

当不成立，故B错误；

对于选项C，当一直线斜率为0，另一直线斜率不存在时，

“它们的斜率之积一定等于-1”不成立，故C错误；

对于选项D，由方程表示双曲线等价于，

即或，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故D正确．

故选:D.

2．若，且，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由，且知：，

∴，，，

∴，而，即，

综上，有.

故选：C

3．在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为（    ）

A．{m|－2<m<2} B．{m|－1<m<2}

C．{m|－3<m<2} D．{m|1<m<2}

【答案】C

【解析】

依题意得(m－x)⊕(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，

因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，

所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m<x2－x＋4成立，

即当1≤x≤2时，m2＋m<(x2－x＋4)max.

因为1≤x≤2，所以当x＝2时，x2－x＋4取最大值6，

所以m2＋m<6，解得－3<m<2.

故选：C．

4．若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

∵不等式x+ m2+3m有解，∴(x+)min＜m2﹣3m，

∵x＞0，y＞0，且，

∴x+＝（x+）（）＝＝4，

当且仅当，即x＝2，y＝8时取“＝”，∴（x+）min＝4，

故m2+3m＞4，即(m-1)(m+4)＞0，解得m＜﹣4或m＞1，

∴实数m的取值范围是(﹣∞，﹣4)∪(1，+∞)．

故选：C．

5．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题意可知：当时，不等式恒成立.

当时，显然成立，故符合题意；

当时，要想当时，不等式恒成立，

只需满足且成立即可，解得：，

综上所述：实数a的取值范围是.

故选：D

6．用表示a，b两个数中的最小值.已知，设，则R的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

∵，∴，

∴，

当时，，时，，时，，

∴，

当时，，当时，，

∴时，，∴，

又当，，即，

∴的最大值是，的最大值是．

故选：C

7．已知函数 ，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题意，函数，

画出函数的图象，如图所示，

设，则，即，可得，

当时，递减，且与轴交于点，

所以，且，

所以的取值范围为.

故选：A.

8．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令，，，则：（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

因为函数是定义在上的偶函数，所以，

又因为是上的增函数，所以，

由于函数在区间上是增函数，则,

即.

故答案为A.

二、多项选择题

9.下列选项中描述正确的是（    ）

A．若，则必有 B．若与同时成立，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】ABD

【详解】

对于A项，若，则必有，由不等式的性质可得，所以A项正确；

对于B项，由可得，因为，所以，所以，所以B项正确；

对于C项，取，，满足，但，此时，故C项错误；

对于D项，因为，所以，两边同乘-1，得，又，故由不等式的性质可知，两边同乘-1，得，所以D项正确.

故选：ABD.

10．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【详解】

解：由知：为定义域上的奇函数，

由时，知：为定义域上的增函数

对于A选项，当时，为减函数，A错误；

对于B选项，，为奇函数，根据幂函数性质可知，在定义域上单调递增，B正确；

对于C选项，为奇函数；

为增函数为减函数

为增函数，C正确；

对于D选项，当时，为减函数，D错误.

故选：BC

11．已知定义域为R的奇函数.满足，下列叙述正确的是（    ）

A．存在实数K，使关于x的方程有7个不相等的实数根

B．当时，但有

C．若当时，的最小值为1，则

D．若关于x的方程和的所有实数很之和为零，则

E.对任意实数k，方程：都有解

【答案】AC

【详解】

因为函数是奇函数，.故可得在R上的解析式为：

绘制该函数的图象如所示：

对A：如下图所示直线与该函数有7个交点，故A正确；

对B：当时，函数不是减函数，故B错误；

对C：如下图直线，与函数图交于，

故当的最小值为1时有，故C正确；

对D：时，函数的零点有、、；

若使得其与的所有零点之和为0，

则或，如图直线、，故D错误；

对E：，即，即与的交点问题，直线恒过定点，如图，与无交点，故E错误.

故选：AC.

12．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A．的图象的对称轴方程为

B．的图象的对称中心坐标为

C．的单调递增区间为

D．的单调递减区间为

【答案】AC

【详解】

的图象上所有点向左平移个单位长度，得到，再向上平移4个单位长度后得到，

A. 令，解得，函数的对称轴是，故A正确；

B.令，解得：，所以函数的对称中心，故B不正确；

C.令，解得：，所以函数的单调递增区间是，故C正确；

D.令，解得：，所以函数单调递减区间是，，故D不正确.

故选：AC

三、填空题

13．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则∁R(M∩N)＝________.

【答案】{x|x<－2或x≥1}

【解析】

由题意，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则MN＝{x|－2≤x<1},

所以∁R(M∩N)＝{x|x<－2或x≥1}.

14．已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为_____________.

【答案】

【解析】

当时，可得或.

①当时，可得，合乎题意；

②当时，可得，解得，不合乎题意；

当时，由题意可得，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

15．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，恒有成立，当时，，则______.

【答案】

【解析】

由题意，函数对任意，恒有成立，

所以函数是以4为周期的周期函数，

所以，

又由函数是定义在的奇函数，且时，，

，

因为，令，可得，解得，

所以，

故答案为：.

16．已知函数，，则________．

【答案】

【解析】

因为，

，且，则.

故答案为-2

四、解答题

17．设，且，证明：

【答案】证明见解析

【解析】

因为abc＝1，

所以＋＋＝＝＋＋，

所以a＋b＋c＝≥＋＋.

所以.

18．已知函数.

（1）若，求的定义域；

（2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)当且时，由得，即函数的定义域是.

(2)当即时，令

要使在上是减函数，则函数在上为减函数，即，并且且，解得；

当即时 ，令

要使在上是减函数，则函数在为增函数，即

并且，解得

综上可知，所求实数的取值范围是.

19．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；

（2）已知，求函数的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）由题意知定点A的坐标为，

∴解得.

∴.

∴由得，.

∴.

∴.

∴.

∴不等式的解集为.

（2）由得令，则，

.

∴当，即，时，，

当，即，时，.

20．已知函数，其图象与轴相邻的两个交点的距离为.

（1）求函数的解析式；

（2）若将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调区间.

【答案】（1）（2）单调增区间为，；单调减区间为.

【解析】

解：（1）

由已知函数的周期，，

∴.

（2）将的图象向左平移个长度单位得到的图象

∴，

∵函数的图象经过点

∴，即

∴，

∴，

∵，∴当，取最小值，此时最小值为

此时，.

令，则

当或，即当或时，函数单调递增

当，即时，函数单调递减.

∴在上的单调增区间为，；单调减区间为.

21．已知函数．

（1）当时，解关于的不等式；

（2）若的值域为，，关于的不等式的解集为，求实数的值；

（3）设，函数的最大值为1，且当时，恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）当，即时，原不等式的解集为，，，当时，原不等式的解集为，，，当时，原不等式的解集为，，；（2）；（3）[32,74].

【详解】

（1）当时，由得，

即，

当，即时，原不等式的解集为，，，

当时，原不等式的解集为，，，

当时，原不等式的解集为，，．

（2）由的值域为，，得，

因为关于的不等式的解集为，

所以，是方程的两个实根，

即的两根之差为4，

所以，则，得．

（3），则，

则，，时，恒成立，

又，

因为的最大值为1，所以在，上的最大值为1，

由图象开口向上，得，即，

则，且，

此时由，，时，恒成立，

即在，，上恒成立，

 在，，上恒成立，

当，，时，，即

由重要不等式可得，当且仅当时取等号.

所以

当时，恒成立.

当时，,所以

由重要不等式可得，当且仅当时取等号.

所以

要满足，，时，恒成立，得

综上可得，，

此时，．

22．已知二次函数和函数.

（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；

（2）若方程有两个不相等的实根则：

①试判断函数在区间上是否具有单调性，并说明理由；

②若方程的两实根为，求使成立的的取值范围.

【答案】（1）为奇函数；（2）①是，理由见解析；②.

【详解】

解：（1）因为为偶函数，，

，又二次函数的，定义域为，

，所以为奇函数；

（2）①由得方程有不等实根，

 及得，即或，

即二次函数的对称轴，

故在是单调函数；

②是方程的根，，

，同理；

，

要使，只需即，，

或即，无实数解，

故的取值范围为.