第4章 第3节　三角函数的图象与性质-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案

这是一份第4章 第3节　三角函数的图象与性质-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案，共13页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。

第三节　三角函数的图象与性质

一、教材概念·结论·性质重现
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义
域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最小
正周
期
2π
2π
π
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单调
性
在
上单调递增；在上单调递减(k∈Z)
在[2kπ，2kπ＋π]上递减；在[2kπ－π，2kπ]上单调递增(k∈Z)
在(k∈Z)上单调递增
对称
中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
对称
轴
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
无


(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解．
(2)表示单调区间时，不要忘记k∈Z.
3．常用结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)y＝sin x在第一、第四象限单调递增． (×)
(2)由sin＝sin ，知是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期． (×)
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1． (×)
(4)若sin x>，则x>． (×)
2．若函数f (x)＝－cos 2x，则f (x)的一个单调递增区间为(　　)
A． B． C． D．
B　解析：由f (x)＝－cos 2x知单调递增区间为，k∈Z，故只有B满足．
3．函数y＝tan的定义域为________．
　解析：由3x＋≠＋kπ(k∈Z)，得x≠－＋，k∈Z.
4．若函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是________．
　解析：若函数为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．因为0≤φ≤π，所以φ＝.
5．函数y＝3＋2sin的最大值为________，此时x＝________.
5　＋2kπ(k∈Z)　解析：函数y＝3＋2sin的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z).


考点1　三角函数的定义域——基础性

1．函数f (x)＝的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
A　解析：要使函数f (x)＝有意义，则
所以(k∈Z)，
即
所以x≠，n∈Z.
所以函数f (x)＝的定义域为.
2．函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域是________．
，k∈Z　解析：要使函数y＝lg(2sin x－1)＋有意义，
则即
解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z.
即函数的定义域为，k∈Z.

求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式(组)，有时候还需要借助三角函数图象求解．

考点2　三角函数的值域或最值——综合性

(1)函数y＝3－2cos，x∈的值域为________．
[1,4]　解析：因为≤x≤，
所以0≤2x－≤，
所以－≤cos≤1，
所以1≤3－2cos≤4.
所以函数的值域为[1,4]．
(2)(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x)＝sin－3cos x的最小值为________．
－4　解析：f (x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1.
令cos x＝t，t∈[－1,1]，
则f (t)＝－2t2－3t＋1＝－2＋.
易知当t＝1时，f (t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.
故f (x)的最小值为－4.

函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的最小值是________．
－1　解析：设sin x－cos x＝t，t＝sin.
因为x∈[0，π]，所以x－∈，
所以t∈[－1，]，sin xcos x＝，
所以y＝t＋＝－(t－1)2＋1，
当t＝－1时，ymin＝－1.


求三角函数的值域(最值)常见的三种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

1．当0 A． B． C．2 D．4
D　解析：分子、分母同时除以cos2x，得f (x)＝.
因为0 因为tan x－tan2x＝－＋，
所以当tan x＝时，tan x－tan2x取得最大值.所以f (x)＝的最小值是4.
2．已知函数f (x)＝sin，其中x∈.若f (x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
　解析：因为x∈，所以x＋∈.
当x＋∈时，f (x)的值域为，
所以由函数的图象(图略)知，≤a＋≤，所以≤a≤π.

考点3　三角函数的单调性——应用性

考向1　求三角函数的单调区间
(1)已知函数f (x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f (x)的单调递减区间为_________________；
，　解析：f (x)＝4sin＝－4sin.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．所以函数f (x)的单调递减区间为(k∈Z)．因为x∈[－π，0]，所以函数f (x)的单调递减区间为，.
(2)函数y＝|tan x|的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
，k∈Z　，k∈Z 解析：作出函数y＝|tan x|的图象，如图．

观察图象可知，函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.

已知三角函数解析式求单调区间的方法
(1)代换法：将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间．
考向2　已知三角函数的单调性求参数
已知ω>0，函数f (x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
　解析：由0，得＋<ωx＋<ωπ＋.
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.

本例中，若已知ω>0，函数f (x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是________．
　解析：函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则k∈Z，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z.
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.


已知三角函数的单调区间确定参数ω的取值范围的步骤
首先，明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集；
其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系求解；
另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．

1．(2020·咸阳一模)函数y＝cos的单调递增区间是(　　)
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
C　解析：由2kπ－π≤πx－≤2kπ，得
2k－≤x≤2k＋.
所以函数y＝cos的单调递增区间是(k∈Z)．
2．若f (x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是(　　)
A． B． C． D．π
A　解析：f (x)＝cos x－sin x＝－·sin.当x∈，即x－∈时，y＝sin单调递增，则f (x)＝－sin单调递减．因为函数f (x)在[－a，a]上单调递减，所以[－a，a]⊆，所以0 所以a的最大值是.

考点4　三角函数的周期性、奇偶性、对称性综合——综合性

考向1　三角函数的周期性和奇偶性
(1)(2020·浙江卷)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]的图象大致为(　　)

　　　A　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D
A　解析：因为f (x)＝xcos x＋sin x，所以f (－x)＝－xcos x－sin x＝－f (x)，
所以函数f (x)为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，可知选项CD错误；
当x＝π时，y＝πcos π＋sin π＝－π<0，可知选项B错误．故选A．
(2)(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f (x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2　　B．　　C．1　　D．
A　解析：由x1＝，x2＝是f (x)＝sin ωx的两个相邻的极值点，可得＝－＝，则T＝π＝，得ω＝2.故选A．
(3)函数f (x)＝的最小正周期为(　　)
A．　　B． 　　C．π　　D．2π
C　解析：由已知得f (x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，
所以f (x)的最小正周期为T＝＝π.

(1)已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，
①f (x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
②f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
考向2　三角函数图象的对称性
(1)已知函数f (x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
B　解析：因为函数f (x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f (x)＝2sin.函数f (x)图象的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；函数f (x)图象的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－π(k∈Z)．故选B．
(2)(2020·全国卷Ⅲ)关于函数f (x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f (x)的图象关于y轴对称；
②f (x)的图象关于原点对称；
③f (x)的图象关于直线x＝对称；
④f (x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
②③　解析：要使函数f (x)＝sin x＋有意义，则有sin x≠0，所以x≠kπ，k∈Z，所以定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
又因为f (－x)＝sin(－x)＋＝－sin x－＝－＝－f (x)，所以f (x)为奇函数．所以f (x)的图象关于原点对称．
所以①是假命题，②是真命题．
对于③，要说明f (x)的图象关于直线x＝对称，只需说明f ＝f .
因为f ＝sin ＋＝cos x＋，f ＝sin＋＝cos x＋，
所以f ＝f ，所以③是真命题．
令sin x＝t，－1≤t≤1且t≠0，
所以g(t)＝t＋，－1≤t≤1且t≠0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
所以函数的最小值不为2，即f (x)的最小值不为2.所以④是假命题．
综上所述，所有真命题的序号是②③.


三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法
求三角函数图象的对称轴及对称中心，需先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ整体看成一个变量z.若求f (x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称轴，则只需令z＝ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解出x；若求f (x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标，则只需令z＝ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，解出x.

1．(多选题)设函数f (x)＝cos，则(　　)
A．f (x)的一个周期为－2π
B．y＝f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x＋π)的一个零点为x＝
D．f (x)在上单调递减
AB　解析：因为f (x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f (x)的一个周期为－2π，A项正确．
因为f (x)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，当k＝3时，对称轴是直线x＝，B项正确．
f (x＋π)＝cos，将x＝代入，f ＝cos ≠0，所以x＝不是f (x＋π)的零点，C项错误．
因为f (x)＝cos的单调递减区间为(k∈Z)，单调递增区间为(k∈Z)，所以是单调递减区间，是单调递增区间，D项错误．
2．若函数f (x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________．
　解析：因为函数f (x)为偶函数，所以θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又θ∈，所以θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意．
3．已知函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为，其图象过点(0，)，则图象的对称中心为________．
(k∈Z)　解析：因为函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝＝，所以ω＝2，即函数y＝tan(2x＋φ)．因为函数的图象过点(0，)，所以tan φ＝.又|φ|<，所以φ＝，则函数y＝tan.令2x＋＝(k∈Z)，解得x＝－，k∈Z，所以函数图象的对称中心为(k∈Z)．