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高中人教A版 (2019)2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教案配套ppt课件
展开这是一份高中人教A版 (2019)2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教案配套ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了探究一，探究二，探究三，探究四，思维辨析，随堂演练等内容，欢迎下载使用。
一、一元二次不等式的概念1.从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?提示:它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.
2.填空一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.(2)形式:①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
3.做一做已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④ >0.其中是一元二次不等式的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析:①中当a=0时,它不是一元二次不等式;②中有两个未知数,它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.答案:A
二、一元二次不等式的解法1.(1)什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?提示:把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);当0
(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?提示:①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负.(4)抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置有哪些情况?如何用一元二次方程来说明这些位置关系?提示:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴可能有两个交点(相交),一个交点(相切),没有交点(相离).可以通过对应一元二次方程的判别式Δ与0的关系来判断.
3.做一做(1)不等式x2-2x>0的解集是 . (2)不等式x2+3x+6<0的解集是 . 答案:(1){x|x>2或x<0} (2)⌀
一元二次不等式的求解例1解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.
反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
变式训练1解下列不等式:(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.
解:(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3
已知不等式的解集求参数值例2求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3)[-1,+∞).分析:根据解一元二次不等式的方法,逆向分析与思考,得出不等式对应方程根的情况,利用根与系数的关系进行求解.
反思感悟 1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1
含参数的一元二次不等式的解法例3解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.分析:先对二次项的系数进行讨论,再按不等式的解法求解.
反思感悟 解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论.(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论.(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.
变式训练3解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).解:由于x2+3ax-4a2<0可化为(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a.当a=-4a,即a=0时,不等式的解集为⌀;当a>-4a,即a>0时,解不等式为-4a
分析:(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合n∈N求得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.
反思感悟 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤1.理解题意,搞清量与量之间的关系.2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.3.解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.
延伸探究 本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65 m,试问该车是否超速行驶?解:由题意知s≥25.65,即 ≥25.65,即v2+24v-10 260≥0,解得v≥90或v≤-114.由于v≥0,所以速度v的取值范围是v≥90>80,因此该车超速行驶.
求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则
当未说明不等式为一元二次不等式时,有2.分离自变量和参变量,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.
典例若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.解:当m2-2m-3=0时,m=3或m=-1.若m=3,不等式化为-1<0,显然对于x∈R恒成立,满足题意;若m=-1,不等式化为4x-1<0,显然不满足对于x∈R恒成立.当m2-2m-3≠0时,
变式训练已知y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).(1)求函数的解析式;(2)若对于任意的x∈[-2,2],y+m≤3恒成立,求实数m的最大值.∴y=3x2+6x.(2)y+m≤3即m≤-3x2-6x+3,而x∈[-2,2]时,函数t=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,开口向下,所以函数的最小值在x=2时取得,此时tmin=-21,∴m≤-21,实数m的最大值为-21.
1.不等式x2-9<0的解集为( )A.{x|x<-3}B.{x|x<3}C.{x|x<-3或x>3}D.{x|-3
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