人教版八年级上册14.3 因式分解综合与测试导学案

14.3 因式分解

学习目标

1.了解因式分解的意义

2.理解因式分解的方法------提公因法

2.通过对因式分解方法的归纳学习，培养学生独立思考的习惯

学习重点

知识点一  因式分解【重点】

    把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

【例题1】下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（　　）

A．x（a﹣b）=ax﹣bx         B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2

C．ax+bx+c=x（a+b）+c     D．y2﹣1=（y+1）（y﹣1）

【变式1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A．a（x﹣y）=ax﹣ay       B．x2+2x+1=x（x+2）+1

C．（x+1）2=x2+2x+1     D．x2﹣x=x（x﹣1）

【变式2】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）

A．（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2    B．4a2b3=4a2•b3

C．x2﹣2x+1=（x﹣1）2         D．

知识点二 用提公因式法分解因式 【重点】

1.公因式定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂

3.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．    
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）先确定公因式；

（2）把多项式的每一项都写成公因式与另一个因式的积的形式

（3）把公因式提到括号外面，各项余下的式子保持原来的和的形式。

【例题1】多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是（　　）

A．a+3   B．a﹣3    C．a+1    D．a﹣1

【例题2】分解因式x3+4x的结果是（　　）

A．x（x2+4） B．x（x+2）（x﹣2）   C．x（x+2）2   D．x（x﹣2）2

【变式1】多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是（　　）

A．4ab2   B．4abc   C．2ab2 D．4ab

【变式2】多项式2ax2﹣12axy中，应提取的公因式是　         ．

【变式3】2x3y2与12x4y的公因式是　         ．

【变式4】分解因式：

（1）3x+15=　         ．

（2）（a+1）（a﹣1）﹣2a+2=　         ．

（3）8x2y﹣2y=　　         ．

（4）2m2﹣m=　　         ．

（5）3mx﹣6my=　         ．

（6）4xy2﹣4x2y﹣y3=　         ．

（7）（2a+b）2﹣2b（2a+b）=　　　         ．

知识点三  用平方差公式分解因式  【重点】

1.   两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2.   如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
   　　平方差公式：，其中a,b即可以是单项式，也可以是多项式。

【例题1】多项式x2﹣4因式分解的结果是（　　）

A．（x+2）2   B．（x﹣2）2     C．（x+2）（x﹣2）   D．（x+4）（x﹣4）

【例题2】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）

A．a2+（﹣b）2   B．5m2﹣20mn  C．﹣x2﹣y2   D．﹣x2+9

【变式1】下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　）

A．x2﹣y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2﹣y2 D．﹣4+y2

【变式2】分解因式：

（1）a2﹣6a=　　　         ．

（2）x2﹣1=　　　         ．

（3）4x2﹣y2=　　　         　．

（4）因式分解：9x2﹣4=　　　         　．

（5）9m2﹣1=　         　．

知识点四  用完全平方公式因式分解  【重点】

1.两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

2.公式： ，

【例题1】因式分解：x2﹣1=　　　      　．　

【例题2】因式分解：a2﹣2ab+b2=　　　         ．

【变式1】因式分解：

（1）x2+14x+49=　　　        　．

（2）m2+2mn+n2=　　　       　．

（3）a2+2a+1=　　　         ．

拓展点一  因式分解在计算中的应用

【例题1】利用因式分解计算：2012﹣1992=　　　        　．

【变式1】在实数范围内将下列各式因式分解．

①x2﹣2x+3=　　         ．

②5x2﹣7=　　         ．

③x4﹣4．=　　         ．

【变式2】若n为任意整数，（n+11）2﹣n2的值总可以被k整除，则k等于（　　）

A．11 B．22 C．11或12 D．11的倍数

拓展点二  较复杂的因式分解问题

【例题1】因式分解：3ax2﹣12ay2=　　　        　．

【例题2】若m=2，则m2﹣4m+4的值是　　　        　．

【例题3】若a，b互为相反数，则a2﹣b2=　　　       　．

【变式1】因式分解：2a2﹣2=　　　        　．

【变式2】已知m=2n+1，则m2﹣4mn+4n2﹣5的值为　　　       　．

【变式3】若m=4n+3，则m2﹣8mn+16n2的值是　　        　

拓展点三  因式分解在实际生活中应用的问题

【例题1】如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b+ab3+2a2b2的值为（　　）

A．70 B．140 C．2560 D．490

【变式1】长和宽分别为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　）

A．24 B．35 C．70 D．140

【变式2】观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是　　        ．

拓展点四  型式子是因式分解

【例题1】因式分解：x2﹣10x+24=　　        　．

【变式1】分解因式：

（1）x2﹣4x+3=　　        　．

（2）2x2﹣8xy﹣10y2=　　        　

（3）x2﹣x﹣12=　　        　．

（4）2x3﹣6x2+4x=　　        　．

拓展点五  因式分解应用于判断三角形的形状

【例题1】已知a，b，c为△ABC的三边长，且a4﹣b4+b2c2﹣a2c2=0，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形    B．直角三角形  C．等腰直角三角形   D．等腰三角形或直角三角形

【变式1】已知a、b、c为一个三角形的三条边长，则代数式（a﹣b）2﹣c2的值（　　）

A．一定为负数  B．一定是正数    C．可能是正数，可能为负数   D．可能为零

【变式2】已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2﹣b2=c（a﹣b），则△ABC是（　　）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形