2021年中考数学：几何专题复习之四边形（三）

这是一份2021年中考数学：几何专题复习之四边形（三），共39页。
1．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（ ）
A．逐渐增大B．逐渐减小
C．不变D．先增大，再减小
2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20B．24C．28D．无法求出
3．如图所示，已知菱形ABCD，∠B＝60°，点E、F分别为AB、BC上的动点，AC为对角线，点B关于EF的对称点为点G，且点G落在边AD上，连接EG，FG．下列四个结论中正确的个数为 （ ）
（1）若EG⊥AC，则；
（2）若AG＝DG，则；
（3）若AG＝DG，则；
（4）在（2）成立的条件下，若菱形的边长为2，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ）
A．2或B．6或C．2或6D．1或
5．在矩形ABCD中，AB＝2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF＝DE，过点F作FG⊥DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是（ ）
①tan∠GFB＝；
②MN＝NC；
③；
④S四边形GBEM＝．
A．4B．3C．2D．1
6．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ）
A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④
7．如图，正方形ABCD边长为3，连接BD．点E、E分别是AD、CD上的一点，AE＝DF＝1．连接AF、BE交于点G，AF与BD交于点P．点M是BC上一点，∠MAF＝45°，连接AM交BE于点H．将AM绕点M旋转90°交AF的延长线于点N，连接CN．下列结论：①AG＝GH；②∠MCN＝135°；③；④tan∠CNM＝；⑤连接CP，△CNP的面积是．其中，正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤4FH•MH＝AB2，在以上5个结论中，正确的有（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
11．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2；⑤PB2+PD2＝2PA2；⑥AP⊥EF．其中正确结论有几个（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．如图，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF＝EC；②CF2＝CG•CA；③BE•DH＝16；④若BF＝1，则DE＝，正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
13．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交边AB于F，连接DF交线段AC于点H，延长DE交边BC于点Q，连接QF．下列结论：①DE＝EF；②若AB＝6，CQ＝3，则AF＝2； ③∠AFD＝∠DFQ； ④若AH＝2，CE＝4，则AB＝3+；其中正确的有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，CE平分∠ACB，与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，则下列结论中正确的有（ ）个．
①OF＝；②ON＝；③S△CON＝；④sin∠ACE＝．
A．1B．2C．3D．4
15．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝2：3，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接CM．有如下结论：
①DE＝AF；②S△DMC＝S四边形AFME；③MG：AB＝5：4； ④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
16．如图，在正方形ABCD中，E、F分别在CD、AD边上，且CE＝DF，连接BE、CF相交于G点．则下列结论：①BE＝CF；②S△BCG＝S四边形DFGE；③CG2＝BG•GE；④当E为CD中点时，连接DG，则∠FGD＝45°．正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
17．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在DC边上，且CE＝2DE，连接AE交BD于点G，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，交DC于点P，过点O作OQ⊥OP分别交AE、AD于点N、H，交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：①∠AFO＝45°；②OG＝DG；③DP2＝NH•OH；④sin∠AQO＝；其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（ ）
①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．
A．5个B．4个C．3个D．2个
19．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．③④
20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②；③AB+CD＝AD；④M到AD的距离等于BC的；⑤M为BC的中点；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
参考答案
1．解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△GFC，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，
故选：C．
2．解：将阴影部分分割如图所示：
根据直角三角形的三边为6、8、10．
所以阴影部分的面积为2×10+2×2＝24．
故选：B．
3．解：（1）当EG⊥AC时，如图1：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，AB＝BC＝AD＝CD，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠CAD＝60°，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG＝∠AGE＝30°，
∴AE＝AG，
∵∠AEG＝30°，AC⊥EG，
∴EG＝AE，即EG＝AE，
∵B、G关于EF对称，
∴BE＝EG，
设AE＝x，则BE＝EG＝x，
∴＝，故（1）正确；
（2）当AG＝DG时，连接CG、BG，BG交EF于H，
如图2：
∵AD＝CD，∠CAD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
又∵AG＝GD，
∴CG⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CG⊥BC，
∴∠GBC+∠BGC＝90°，
∵EF⊥BG，
∴∠GBC+∠BFE＝90°，
∴∠BFE＝∠BGC，
∴cs∠BFE＝cs∠BGC＝，
设菱形的边长为2x，则GD＝x，
∴CG＝＝＝x，
∴BG＝＝＝x，
∴cs∠BFE＝cs∠BGC＝，故（2）正确；
（3）如图3，连接BG，CG，过点G作NG⊥AB，交BA的延长线于N，
设菱形的边长为2x，则AG＝GD＝x，
∵∠NAG＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴∠AGN＝30°，
∴AN＝AG＝，NG＝x，
∵EG2＝EN2+NG2，
∴EG2＝（2x+﹣EG）2+x2，
∴EG＝0（不合题意舍去），EG＝x，
∵GF2＝GC2+CF2，
∴BF2＝3x2+（2x﹣BF）2，
∴BF＝x，
∴，故③正确；
（4）如图4，设EF与BG的交点为H，
∵AB＝2，
∴由（2）（3）可得：BG＝，BE＝，BF＝，
∵B、G关于EF对称，
∴BH＝HG＝，EF⊥BG，
∴HF＝＝＝，
EH＝＝＝，
∴EF＝HF+EH＝，故④正确；
故选：D．
4．解：∵长方形ABCD，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵点E为AD的中点，AD＝8cm，
∴AE＝4cm，
设点Q的运动速度为xcm/s，
①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，
，
解得，，
即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等．
②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，
，
解得：，
即点Q的运动速度2cm/s时能使两三角形全等．
综上所述，点Q的运动速度或2cm/s时能使两三角形全等．
故选：A．
5．解：①tan∠GFB＝tan∠EDC＝，①正确；
②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠CNF，
∴∠MDN＝∠CFN
∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN
∴△DEC≌△FEM（SAS）
∴EM＝EC，
∴DM＝FC，
∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠CNF，DM＝FC，
∴△DMN≌△FCN（AAS），
∴MN＝NC，故②正确；
③∵BE＝EC，ME＝EC，
∴BE＝ME，
在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE，
∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），
∴∠BEG＝∠MEG，
∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM，
∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG，
∴∠GEB＝∠MCE，
∴MC∥GE，
∴，
∵EF＝DE＝，
CF＝EF﹣EC＝﹣1，
∴，故③错误；
④由上述可知：BE＝EC＝1，CF＝5﹣1，
∴BF＝+1，
∵tanF＝tan∠EDC＝，
∴GB＝BF＝，故④正确，
故选：B．
6．解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：
∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，
∴BP＝BC＝，
∴AP＝，
∴．故①正确；
②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：
∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴AE＝EC＝AC＝，
∵CF∥AB，
∴∠FCA＝∠A＝60°，
∵GF∥BC，
∴∠FEC＝∠ACB＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴FC＝EC＝，
即FH＝．故②正确；
③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P，
∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，
∵∠DBE＝30°，
∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，
∴∠EBN＝∠DBE＝30°，
又∵BD＝BN，BE＝BE，
∴△DBE≌△NBE（SAS），
∴DE＝NE，
∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，
∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，
∵NP2+PE2＝NE2，
∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，
∴AE2+CD2+AE•CD＝DE2，故③错误；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，
∴△AGE，△DCH都是等边三角形，
∴AG＝AE，CH＝CD，
∵AE＝CD，
∴AG＝CH，
∴BH＝BG，
∴▱BHFG是菱形，故④正确，
故选：B．
7．解：∵AD＝AB，∠BAD＝∠ADF＝90°，DF＝AE，
∴△ADF≌△BAE（SAS），
∴∠DAF＝∠ABE，BE＝AF，
∵∠MAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAM＝45°，
∴∠ABE+∠BAM＝45°＝∠AHG，
∴∠AHG＝∠MAF＝45°，
∴AG＝GH，∠AGH＝90°，故①正确；
如图，连接AC，MF，过点A作AQ∥BE，交CB的延长线于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AB＝BC＝3，
∴AC＝3，
∵将AM绕点M旋转90°交AF的延长线于点N，
∴AM＝MN，∠AMN＝90°，
∴∠MAN＝∠MNA＝45°，
∴∠MNA＝∠MCA＝45°，
∴点A，点M，点C，点N四点共圆，
∴∠AMN＝∠ACN＝90°，
∴∠MCN＝135°，故②正确；
∵AQ∥BE，AE∥BC，
∴四边形 AEBQ是平行四边形，∠QAF＝∠BAD＝90°，
∴AE＝BQ＝1，∠BAQ＝∠DAF，AQ＝BE＝AF，
∵∠FAM＝45°，
∴∠DAF+∠BAM＝45°，
∴∠BAQ+∠BAM＝45°＝∠QAM，
∴∠QAM＝∠MAF，
又∵AM＝AM，AQ＝AF，
∴△AQM≌△AFM（SAS），
∴QM＝MF，
∵MF2＝CF2+MC2，
∴（1+BM）2＝（3﹣1）2+（3﹣BM）2，
∴BM＝，
∵AD∥BC，
∴△AEH∽△MBH，
∴＝（）2＝，
∴设S△AEH＝4a，S△BHM＝9a，
∵tan∠DAF＝，
∴AG＝3EG＝GH，
∴S△AGH＝3a，
∴＝，故③正确；
∵点A，点M，点C，点N四点共圆，
∴∠MNC＝∠MAC，
∵∠MAC+∠CAN＝45°，∠CAN+∠DAF＝45°，
∴∠DAF＝∠MAC＝∠MNC，
∴tan∠CNM＝tan∠DAF＝，故④错误；
∵AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP，
∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠ACN＝90°，
∴∠PAC+∠ANC＝90°＝∠PCA+∠PCN，
∴∠PCN＝∠PNC，
∴PC＝PN＝AP，
∵∠CAN+∠DAF＝45°＝∠DAF+∠BAM，
∴∠CAN＝∠BAM，
∴tan∠CAN＝tan∠BAM，
∴，
∴，
∴CN＝，
∴S△ACN＝×AC×CN＝，
∵AP＝PN，
∴S△CPN＝，故⑤正确；
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵E为AB的中点，
∴EA＝EB，
由翻折可知：FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，
∴∠EHM＝∠B＝90°，
∵EM＝EM，EH＝EB，
∴Rt△EMH≅Rt△EMB（HL），
∴∠MEH＝∠MEB，
∵∠FEH＝∠FEA，
∴，
∴△EFM是直角三角形，
故①②正确，
∵∠FEM＝90°＝∠FHE，
∴∠FEH+∠MEH＝90°＝∠FEH+∠EFH，
∴∠EFH＝∠HEM，
又∵∠FHE＝∠EHM＝90°，
∴△FHE∽△EHM，
∴，
又∵EH＝EB＝AB，
∴AB2＝4HF•HM，故⑤正确，
如图1中，当M与C重合时，
设AE＝EB＝2a．则AB＝BC＝AD＝CD＝4a，
∵∠FEM＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°＝∠AEF+∠AFE，
∴∠AFE＝∠ECB，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴＝，
∴AF＝a，
∴DF＝3a，
∴DF＝3AF，
∴，故③正确，
如图2中，
当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②③⑤，
故选：C．
9．解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，
∵△DFE为等边三角形，
∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，
∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，
∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，
∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，
∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，
∴∠ADF＝∠EFC，
∴∠BDE＝∠EFC，
故结论①正确；
②如图，连接OE，
在△DAF和△DOE中，
，
∴△DAF≌△DOE(SAS)，
∴∠DOE＝∠DAF＝60°，
∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠COE＝∠DOE，
在△ODE和△OCE中，
，
∴△ODE≌△OCE(SAS)，
∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，
故结论②正确；
③∵∠ODE＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，
故结论③正确；
④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，
∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，
∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，
∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2，
∴点E运动的路程是2，
故结论④正确；
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
故①正确；
∵∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°，
故②正确；
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG＝FG，
故③正确；
∵∠ECF＝90°，EG＝FG，
∴CG＝EF，
设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，
∴CG＝EF＝x＝CE，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
11．解：过点P作PM⊥AB于点M，过点A作AN⊥BE于点N，连接AP、PC，
①∵BD是正方形的对角线，则∠PDF＝45°，
而PF⊥CD，则△PDF为等腰直角三角形，
∴PD＝PF＝CE，
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
由正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故③正确；
④由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝＝2时，EF的最小值等于2，
故④正确；
⑤在Rt△PBM和Rt△PDF中，PB2＝PM2+MB2，PD2＝PF2+FD2，
∴PB2+PD2＝2PA2；
故⑤正确；
⑥∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，
∴PG＝PE，
∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴∠BAP＝∠PFE，
∵GF∥BC，
∴∠AGP＝90°，
∴∠BAP+∠APG＝90°，
∵∠APG＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故⑥正确；
综上，①②③④⑤⑥正确，
故选：D．
12．解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，
又∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，
∴∠EAF＝∠BCE，
∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE＝360°，
∴∠BCE+∠EFB＝180°，
又∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，
∴AE＝EF，
∴EF＝EC，故①正确；
∵EF＝EC，∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴∠FAC＝∠EFC＝45°，
又∵∠ACF＝∠FCG，
∴△FCG∽△ACF，
∴，
∴CF2＝CG•CA，故②正确；
∵∠ECH＝∠CDB，∠EHC＝∠DHC，
∴△ECH∽△CDH，
∴，
∴，
∵∠ECH＝∠DBC，∠BEC＝∠CEH，
∴△ECH∽△EBC，
∴，
∴，
∴，
∴BC•CD＝DH•BE＝16，故③正确；
∵BF＝1，AB＝4，
∴AF＝3，AC＝4，
∵∠ECF＝∠ACD＝45°，
∴∠ACF＝∠DCE，
又∵∠FAC＝∠CDE＝45°，
∴△AFC∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE＝，故④正确，
故选：D．
13．解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，
在△BEC和△DEC中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，
∴∠ADE＝∠ABE，
∵∠DAB＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ADE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠EFB＝180°，
∴∠ADE＝∠EFB，
∴∠ABE＝∠EFB，
∴EF＝BE，
∴DE＝EF，故①正确；
∵∠DEF＝90°，DE＝EF，
∴∠EDF＝∠DFE＝45°，
如图：延长BC到G，使CG＝AF，连接DG，
在△ADF和△CDG中，
，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴∠AFD＝∠G，∠ADF＝∠CDG，DF＝DG，
∵∠ADF+∠CDQ＝90°﹣∠FDQ＝45°，
∴∠CDG+∠CDQ＝45°＝∠GDQ，
∴∠GDQ＝∠FDQ，
又∵DG＝DF，DQ＝DQ，
∴△QDF≌△QDG（SAS），
∴FQ＝QG，∠G＝∠DFQ，
∴∠DFA＝∠DFQ，故③正确；
∵AB＝6，CQ＝3，
∴BQ＝3，FB＝6﹣AF，FQ＝QG＝3+AF，
∵FQ2＝FB2+BQ2，
∴（3+AF）2＝9+（6﹣AF）2，
∴AF＝2，故②正确；
如图：将△CDE绕点A顺时针旋转90°得到△ADM，连接MH，
∴△CDE≌△ADM，
∴AM＝CE＝4，∠DCE＝∠DAM＝45°，∠ADM＝∠CDE，DM＝DE，
∴∠MAH＝90°，∠ADM+∠ADH＝∠CDE+∠ADH＝45°＝∠MDH，
又∵DH＝DH，
∴△DMH≌△DEH（SAS），
∴EH＝MH，
∵MH＝＝＝2，
∴EH＝MH＝2，
∴AC＝AH+EH+EC＝6+2，
∴AB＝＝3+，故④正确；
故选：D．
14．解：①如图，过点E作EH⊥AC于H，
∵AB＝3，AD＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝DO＝BO＝，
∵CE平分∠ACB，EH⊥AC，∠ABC＝90°，
∴BE＝EH，
∵S△ABC＝S△AEC+S△BCE，
∴×AB×BC＝×AC×EH+×BC×BE，
∴3×4＝5×EH+4×EH，
∴EH＝＝BE，
∴AE＝AB﹣BE＝，
∵F是线段CE的中点，AO＝CO，
∴OF＝AE＝，OF∥AB，
故①正确；
②∵OF∥AB，
∴＝＝，
∴ON＝BN，
∵ON+BN＝BO＝，
∴BN＝，NO＝，
故②正确；
③∵S△BOC＝S矩形ABCD，
∴S△BOC＝×3×4＝3，
∵ON＝BN，
∴S△CON＝＝，
故③正确；
④∵BE＝，BC＝4，
∴EC＝＝＝，
∴sin∠ACE＝＝＝，
故④错误，
故选：C．
15．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DE＝AF，
故①正确；
②∵△ADF≌△DCE，
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△DMC＝S四边形AFME；
故②正确；
③如图，过点G作GH⊥EC于H，
∵AF：FB＝2：3，
∴设AF＝2x＝DE，BF＝3x，
∴AB＝BC＝5x＝CD，
∵BG＝BC，
∴BG＝x，
∴CE＝＝＝x，
∵cs∠DCE＝，
∴，
∴CM＝x，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
又∵∠CDE＝∠GHC，
∴△CDE∽△GHC，
∴，
∴＝＝，
∴CH＝x，
∴MH＝CH＝x，
又∵GH⊥CH，
∴MG＝GC＝5x+x＝x，
∴MG：AB＝5：4，
故③正确；
④∵AF：FB＝2：3，
∴设AF＝2x，BF＝3x，
∴AB＝BC＝5x＝CD，
∵BG＝BC，
∴BG＝x，
∵AB∥CD，
∴△ANF∽△CND，
∴，＝，
∵S△ABC＝S△ACD＝，
∴S△CND＝x2，
∴S△ANF＝x2，
∴S四边形BCNF＝，
∴S△ANF：S四边形CNFB＝4：31，
故④错误；
故选：C．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠CDF＝90°，
又∵CE＝DF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF，故①正确，
∵△BCE≌△CDF，
∴S△BCE＝S△CDF，
∴S△BCG＝S四边形DFGE；故②正确，
∵△BCE≌△CDF，
∴∠DCF＝∠EBC，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠EBC+∠BCG＝90°，
∴∠BGC＝∠EGC＝90°，
∴△BCG∽△CEG，
∴，
∴CG2＝BG•GE；故③正确；
如图，连接EF，
∵点E是CD中点，
∴DE＝CE，
∵△BCE≌△CDF，
∴DF＝CE＝DE，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵∠ADC＝∠EGF＝90°，
∴点D，点E，点G，点F四点共圆，
∴∠DEF＝∠DGF＝45°，故④正确；
故选：D．
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD，
∵∠AOD＝∠NOF＝90°，
∴∠AON＝∠DOF，
∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO，
∵DF⊥AE，
∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF，
∴∠OAF＝∠ODF，
∴△ANO≌△DFO（ASA），
∴ON＝OF，
∴∠AFO＝45°，故①正确；
如图，过点O作OK⊥AE于K，
∵CE＝2DE，
∴AD＝3DE，
∵tan∠DAE＝，
∴AF＝3DF，
∵△ANO≌△DFO，
∴AN＝DF，
∴NF＝2DF，
∵ON＝OF，∠NOF＝90°，
∴OK＝KN＝KF＝FN，
∴DF＝OK，
又∵∠OGK＝∠DGF，∠OKG＝∠DFG＝90°，
∴△OKG≌△DFG（AAS），
∴GO＝DG，故②正确；
③∵∠DAO＝∠ODC＝45°，OA＝OD，∠AOH＝∠DOP，
∴△AOH≌△DOP（ASA），
∴AH＝DP，
∵∠ANH＝∠FNO＝45°＝∠HAO，∠AHN＝∠AHO，
∴△AHN∽△OHA，
∴，
∴AH2＝HO•HN，
∴DP2＝NH•OH，故③正确；
∵∠NAO+∠AON＝∠ANQ＝45°，∠AQO+∠AON＝∠BAO＝45°，
∴∠NAO＝∠AQO，
∵OG＝GD，
∴AO＝2OG，
∴AG＝＝OG，
∴sin∠NAO＝sin∠AQO＝＝，故④正确，
故选：D．
18．解：①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
故①正确；
②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
故②正确；
③当AD＝25时，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16；
故③正确；
④由③知：CE＝＝＝20，
BE＝＝＝15，
由折叠得，BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴，
∴y＝
∴BP＝，
在Rt△PBC中，PC＝＝＝，
∴sin∠PCB＝＝，
故④不正确；
⑤如图，连接FG，
由①知BF∥PG，
∵BF＝PG＝PB，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，FG＝PB＝9，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108；
故⑤正确，
所以本题正确的有①②③⑤，共4个，
故选：B．
19．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DFC＝∠BCF，
∵点F是AD的中点，
∴AD＝2DF，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴DF＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCF，故①正确；
取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，
∴FG∥AB，
∵CE⊥AB，
∴FG⊥CE，
∴EF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，故②正确；
∵CE⊥AB，AB∥CD，
∴CE⊥CD，
∴∠AEC＝∠DCE＝90°，
即∠AEF+∠FEC＝∠DCF+∠FCE＝90°，
∴∠AEF＝∠DCF，
∵∠DCF＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFD，故③正确；
∵S△CEF＝CE•BE，
S△BCE＝CE•FG＝CE•（AE+CD）＝CE•（AE+AB）＝CE•（2AE+BE），
而2AE+BE不一定等于2BE
∴S△CEF不一定等于S△BCE，故错误④．
故选：B．
20．解：过M作ME⊥AD于E，
∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，
∴∠MDE＝∠CDA，∠MAD＝∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠MDA+∠MAD＝（∠CDA+∠BAD）＝×180°＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；
∵DM平分∠CDE，∠C＝90°（MC⊥DC），ME⊥DA，
∴MC＝ME，
同理ME＝MB，
∴MC＝MB＝ME＝BC，故⑤正确；
∴M到AD的距离等于BC的一半，故④错误；
∵由勾股定理得：DC2＝MD2﹣MC2，DE2＝MD2﹣ME2，
又∵ME＝MC，MD＝MD，
∴DC＝DE，
同理AB＝AE，
∴AD＝AE+DE＝AB+DC，故③正确；
∵在△DEM和△DCM中，
∴△DEM≌△DCM（SSS），
∴S三角形DEM＝S三角形DCM
同理S三角形AEM＝S三角形ABM，
∴S三角形AMD＝S梯形ABCD，故②正确；
故选：C．