初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试精品同步达标检测题

专题22.6旋转综合问题大题专练（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、解答题（本大题24题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1．（2020·全国九年级专题练习）在中，是的中点，将绕点C旋转得到，使点落在的延长线上．

（1）请画出；

（2）求的长．

2．（2020·全国九年级专题练习）如图，在四边形中，，将绕点C顺时针旋转一定角度后，得到，点B的对应点恰好与点A重合．

（1）请求出旋转角的度数；

（2）请判断与BD的位置关系，并说明理由；

（3）若，试求出四边形的对角线的长．

3．（2021·浙江七年级期中）将三角板与三角板摆放在一起；如图，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角．

（1）当为_________度时，，并画出相应的图形；

（2）在旋转过程中，试探究与之间的关系；

（3）当旋转速度为/秒时，且它的一边与的某一边平行（不包括共线，不考虑）时，直接写出时间的所有值并画出相应的图形．

4．（2021·山东济南市·九年级一模）已知是等边的高，，点O为直线上的动点（不与点A重合），连接，将线段绕点O顺时针旋转，得到线段，连接、．

（1）问题发现

如图1，当点O在线段上时，线段与的数量关系为_________，的度数是_________；

（2）问题探究：

如图2，当点O在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？请说明理由；

（3）问题解决：

当时，求出线段的长．

5．（2020·全国九年级专题练习）如图，在中，，以为边向外作等边，把绕点D顺时针方向旋转后得到．若．

（1）试判断的形状，并说明理由；

（2）求的度数；

（3）求的长．

6．（2020·全国九年级专题练习）如图，在矩形中，把矩形绕点旋转得到矩形，且点落在边上，连接交于点．

（1）如图①，求证：．

（2）如图②，连接，若平分，则满足2倍关系的线段有几对?写出这几对线段，并说明理由．

图①

图②

7．（2020·全国九年级专题练习）如图，正方形和正方形的边长分别为和，正方形绕点旋转．连接．

（1）猜想与的关系，并证明你的结论；

（2）用含的式子表示．

8．（2020·全国九年级专题练习）（1）如图①，已知正方形和分别是边上的点，且，连接和，交于点．猜想与的位置关系，并证明你的结论；

（2）如图②，将图①中的绕点逆时针旋转得到．延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．

图①

图②

9．（2021·重庆九年级期末）在菱形中，，，E是对角线上一点，F是线段延长线上一点，且，连接、．

（1）如图1，若E是线段的中点，求的长；

（2）如图2，若E是线段延长线上的任意一点，求证：．

（3）如图3，若E是线段延长线上的一点，，将菱形绕着点B顺时针旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值．

10．（2021·北京九年级二模）在等腰三角形ABC中，，．点P是内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点逆时针旋转，使边与重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点（点与点D不重合）．

（1）依题意补全图和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为；

（2）探究与∠APM的数量关系为；

（3）如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．

11．（2021·河北秦皇岛市·九年级一模）如图，、、三点在线段上，且，将线段绕点按顺时针方向旋转度（），点的对应点为点．同时将线段绕点按逆时针方向旋转度（），点的对应点为点，连接和．

（1）若（如图1），和的交点为．

①求证：．

②求证：为等腰三角形．

（2）若，当时，______．

12．（2021·山东济南市·九年级二模）（1）如图1，在中，，是直线上的一点，将线段绕点逆时针旋转至，连接，求证：；

（2）如图2，在图1的条件下，延长，交于点，交于点，求证；

（3）如图3，是内一点，，，，直接写出的面积为___________．

13．（2021·河南郑州外国语中学八年级期中）某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板和按如图1所示位置放置，且的较短直角边为4，现将绕点按逆时针方向旋转（），如图2，与交于点，与交于点，与交于点．

（1）初步探究：

勤思小组的同学提出：当旋转角______时，是等腰三角形；

（2）深入探究：

教学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接，，那么所在的直线是线段的垂直平分线，请帮他们证明；

（3）再探究：

在旋转过程中，当旋转角时，求与重叠的面积；

（4）拓展延伸：

旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由．

14．（2021·北京九年级一模）在中，，点E是内一动点，连接，将绕点A顺时针旋转a，使边与重合，得到，延长与射线交于点M（点M与点D不重合）．

（1）依题意补全图1；

（2）探究与的数量关系为___________；

（3）如图2，若平分，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．

15．（2021·全国八年级专题练习）在△ABC中AB=AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；

（发现问题）如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；

（探究猜想）如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；

（二）拓展应用

（拓展应用）如图3，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．

16．（2021·甘肃白银市·九年级一模）如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到　　，再证明　　，可得出结论，他的结论应是　　．

拓展延伸：

如图2，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点G，H在边AC上，且∠GBH＝45°，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明．

17．（2020·浙江八年级期末）在中，，将的顶点放在斜边的中点P处，将此直角绕点P旋转，两直角边分别交射线于点D、点E，图①，②是旋转得到的两种图形．

（1）以图①为例，连接，猜想线段和之间的有怎样的大小关系；并说明理由．

（2）以图①为例，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由．

（3）在旋转过程中是否能构成等腰三角形？若能，指出所有的情况，并直接求出为等腰三角形时的长．

18．（2021·福建三明市·九年级一模）如图，Rt△中，，，△绕点顺时针旋转，得到△，

（1）求证：垂直平分；

（2）是中点，连接，，若，求四边形的面积．

19．（2021·北京北师大实验中学九年级其他模拟）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（45°＜α＜90°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE于F，连接BE．

（1）依题意补全图1；

（2）直接写出∠FBE的度数；

（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．

20．（2021·辽宁葫芦岛市·九年级一模）在菱形中，，点在的延长线上，点是直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针得到线段，连接，.

（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系；

（2）如图2，当点在上时，线段，，之间有怎样的数量关系？请写出结论并给出证明；

（3）当点在直线上时，若，，，请直接写出线段的长.

21．（2021·山东临沂市·九年级一模）如图1，点E为正方形内一点，，现将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点G．

（1）试判断四边形是什么图形，并证明你的结论．

（2）连接，如图2

①若，试求的长；

②如图3，若，求证：．

22．（2021·辽宁葫芦岛市·九年级一模）如图，已知等腰，，，直线绕点A旋转，得直线，点B关于直线的对称点为E，连接，，交直线于点F，连接．

（1）如图1，直接写出线段，，之间的数量关系？不用说明理由：

（2）当直线旋转到如图2位置时，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理出；

（3）若，当时，直接写出线段的长？

23．（2021·山东济南市·九年级二模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，以为边作等边．

（1）如图1，若，求等边的边长；

（2）如图2，点D在边上移动过程中，连接，取的中点F，连接，过点D作于点G．

①求证：．

②如图3，将沿翻折得，连接，求出的最小值．

24．（2019·浙江杭州市·八年级期中）如图1，已知，将绕点顺时针旋转得到，与相交于．

（填一填）当，，则________；

（证一证）求证：平分．

（用一用）若，当________，为等腰三角形．

（想一想）如图2，，，当落在上时，求的长，并请说明理由．