数学必修 第一册1.3 集合的基本运算背景图ppt课件

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一、并集1.(1)观察下列几组集合①集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={1,2,3,4,5,6};②集合A={x|x是参加2018平昌冬奥会的男运动员},B={x|x是参加2018平昌冬奥会的女运动员},C={x|x是参加2018平昌冬奥会的运动员};③集合A={x|x是奇数},B={x|x是偶数},C={x|x是整数}.上述各组中,集合C与集合A,B之间有什么关系?提示:集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.(2)思考(1)①中,集合A中有4个元素,集合B中也有4个元素,但集合C中却有6个元素,为什么?提示:集合中元素的互异性,相同的元素只出现一次.
(3)根据并集中元素个数,你如何理解并集定义中“所有属于集合A或属于集合B的元素”?提示:x∈A但x∉B;x∈B但x∉A;x∈A且x∈B.2.填空
3.做一做(1)设集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},则集合A∪B=(　　)A.{1,3,1,2,4,5}B.{1}C.{1,2,3,4,5}D.{2,3,4,5}(2)已知集合A={x|x>-2},B={x|x≥1},则A∪B=(　　)A.{x|x>-2}B.{x|-2二、交集1.(1)观察下列几组集合①集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={3,4};②集合A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},C={x|x是等腰直角三角形};③集合A={x|x>0},B={x|x<2},C={x|03.做一做(1)(2019全国Ⅱ,文1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=(　　)A.(-1,+∞)B.(-∞,2) C.(-1,2)D.⌀(2)已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|-2≤x≤2},那么A∩B=(　　)A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1,2,3}D.{x|-2≤x≤2}(3)已知集合A={0,1},B={a-2,2},若A∩B={1},则A∪B=(　　)A.{0,1,2}B.{1}C.{0,1,2,3}D.{1,2}(4)已知集合A={1,3,5,6,7},B={2,4,5,6,8},则A∩B=　　　　　. 答案:(1)C　(2)B　(3)A　(4){5,6}
三、并集、交集的性质1.(1)一个集合与其本身的并集、交集分别是什么?提示:都是这个集合本身.(2)一个集合与空集的并集和交集分别是什么?提示:并集是这个集合,交集是空集.(3)对于任意两个集合A,B,A∪B与B∪A一样吗?A∩B与B∩A呢?提示:一样,说明两个集合的并集和交集都满足交换律.
(4)如果A∩B=A,那么集合A,B有什么关系?反之成立吗?如果A∪B=A,那么集合A,B有什么关系?反过来呢?提示:若A∩B=A,则A⊆B;反之,若A⊆B,则A∩B=A.若A∪B=A,则B⊆A;反之,若B⊆A,则A∪B=A.(5)已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={1,3,6}.分别计算(A∩B)∩C,A∩(B∩C),(A∪B)∪C,A∪(B∪C),你能发现什么规律?提示:(A∩B)∩C={3}=A∩(B∩C);(A∪B)∪C={1,2,3,4,5,6}=A∪(B∪C).
2.填空(1)A∩A=　　　　,A∪A=　　　　. (2)A∩⌀=　　　　,A∪⌀=　　　　. (3)A∩B　　　　A,A∩B　　　　B. (4)A∪B　　　　A,A∪B　　　　B. 答案:(1)A　A　(2)⌀　A　(3)⊆　⊆　(4)⊇　⊇
3.做一做判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)当集合A与集合B没有公共元素时,集合A与集合B就没有交集.(　　)(2)若A∪B=A∪C,则B=C.(　　)(3)(A∩B)∪C=A∩(B∪C).(　　)(4)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).(　　)(5)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).(　　)答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
集合的并集与交集运算例1(1)设集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|x2=1},则A∪B=(　　)A.{1}B.{1,3}C.{-1,1,3}D.{-1,1}(2)已知集合A={x|x<2},B={x≥1},则A∪B= (　　)A.{x|x<2}B.{x|1≤x<2}C.{x|x≥1}D.R分析:(1)先解一元二次方程得集合A,B,再根据集合并集定义求结果;(2)用数轴表示集合A,B,根据定义求解.解析:(1)A={-1,3},B={-1,1},A∪B={-1,1,3}.答案:(1)C　(2)D
变式训练1(1)已知集合A={x∈N|1≤x≤3},B={2,3,4,5},则A∪B=(　　)A.{2,3}B.{2,3,4,5}C.{2}D.{1,2,3,4,5}(2)设集合A={x∈N*|x≤2},B={2,6},则A∪B= (　　)A.{2}B.{2,6}C.{1,2,6}D.{0,1,2,6}答案:(1)D　(2)C
例2(1)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=(　　)A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}(2)设集合M={x|-3解析:(1)直接由交集定义可得;(2)利用数轴分别画出集合M、N,如图:∴M∩N={x|1≤x<2};(3)A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.答案:(1)C　(2)A　(3)D反思感悟 求两个集合交集、并集的方法技巧当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心点表示;对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果.
变式训练2若集合M={x∈R|-3已知集合的交集、并集求参数例3已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若9∈A∩B,则实数a的值为　　　　　. 分析:9∈A∩B说明9∈A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性.解析:∵9∈A∩B,∴9∈A且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.综上可得a的值为5或-3.答案:5或-3
反思感悟 已知两个有限集运算结果求参数值的方法对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性.
延伸探究 例3中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.解:∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.
例4集合A={x|-1解:(1)A={x|-1反思感悟 已知集合运算求参数的思路此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.延伸探究 例4(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a的取值范围.解:利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以a>-1.
集合的交集、并集性质的应用例5设集合M={x|-2解析:由M∪N=M得N⊆M,当N=⌀时,2t+1≤2-t,即t≤ ,此时M∪N=M成立.综上可知,实数t的取值范围是{t|t≤2}.答案:{t|t≤2}
延伸探究 将例5条件中“M∪N=M”改为“M∩N=M”,其余不变,求实数t的取值范围.解:由M∩N=M,得M⊆N,故N≠⌀.用数轴(略)表示两个集合,要满足条件,
例6设A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范围;(2)若A∪B=B,求a的值.分析:先化简集合A,B,再由已知条件得A∩B=B和A∪B=B,转化为集合A、B的包含关系,分类讨论求a的值或取值范围.
解:由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B⊆A,B=⌀,{0},{2},{0,2}.当B=⌀时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;综上所述,得a的取值范围是{a|a=1或a≤0}.(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,∴A=B,由(1)知a=1.
反思感悟 利用交、并集运算求参数的思路(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系.
变式训练3已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;(2)当M∩N=M时,求实数m的值.解:(1)由题意得M={2}.当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},∴M∩N={2},M∪N={1,2}.(2)∵M∩N=M,∴M⊆N.∵M={2},∴2∈N,∴2是关于x的方程x2-3x+m=0的解,即4-6+m=0,解得m=2.
分类讨论思想在集合运算中的应用分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思,数学中的分类过程就是对事件共性的抽象过程.解题时要明确为什么分类,如何分类,如何确定分类的标准.应用时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素.进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏.
典例 设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.解:(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},若A∩B={2},则x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的实数根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.验证:a=-3时,B={2},a=-1时,B={-2,2},均满足A∩B={2}.