2021年备战中考复习数学小题（填空）专练：圆的综合（二）试卷

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2021年备战中考复习数学小题（填空）专练：
圆的综合（二）

1．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是　 　（填序号）．
①∠MAC＝∠PBC，
②△ABC是等边三角形，
③PC＝PA+PB，
④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．

2．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，P是ED的中点，则AP＝　 　．

3．如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　 　．

4．如图，已知圆锥底面半径为10cm，母线长为30cm，一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为　 　cm．

5．如图，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，OP交⊙O于点B，点M，N分别为线段OP，AP上的动点，若PA＝4，PB＝2，则AM+MN的最小值为　 　．

6．如图，⊙O的直径AB＝2，AM，BN分别是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别交于D、C两点，AD＝x，BC＝y，则y关于x的函数表达式为　 　．

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，与y轴相切的⊙M与x轴交于A、B两点，AC为⊙M直径，AC＝10，AB＝6，连接BC，点P为劣弧上点，点Q为线段AB上点，且MP⊥MQ，MP与BC交于点N．则当NQ平分∠MNB时，点P坐标是　 　．

8．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心、2为半径画弧，交图中网格线于点A、B，则扇形OAB围成圆锥的底面半径为 　 　．

9．如图，菱形ABCD的边长为2，点B、C、D在以点A为圆心、AB为半径的弧上，则图中阴影部分的面积是　 　．

10．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝8，则图中阴影部分的面积为
　 　．

11．如图所示，△ABC中，∠BAC＝105°，∠ACB＝45°，将△ABC绕点C顺时针旋转45°得对应△DEC，若BC＝2，则线段AB扫过的阴影面积为　 　．

12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝6，则⊙O的直径为　 　．

13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的弦，且AE⊥BC，垂足为D．若cos∠EAC＝，CE＝2，则△OAB的面积是　 　．

14．如图，菱形ABCD的边长为4，且B，C，D三点在⊙A上，点E是AB的中点，则图中阴影部分的面积为　 　．

15．如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°．AE⊥BC于点E，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．则阴影部分的面积为　 　．

16．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C、F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则AE长为　 　．

17．如图，过以AB为直径的半圆O上一点C作CD⊥AB于点D．已知cos∠ACD＝，BC＝6，则AC＝　 　．

18．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝2．以点C为圆心，AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点D，E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交于点G，则图中阴影部分的面积为　 　．

19．如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1），与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，若⊙O1是△ABO的内切圆，⊙O2，与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，……，按此规律，则⊙O2020的半径r2020＝　 　．

20．如图，在△ABC中，AC上的点D关于AB的对称点D在△ABC的外接圆⊙O上，若⊙O的半径为3，∠C＝80°，D′为的中点，则的长是　 　．

21．△ABC是⊙O内接三角形，∠BOC＝80°，那么∠A＝　 　．
22．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为3cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是　 　．（用含π的式子表示）

23．如图，在▱ABCD中，∠A＝45°，点O在AB上，OB＝，以O为圆心，OB为半径的半圆O与AD，CD分别切于E，F两点，则图中阴影部分的面积为　 　．

24．如图，⊙O上有两定点A、B，点P是⊙O上一动点（不与A、B两点重合），若∠OAB＝35°，则∠APB的度数是　 　．

25．已知，如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，AE＝BE，点D是上一动点（不与E，A重合），连接AE并延长至点C，ED，BA的延长线相交于M，AB＝12，BD与AE交于点F．下列结论：
（1）若∠CBE＝∠BDE，则BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，则AD2＝DF•DB；
（3）在（2）的条件下，则AD的长为2π；
（4）无论D怎样移动，ED•EM为定值．
正确的是 　 　．（填序号）


参考答案
1．解：∵A、P、B、C是⊙O上的四点，
∴∠PBC+∠PAC＝180°，
∵∠PAC+∠MAC＝180°，
∴∠MAC＝∠PBC；故①正确；
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，故②正确；
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；
∵CM∥BP，
∴∠M+∠APB＝180°，
∴∠M＝∠ACB；
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠M＝∠BPC；
在△ACM与△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）．
∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；
∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，
∴△MPC为等边三角形，
∴PC＝PM，
∴PC＝PA+PB，故③正确；
∵△ACM≌△BCP，
∴AM＝PB＝2，
∴PM＝PA+AM＝1+2＝3，
∵△PCM是等边三角形，
∴△PCM的面积＝CM2＝，故④正确，
故答案为：①②③④．

2．解：连接AE，过点F作FH⊥AE，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝2，
∠AFE＝∠DEF＝120°，
∴∠FAE＝∠FEA＝30°，
∴∠AEP＝90°，
∴FH＝1，
∴AH＝，AE＝2，
∵P是ED的中点，
∴EP＝1，
∴AP＝＝＝．
故答案为：．
3．解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得，＝2πr，
解得，r＝，
故答案为：．
4．解：圆锥的侧面展开如图：
设∠ASB＝n°，
即：2π•10＝，
得：n＝120，
∴AB＝30，
故答案为：30．

5．解：过A作AD⊥OP于D，并延长交⊙O于C，
则AD＝CD，
过C作CN⊥AP于N交OP于M，
则此时，AM+MN的值最小，且AM+MN的最小值＝CN，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO＝90°，
∴PA2+OA2＝OP2，
∵PA＝4，PB＝2，
∴42+OA2＝（OA+2）2，
∴OA＝3，
∴OP＝5，
∵S△AOP＝OA•AP＝OP•AD，
∴AD＝＝，
∴AC＝，∵∠P+∠PAD＝∠C+∠CAN＝90°，
∴∠P＝∠C，
∵∠ANC＝∠PAO＝90°，
∴△ACN∽△OPA，
∴＝，
∴＝，
∴CN＝，
∴AM+MN的最小值为，
故答案为：．

6．解：作DF⊥BN交BC于点F，如图：

∵AM，BN分别是⊙O的两条切线，
∴AB⊥AM，AB⊥BN，
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝2，
∵BC＝y，
∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；
∵DE切O于E，
∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，
则DC＝DE+CE＝x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+，
整理得y＝，
∴y与x的函数关系式是y＝，
故答案为：y＝．
7．解：设⊙M与y轴相切于E，
连接EM并延长交BC于H，过P作PF⊥x轴于F，延长FP交EH于D，
∵AC为⊙M直径，
∴BC⊥AB，
∵AC＝10，AB＝6，
∴BC＝8，
∵⊙M与y轴相切，
∴EM⊥y轴，
∴四边形OEDF是矩形，
∴OE＝BH＝DF，ED＝OF，ED∥OF，
∵AM＝CM，
∴MH＝AB＝3，BH＝DF＝4，
∵MP⊥MQ，NQ平分∠MNB，
∴MN＝BN，
设MN＝BN＝x，
∴NH＝4﹣x，
∵MH2+HN2＝MN2，
∴x2＝32+（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴MN＝BN＝，
∴HN＝，
∵HN∥PD，
∴△MHN∽△MDP，
∴，
∴＝＝，
∴MD＝，PD＝，
∴DE＝EM+MD＝，PF＝DF﹣PD＝，
∴点P坐标是（，），
故答案为：（，）．

8．解：连接OB，如图，
∵OA＝OB＝2，OC＝1，
∴cos∠BOC＝＝，
∴∠BOC＝60°，
设扇形OAB围成圆锥的底面半径为r，
∴2πr＝，解得r＝，
即扇形OAB围成圆锥的底面半径为．
故答案为．


9．解：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB＝BC＝2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴BD＝BC＝2，
∴图中阴影部分的面积为：2（﹣）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
10．解：连接OE、AE，

∵点C为OA的中点，
∴EO＝2OC，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
＝﹣﹣（﹣×）
＝16π﹣4π﹣+8
＝+8，
故答案为：+8．
11．解：作AM⊥BC于M，
∵∠BAC＝105°，∠ACB＝45°，
∴∠CAM＝45°，
∴∠BAM＝60°，
∴MC＝AM，BM＝AM，
∴（1+）AM＝BC＝2，
∴AM＝﹣1，
∴AC＝＝﹣，
∴扇形BCE的面积是＝＝π，S△CDE＝S△ABC＝×2×（﹣1）＝﹣1，S扇形CAD＝•π＝π．
故S阴影部分＝S扇形BCE+S△CAD﹣S△ABC﹣S扇形CAD＝S扇形BCE﹣S扇形CAD＝π﹣π＝π．
故答案为π．

12．解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠A＝90°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴OB＝BC＝3，
∴⊙O的直径为6．
故答案为：6．

13．解：如图，延长AO，交⊙O于F，连接BF，

∵AF是直径，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠ADC，
又∵∠ACB＝∠F，
∴∠EAC＝∠BAF，
∴＝，
∴CE＝BF＝2，
∵cos∠EAC＝，
∴cos∠BAF＝＝，
设AF＝10x，AB＝3x，
∵AF2＝AB2+BF2，
∴100x2＝4+90x2，
∴x＝，
∴AB＝6，
∴△OAB的面积＝S△ABF＝××AB×BF＝3，
故答案为3．
14．解：连接AC，
∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝AB＝＝2，
在Rt△BCE中，∠EBC＝60°，
∴CE＝BC＝×4＝2，
∴阴影部分的面积＝扇形BOD的面积﹣梯形ADCE的面积
＝﹣（2+4）×2
＝π﹣6．
故答案为π﹣6．

15．解：连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠B＝60°，E为BC的中点，
∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
由勾股定理得：AE＝＝3，
∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5＝S△AFC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π，
故答案为：9﹣3π．
16．解：设正六边形的边长为r，
正六边形的内角为＝120°，
∵阴影部分的面积为24π，
∴＝24π，
解得r＝6，
则正六边形的边长为6，
连接AE，过F作FH⊥AE于H，
∵FA＝FE，
∴∠AFH＝AFE＝60°，AH＝EH，
∴AH＝AF•sin60°＝6×＝3，
∴AE＝6，
故答案为：6．

17．解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵cos∠ACD＝，BC＝6，
∴cosB＝cos∠ACD＝，，
∴BD＝，
由勾股定理得：CD＝＝＝，
∴，
∴AC＝8．
故答案为8．
18．解：如图，连接GC，GE．

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝2，
∴AC＝BC•tan30°＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∵CG＝CE＝EG＝CA＝2，
∴△ECG是等边三角形，
∴∠GCD＝∠ACD＝60°,
∴∠ACG＝∠GCD＝∠DCD＝30°,
∴S阴＝S扇形GCD+（S扇形CEG﹣S△CEG）＝+（﹣×22）＝π﹣，
故答案为：π﹣．
19．解：连接OO1、AO1、BO1，作O1 D⊥OB于D，O1 E⊥AB于E，O1 F⊥OA于F，如图所示：
则O1 D＝O1 E＝O1 F＝r1，
∵M是AB的中点，
∴B（0，2），A（2，0），
则S△OO1B＝×OB×r1＝r1，
S△AO1O＝×AO×r1＝r1
S△AO1B＝×AB×r1＝××r1＝2r1
S△AOB＝×2×2＝2；
∵S△AOB＝S△OO1B+S△AO1O+S△AO1B＝（3+）r1＝2，
∴r1＝＝﹣1；
同理得：r2＝，r3＝，…，
∴rn＝，
依此类推可得：⊙O2020的半径r2020＝．
故答案为：．

20．解：连接DD′，如图，
∵点D与点D′关于AB对称，
∴DD′⊥AB，
∵D′为的中点，
∴⊙O的圆心O在DD′，
连接OA、OB、OC，
∵∠AOB＝2∠C＝2×80°＝160°，
∴∠AOD′＝∠BOD′＝80°，
∴∠BAD′＝∠BOD′＝40°，
∵AB垂直平分DD′，
∴∠BAC＝∠BAD′＝40°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，
∴的长＝＝π．
故答案为π．

21．解：应分为两种情况：
点A在优弧BC上时，∠BAC＝40°；
点A在劣弧BC上时，∠BAC＝140°；
所以∠BAC的大小为40°或140°．
故答案为：40°或140°．
22．解：连接CD，
∵OC＝OD，∠COD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝3cm，
∵AC＝BD＝12cm，
∴OA＝OC+AC＝15cm，
∴图中摆盘的面积是：＝36π（cm2），
故答案为：36πcm2．

23．解：如图，连接OE，OF，

∵半圆O与AD，CD分别切于E，F两点，
∴OE⊥AD，OF⊥CD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠AOE＝45°，
∴OE＝AE＝OB＝OF＝，
∴OA＝＝2，
∴CD＝AB＝OA+OB＝2+，
∴S阴影＝S平行四边形ABCD﹣S半圆﹣（S△AOE﹣S扇形EOG）
＝（2+）×﹣×（）2π﹣（×﹣
＝2+2﹣π﹣1+
＝2+1﹣．
所以图中阴影部分的面积为2+1﹣．
故答案为：2+1﹣．
24．解：如图，连接OB．

∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝35°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠P＝∠AOB＝55°，
当点P在劣弧AB上时，∠AP′B＝180°﹣∠APB＝125°，
故答案为：55°或125°．
25．解：（1）∵AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，AE＝BE，
∴∠AEB＝90°，∠EBA＝∠EAB＝45°，
∵＝，
∴∠BDE＝∠EAB＝45°，
∵∠CBE＝∠BDE，
∴∠CBE＝45°，
∴∠CBO＝∠EBA+∠CBE＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，故（1）正确；
（2）∵BD平分∠ABE，
∴∠EBD＝∠DBA，
又∠EBD＝∠EAD，
∴∠DBA＝∠EAD，
而∠FDA＝∠ADB，
∴△FDA∽△ADB，
∴＝，
∴AD2＝DF•BD，故（2）正确；
（3）连接OD，如图：

∵∠DOA＝2∠DBA＝∠EBA＝45°，OA＝AB＝6，
∴＝＝π，
而AD＜，
∴AD＜π，故（3）不正确；
（4）∵∠M+∠DBM＝∠EDB＝∠EAB＝45°，
∠EBD+∠DBM＝∠EBA＝45°，
∴∠EBD＝∠M，
∵∠EBD＝∠EAD，
∴∠M＝∠EAD，
∵∠DEA＝∠AEM，
∴△DEA∽△AEM，
∴＝，
∴DE•EM＝AE2，
在Rt△ABE中，AE＝AB•sin∠EBA＝12×sin45°＝6，
∴DE•EM＝72，故（4）正确，
故答案为：（1）（2）（4）．