2021年九年级中考数学复习：几何专题之四边形（四）试卷

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2021年中考数学：几何专题复习之四边形（四）

1．已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（　　）

A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE
2．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．5
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC边上的中点，连接BE交AD于F，将△AFE沿着AC翻折到△AGE，恰好有GE∥AD，则下列结论：①四边形AFEG为菱形；②2AE2＝BD•BC；③S△ABF＝S△CBF；④连接BG，tan∠ABG＝．上述结论中正确的有（　　）

A．②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：
①OA＝BC＝2；
②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；
③当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．
其中正确结论的个数是（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB＝1，BC＝，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．若∠BCE＝∠ACF，且CE＝CF，则AE+AF＝（　　）

A．1.2 B． C． D．
6．如图，在▱ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，分别作点C关于AB，AD的对称点G，H，连接CG，CH，AG，AH，GH．如果AB＝30，∠EAF＝30°，▱ABCD的面积为270，那么下列说法不正确的是（　　）

A．CE＝CF
B．∠GAH＝60°
C．GH＝AF+CF
D．△GCH的面积是▱ABCD的面积的一半
7．已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM．分析下列结论：①AP⊥BN；②BM＝DN；③点P一定在以CM为直径的圆上；④当AN＝时，PC＝．其中结论正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝③AD＝AH；④GH＝，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF等于（　　）

A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝S△ABE+S△ADF，其中正确的结论有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD＝BE；②∠A＝∠BHE；③CD＝BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
12．如图，Rt△ABE中，∠B＝90°，AB＝BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：
①DE平分∠HDC；②DO＝OE；③H是BF的中点；④BC﹣CF＝2CE；
⑤CD＝HF，其中正确的有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
13．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E．DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AD＝AE；②∠AED＝∠CED；③OE＝OD；④BH＝HF；⑤BC﹣CF＝2HE，其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．如图，正方形ABCD中，AC与BD交于点O，M是对角线AC上的一个动点，直线BM与直线AD交于点E，过A作AH垂直BE于点H，直线AH与直线BD交于点N，连接EN、OH，则下列结论：①BM＝AN；②OH平分∠MHN；③当EN∥OM时，BN2＝DN•DB；④当M为AO中点时，＝，正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，E是正方形ABCD外一点，DE＝AD，连接AE，CE过D作DH⊥CE于H，交AE于F，连接BF，交CD于G．①∠AFD＝45°；②BF⊥DH；③AE＝BF；④当F是DH中点，CH＝3时，AE＝9，以上结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E．F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（　　）
（1）EF＝OE；
（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；
（3）BE+BF＝OA；
（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；
（5）OG•BD＝AE2+CF2．

A．（1）（2）（3）（5） B．（1）（3）（4）（5）
C．（2）（3）（4）（5） D．（1）（2）（3）（4）
17．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：
①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE＝AF时，；④BE+DF＝EF．其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，等腰梯形纸片ABCD，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，折叠纸片，使点B与点D重合，折痕为EF，若DF⊥BC，则下列结论：①EF∥AC；②DE⊥AC；③△AED∽△DAC；④EF＝3；⑤梯形ABCD的面积为25，其中正确的是（　　）

A．①③④ B．①②⑤ C．③④ D．①⑤
19．在▱ABCF中，BC＝2AB，CD⊥AB于点D，点E为AF的中点，若∠ADE＝50°．则∠B的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②；③AB+CD＝AD；④M到AD的距离等于BC的；⑤M为BC的中点；其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

参考答案
1．解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵F为BC上一动点，
∴x是变量，（a﹣2c）是x的系数，
∵平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，
∴x的系数为0，bc为固定值，
∴a﹣2c＝0，
∴a＝2c，
∴E是AB的中点，
∴AB＝2AE，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，AB⊥AD，
∵△ABE的面积为8，
∴＝8，
∴AB＝AD＝4，
∵CE＝3，∠C＝90°，BC＝4，
∴BE＝＝5，
故选：D．
3．解：①∵将△AFE沿着AC翻折到△AGE，
∴△AFE≌△AGE，
∴AF＝AG，EF＝GE，∠EAF＝∠EAG，
∵GE∥AD，
∴∠FAE＝∠GEA，
∴∠EAG＝∠GEA，
∴AG＝GE，
∴AF＝AG＝EF＝EG，
∴四边形AFEG是菱形，
故①正确；
②∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠BAC＝90°，
又∵∠ABD＝∠ABC，
∴△BAD∽△BCA，
∴，
∴AB2＝BC•BD，
∵AF＝EF，
∴∠FAE＝∠FEA，
∵∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠FBA，
∴AF＝BF，
∵∠ABF+∠AEB＝90°，∠BAF+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠AEB，
又∵∠BAE＝∠BAE＝90°，
∴△BAE∽△CAB，
∴，
∴AB2＝AE•AC，
∵E为AC边上的中点，
∴AC＝2AE，
∴AB2＝AE•AC＝2AE2＝BC•BD，
故②正确；
③∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△BEC，
∵BF＝EF，
∴S△ABF＝S△ABE，S△BFC＝S△BEC，
∴S△ABF＝S△CBF；
故③正确；
④如图，过点G作GH⊥AB，交BA的延长线于H，

设AE＝x，则AC＝2x，
∵AB2＝AE•AC，
∴AB＝x，
∴BE＝＝＝x，
∴AF＝EF＝x，
∵四边形AFEG是菱形，
∴AG∥BE，AG＝AF＝x，
∴∠HAG＝∠ABE，
又∵∠H＝∠BAE＝90°，
∴△BAE∽△AHG，
∴＝，
∴AH＝AB＝x，HG＝AE＝，
∴BH＝AH+AB＝x，
∴tan∠ABG＝＝＝，
故④错误，
故选：B．
4．解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），
∴OA＝BC＝2；故①正确；
②∵点D为OA的中点，
∴OD＝OA＝，
∵PD⊥PC，
∴∠CPD＝90°，
∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；
③∵B（2，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝2，AB＝2，
∵tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝30°，
当△ODP为等腰三角形时，
Ⅰ、OD＝PD，
∴∠DOP＝∠DPO＝30°，
∴∠ODP＝120°，
∴∠ODC＝60°
∴OD＝OC＝，
∴D（，0）；
Ⅱ、当D在x轴的正半轴上时，OP＝OD，
∴∠ODP＝∠OPD＝75°，
∵∠COD＝∠CPD＝90°，
∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；
当D在x轴的负半轴上时，OP′＝OD′，如图，

∵∠AOB＝30°，
∴∠D′OP′＝150°，
∵∠CP′D′＝90°，
∴∠CP′O＝105°，
∵∠COP′＝60°，
∴∠OCP′＝15°，
∴∠BCP′＝75°，
∴∠CP′B＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴BC＝BP′＝2，
∴OD′＝OP′＝4﹣2，
∴D′（2﹣4，0）；
Ⅲ、OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO＝30°，
∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，
点D的坐标为（2﹣4，0）或（，0）．故③错误，
故选：C．
5．解：作FG⊥AC于点G，则∠FGC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在△EBC和△FGC中

∴△EBC≌△FGC（AAS），
∴BE＝FG，BC＝GC，
∵∠B＝90°，AB＝1，BC＝，
∴AC＝＝2，GC＝BC＝，tan∠ACB＝＝＝，
∴AG＝AC﹣GC＝2﹣，∠ACB＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠FAG＝∠ACB＝30°，
∵∠FAG＝30°，∠AGF＝90°，AG＝2﹣，
∴GF＝＝，AF＝2GF＝，
∴BE＝GF＝，
∵AB＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝1﹣＝，
∴AE+AF＝+＝，
故选：B．

6．解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠BAE＝90°﹣∠B，∠DAF＝90°﹣∠D，
∵▱ABCD的面积为270，
∴AB×AF＝30AF＝270，
∴AF＝9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B+90°﹣∠B+90°﹣∠D+30°＝180°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴AE＝AB＝15，BE＝AE＝15，AD＝2AF＝18，DF＝AF＝27，
∴EC＝BC﹣BE＝3，CF＝DC﹣DF＝30﹣27＝3，
∴CE＝CF，故选项A不符合题意；
如图，连接AC，

∵点C关于AB，AD的对称点分别是点G，H，
∴AC＝AG＝AH，∠BAC＝∠BAG，∠DAC＝∠DAH，
∴∠GAH＝360°﹣∠BAC﹣∠GAB﹣∠DAC﹣∠DAH＝360°﹣2∠BAD＝60°，故选项B不符合题意，
∵∠GAH＝60°，AG＝AH＝AC，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝AC，
在△AFC中，AF+CF＞AC，
∴AF+CF＞GH，故选项C符合题意，
∵AE＝15，CE＝3，
∴AC＝＝＝6，
∴△GHC的面积＝×（6）2+9×3+3×15＝135＝S▱ABCD，故选项D不符合题意，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，
∵△PBC∽△PAM，
∴∠PAM＝∠PBC，，
∵∠PBC+∠PBA＝90°，
∴∠PAM+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BN，故①正确；
∵∠ABP＝∠ABN，∠APB＝∠BAN＝90°，
∴△BAP∽△BNA，
∴，
∴，
∵AB＝BC，
∴AM＝AN，
∴AB﹣AM＝AD﹣AN，
∴BM＝DN，故②正确；
∵△PBC∽△PAM，
∴∠APM＝∠BPC，
∴∠CPM＝∠APB＝90°，
∴点P一定在以CM为直径的圆上，故③正确；
如图，过点P作PH⊥AB于H，

∵AN＝，AB＝1，
∴BN＝＝＝，
∵S△ABN＝×AB×AN＝×BN×AP，
∴AP＝，
∵tan∠ABN＝＝，
∴PB＝，
∵S△APB＝×AP×BP＝×AB×PH，
∴PH＝×＝，
∴AH＝＝，
∴HM＝AM﹣AH＝﹣＝，
∴PM＝＝，
∵，
∴，
∴PC＝，故④正确，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故①正确；
∵DC＝6，CE＝3，
∴DE＝＝＝3，
∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴，
∴CF＝＝3，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴＝，故②正确；
如图，过点A作AM⊥DE，

∵DC＝6，CH＝，
∴DH＝＝＝，
∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠CDH＝∠DAM，且AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，
∴△ADM≌△DCH（AAS）
∴CH＝DM＝，AM＝DH＝，
∴MH＝DM＝，且AM⊥DH，
∴AD＝AH，故③正确；
∵DE＝3，DH＝，
∴HE＝，ME＝HE+MH＝，
∵AM⊥DE，CF⊥DE，
∴AM∥CF，
∴，
∴＝
∴HG＝，故④正确，
故选：D．
9．解：连接PO，

∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．
∴∠BAE+∠DAF＝30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，故①正确；
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°，故②正确；
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，故③正确；
设EC＝x，由勾股定理，得EF＝x，CG＝x，
AG＝AEsin60°＝EFsin60°＝2×CGsin60°＝x，
∴AC＝，
∴AB＝，
∴BE＝AB﹣x＝，
∴BE+DF＝x﹣x≠x，故④错误；
∵S△CEF＝x2，
S△ABE＝x2，
∴2S△ABE＝S△CEF，
∴S△CEF＝S△ABE+S△ADF，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③⑤，共4个．
故选：B．

11．解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝∠BDE＝45°，
∴BE＝DE，
∴BD＝BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH＝∠DEC＝90°，
∴∠BHE+∠HBE＝90°＝∠HBE+∠C，
∴∠C＝∠BHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝∠BHE，故②正确；
∵∠C+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠HBE，
在△BHE和△DCE中，
，
∴△BHE≌△DCE（ASA），
∴BH＝CD，故③正确，
在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，
∴△BCF与△DCE不全等，故④错误．
故选：A．
12．解：∵∠ABE＝90°，AB＝BE，
∴∠AEB＝∠BAE＝45°，AE＝BE，
∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，
∴∠DAE＝∠AEB＝45°，AD＝AE＝BE，DH＝BE，AH＝AB，∠ABE＝∠AHD＝90°，
∴∠DAB＝∠ABE＝90°，AH＝DH＝AB＝BE，
又∵DC⊥BE，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝DH，AD＝BC＝BE，∠BCD＝∠DHE＝90°，
∵DH＝DC，DE＝DE，
∴Rt△DEC≌Rt△DEH（HL），
∴HE＝EC，∠AED＝∠DEC＝67.5°，∠CDE＝∠HDE＝22.5°，
∴DE平分∠HDC，故①正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴∠ABH＝∠AHB＝67.5°，
∴∠OHE＝∠OEH＝67.5°，
∴OH＝OE，∠DHO＝22.5°＝∠HDO，
∴DO＝HO，
∴OE＝OD，故②正确；
如图，连接CH，

∵∠ABH＝67.5°，
∴∠CBH＝22.5°，
∴∠BFC＝67.5°，
∵HE＝EC，∠AEB＝45°，
∴∠ECH＝∠EHC＝22.5°，
∴∠HBC＝∠HCE，∠FCH＝67.5°，
∴BH＝CH，∠FCH＝∠BFC，
∴HC＝HF，
∴BH＝HF，
∴点H是BF的中点，故③正确，
如图，过点H作HN⊥BC于N，

∴HN∥CD，
∴△BHN∽△BFC，
∴＝，
∴FC＝2HN，
∵AE＝BE，AH＝BE，
∴HE＝（﹣1）BE＝CE，
∵HN⊥BC，∠AEB＝45°，
∴HN＝HE＝（﹣1）BE，
∴CF＝2HN＝（2﹣）BE，
∵BC﹣CF＝BE+CE﹣CF＝BE+（﹣1）BE﹣（2﹣）BE＝2（﹣1）BE，
∴BC﹣CF＝2CE，故④正确；
∵∠HFD＝180°﹣67.5＝112.5°，∠HDF＝45°，
∴∠HFD≠∠HDF，
∴HF≠DH，
∴HF≠CD，故⑤不合题意，
故选：B．
13．解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AD＝AE，故①正确；
②在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故②正确；
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故③正确；
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故④正确；
∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，
∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故⑤正确；
故选：D．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠BAC＝∠ADB＝45°，AB＝AD，AC⊥BD，
∵AN⊥BE，
∴∠DAN+∠AEB＝∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DAN＝∠ABE，
∴△ADN≌△BAM（ASA），
∴BM＝AN，故①正确；
∵∠AHB＝∠AOB＝90°，
∴点A，点B，点O，点H四点共圆，
∴∠BAO＝∠BHO＝45°，
∴∠BHO＝∠OHN＝45°，故②正确；
∵EN∥OM，
∴∠DEN＝∠OAD＝45°＝∠ADO，∠END＝∠AOD＝90°，
∴EN＝DN，∠BAD＝∠BNE＝90°，
∴点A，点B，点E，点N四点共圆，
∴∠EAN＝∠EBN，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△NBE中，
，
∴△ABE≌△NBE（AAS），
∴AE＝EN，AB＝BN，
设AE＝EN＝DN＝x，
∴DE＝x，
∴AD＝x+x＝AB＝BN，
∵BN2＝（x+x）2＝（3+2）x2，DN•DB＝x（x+x+x）＝（2+）x2，
∴BN2≠DN•DB，故③错误；
设OA＝BO＝a，
∵点M是AO中点，
∴AM＝OM＝a，
∴BM＝＝＝a，
∵点A，点B，点O，点H四点共圆，
∴∠OAN＝∠OBM，
∴cos∠OBM＝cos∠OAN＝，
∴＝，
∴AH＝a，
∴＝，故④正确，
故选：C．
15．解：如图，连接AC，CF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，AD＝CD＝BC，AC＝BC，
∵DE＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
又∵DH⊥CE，
∴DH是CE的垂直平分线，
∴FC＝EF，
∴∠FCE＝∠FEC，
∴∠DEF＝∠DCF，
∴∠DAE＝∠DCF，
∴点A，点D，点F，点C四点共圆，
∴∠AFD＝∠ACD＝45°，∠ADC＝∠AFC＝90°，故①正确；
∵∠ABC＝∠AFC＝90°，
∴点A，点B，点C，点F四点共圆，
∴∠AFB＝∠ACB＝45°，∠CBF＝∠CAF，∠BFC＝∠BAC＝45°，
∴∠DFB＝90°，
∴BF⊥DH，故②正确；
∵∠AFC＝∠FEC+∠FCE，
∴∠FEC＝∠FCE＝45°，
∴∠FEC＝∠BFC，
又∵∠CBF＝∠CAF，
∴△BCF∽△ACE，
∴，
∴AE＝BF，故③错误；
∵∠CFE＝90°，CF＝EF，FH⊥CE，
∴FH＝CH＝EH＝3，
∴EF＝3＝FC，
∵F是DH中点，
∴DH＝2FH＝6，
∴DC＝＝＝3，
∴AC＝DC＝3，
∴AF＝＝＝6，
∴AE＝AF+EF＝9，故④错误，
故选：B．
16．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∴∠BOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF+∠COE＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，BE＝CF，
∴EF＝OE；
故（1）符合题意；

（2）∵S四边形OEBF＝S△BOE+S△BOE＝S△BOE+S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，
∴S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；
故（2）符合题意；

（3）∵△BOE≌△COF
∵∴BE+BF＝BF+CF＝BC＝OA；
故（3）符合题意；

（4）过点O作OH⊥BC，

∵BC＝1，
∴OH＝BC＝，
设AE＝x，则BE＝CF＝1﹣x，BF＝x，
∴S△BEF+S△COF＝BE•BF+CF•OH＝x（1﹣x）+（1﹣x）×＝﹣（x﹣）2+，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＝时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；
故（4）不符合题意；

（5）∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB＝OG：OE，
∴OG•OB＝OE2，
∵OB＝BD，OE＝EF，
∴OG•BD＝EF2，
∵在△BEF中，EF2＝BE2+BF2，
∴EF2＝AE2+CF2，
∴OG•BD＝AE2+CF2．
故（5）符合题意．
故选：A．
17．解：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，
∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴＝，
∴＝，
∵∠AMB＝∠EMN，
∴△AMB∽△NME，故①正确，
∴∠AEN＝∠ABD＝45°
∴∠NAE＝∠AEN＝45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，
在△ABE和△ADF中，
∵，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，
∵BC＝CD，
∴CE＝CF，
假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，
如图2，连接AC，交EF于H，

∵AE＝AF，CE＝CF，
∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE＝OF，
Rt△CEF中，OC＝EF＝x，
△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，
∴OE＝BE，
∵AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），
∴AO＝AB＝1，
∴AC＝＝AO+OC，
∴1+x＝，
x＝2﹣，
∴＝＝，故③正确，
③如图3，

∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，
∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，
∵∠ABE＝∠ABH＝90°，
∴H、B、E三点共线，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故④正确．
故选：D．
18．解：如图，过点A作AH⊥BC于H，

∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB＝CD，∠B＝∠DCB，且∠AHB＝∠DFC＝90°，
∴△ABH≌△DCF（AAS）
∴BH＝CF，
∵AH⊥BC，DF⊥BC，
∴AH∥DF，且AD∥BC，
∴四边形AHFD是平行四边形，
∴AH＝DF，AD＝HF＝3，
∴BH＝CF＝（BC﹣HF）＝2，
∴BF＝5＝CH，
∵折叠纸片，使点B与点D重合，
∴DF＝BF＝5，∠BFE＝∠DFE＝45°，
∴AH＝5，
∴AH＝CH＝5，
∴∠ACB＝45°，
∴∠EFB＝∠ACB＝45°，
∴AC∥EF，故①正确；
∵梯形ABCD的面积＝＝＝25，
∴⑤正确，
∵折叠纸片，使点B与点D重合，
∴∠BEF＝∠DEF≠90°，
∴DE不垂直EF，
∴DE与AC也不垂直，故②错误；
若△AED～△DAC，则∠DAC＝∠AED＝45°，
∴∠DEF＝∠BEF＝67.5°，
∴∠ABC＝∠BAC＝67.5°，
∴BC＝AC＝7，
∵AH＝CH＝5，
∴AC＝5≠7，
∴△AED与△DAC不相似，故③错误；
如图，过点E作EN⊥BC于N，

∵EN⊥BC，AH⊥BC，
∴AH∥EN，
∴△BEN∽△BAH，
∴
∴
∴设BN＝2x，BN＝5x，
∵∠EFB＝45°，EN⊥BC，
∴△ENF是等腰直角三角形，
∴EN＝NF＝5x，EF＝EN＝5x，
∴BF＝BN+NF＝7x＝5，
∴x＝，
∴EF＝，故④错误，
故选：D．
19．解：连接CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，

∵四边形ABCF是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CF，
∴∠NAE＝∠F，
∵点E是的AF中点，
∴AE＝FE，
在△NAE和△CFE中，
，
∴△NAE≌△CFE（ASA），
∴NE＝CE，NA＝CF，
∵AB＝CF，
∴NA＝AB，即BN＝2AB，
∵BC＝2AB，
∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，
∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，
∴DE＝NC＝NE，
∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，
∴∠B＝80°．
故选：D．
20．解：过M作ME⊥AD于E，
∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，
∴∠MDE＝∠CDA，∠MAD＝∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠MDA+∠MAD＝（∠CDA+∠BAD）＝×180°＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；
∵DM平分∠CDE，∠C＝90°（MC⊥DC），ME⊥DA，
∴MC＝ME，
同理ME＝MB，
∴MC＝MB＝ME＝BC，故⑤正确；
∴M到AD的距离等于BC的一半，故④错误；
∵由勾股定理得：DC2＝MD2﹣MC2，DE2＝MD2﹣ME2，
又∵ME＝MC，MD＝MD，
∴DC＝DE，
同理AB＝AE，
∴AD＝AE+DE＝AB+DC，故③正确；
∵在△DEM和△DCM中，
∴△DEM≌△DCM（SSS），
∴S三角形DEM＝S三角形DCM
同理S三角形AEM＝S三角形ABM，
∴S三角形AMD＝S梯形ABCD，故②正确；
故选：C．