人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程优秀课后作业题

专题21.9一元二次方程的应用：增长率问题（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（　　）

A．9%（1﹣x）2＝8% B．8%（1﹣x）2＝9% 

C．9%（1+x）2＝8% D．8%（1+x）2＝9%

【分析】2018年年底保护区的覆盖率为8%（1+x），2019年为8%（1+x）（1+x），再由“2019年年底自然保护区覆盖率达到9%”可得方程．

【解析】设该市总面积为1，该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得

1×8%×（1+x）2＝1×9%，

即8%（1+x）2＝9%．

故选：D．

2．（2020秋•仁寿县期末）某超市一月份的营业额为25万元，三月份时因新冠疫情下降到16万元，若平均每月下降率为x，则由题意列方程应为（　　）

A．25（1+x）2＝16 B．25（1﹣x）2＝16 

C．16（1+x）2＝25 D．25[1+（1﹣x）+（1﹣x）2]＝16

【分析】三月份营业额＝一月份的营业额×（1﹣平均每月下降率）2，把相关数值代入即可求解．

【解析】∵一月份的营业额为25万元，平均每月下降率为x，

∴二月份的营业额为25×（1﹣x）万元，

∴三月份营业额为25×（1﹣x）×（1﹣x），

∴可列方程为25（1﹣x）2＝16，

故选：B．

3．（2021•郑州二模）小明看到关于四川大凉山留守儿童的关报道后，想为这些孩子献一份爱心．六一儿童节当天他将三、四、五三个月挣得的800零花钱成功捐出．已知三月份小明做家务挣得零花钱200元，设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，则根据题意列出方程为（　　）

A．200（1+2x）＝800 

B．200×2（1+x）＝800 

C．200（1+x）2＝800 

D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800

【分析】等量关系为：三月份零花钱+四月份零花钱+五月份零花钱＝800，据此列出方程即可．

【解析】设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，

根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝800，

故选：D．

4．（2021•长清区二模）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．5000（1+2x）＝7500 

B．5000（1+x）＝7500 

C．5000（1+x）2＝7500 

D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500

【分析】根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2＝2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．

【解析】设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，

由题意得：5000（1+x）2＝7500，

故选：C．

5．（2021•包河区二模）随着美丽乡村建设和发展，某乡村2019年旅游总收入为a万元，计划到2021年旅游总收入在2019年基础上翻两番．设每年的旅游总收入平均增长率为x，以下方程正确的是（　　）

A．a（1+x）2＝2a B．ax+ax2＝4a C．a（1+x2）＝4a D．a（1+x）2＝4a

【分析】根据题意可得等量关系：2019年的旅游总收入×（1+增长率）2＝2021年的旅游总收入，根据等量关系列出方程即可．

【解析】设每年的旅游总收入平均增长率为x，

由题意得：a（1+x）2＝4a，

故选：D．

6．（2021•通州区模拟）某商店今年1月份的销售额是1万元，3月份的销售额是1.21万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（　　）

A．20% B．15% C．10% D．5%

【分析】设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．

【解析】设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为（1+x）万元，三月份销售额为（1+x）2万元，

由题意可得：（1+x）2＝1.21，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意舍去），

答：该店销售额平均每月的增长率为10%；

故选：C．

7．（2021•苏州模拟）2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为x，可列方程为（　　）

A．50（1+x）2＝182 

B．50（1+2x）＝182 

C．182（1﹣x）2＝50 

D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182

【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的销售额，再根据题意表示出三月份的销售额，然后将三个月的销售额相加，即可列出方程．

【解析】二月份的销售额为：50（1+x），

三月份的销售额为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，

故第一季度总销售额为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．

故选：D．

8．（2021•新吴区模拟）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）

A．1.4（1+x）＝4.5 

B．1.4（1+2x）＝4.5 

C．1.4（1+x）2＝4.5 

D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2＝4.5

【分析】根据题意可得等量关系：2013年的快递业务量×（1+增长率）2＝2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．

【解析】设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，由题意得：

1.4（1+x）2＝4.5，

故选：C．

9．（2020•江都区三模）某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　）

A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1

【分析】等量关系为：2017年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2019年贫困人口，把相关数值代入计算即可．

【解析】设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：

9（1﹣x）2＝1，

故选：B．

10．（2020秋•潮州期末）疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，若第3周接到订单为7.8万件，设第1周到第2周的订单增长率为x，可列得方程为（　　）

A．5（1+x+1.5x）＝7.8 B．5（1+x×1.5x）＝7.8 

C．7.8（1﹣x）（1﹣1.5x）＝5 D．5（1+x）（1+1.5x）＝7.8

【分析】设第1周到第2周的订单增长率为x，根据题意表示出两个月的增长率，列出方程即可．

【解析】设第1周到第2周的订单增长率为x，根据题意得：

5（1+x）（1+1.5x）＝7.8，

故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020秋•梁溪区期末）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，可列方程：　60（1﹣x）2＝48.6　．

【分析】根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意得：60（1﹣x）2＝48.6，

故答案为：60（1﹣x）2＝48.6．

12．（2020秋•淮安期末）某种商品经过两次降价，单价从150元降到96元，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为　150（1﹣x）2＝96　．

【分析】设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，150降至96就是方程的平衡条件，列出方程求解即可．

【解析】设每次降价的百分率为x．由题意，得

150（1﹣x）2＝96，

故答案为：150（1﹣x）2＝96．

13．（2020秋•江阴市期末）一种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至64元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则x的值是　20%　．

【分析】根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

【解析】依题意得：100（1﹣x）2＝64，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．

故答案为：20%．

14．（2020秋•滨湖区期末）某小区开展“新农村”建设，今年8月份改造绿化面积为6400m2，到了今年10月份增加到8100m2，假设改造绿化面积月平均增长率都相同，则增长率为　12.5%　．

【分析】设增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．

【解析】设增长率为x，

根据题意得：6400（1+x）2＝8100，

解得：x112.5%，x2（舍去），

则增长率为12.5%．

故答案为：12.5%．

15．（2020秋•镇江期末）一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为　80（1﹣x）2＝51.2　．

【分析】根据药品的原价及经过2次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意得：80（1﹣x）2＝51.2，

故答案为：80（1﹣x）2＝51.2．

16．（2020秋•锡山区期末）某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比1月份的利润增加4.2万元，设该产品利润平均每月的增长率为x，则可列方程为　20（1+x）2＝20+4.2　．

【分析】根据该公司销售该种产品1月份及3月份获得的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意得：20（1+x）2＝20+4.2，

故答案为：20（1+x）2＝20+4.2．

17．（2021春•诸暨市月考）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程为　100（1﹣x）2＝81　．

【分析】根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意得：100（1﹣x）2＝81．

故答案为：100（1﹣x）2＝81．

18．（2021春•瓯海区期中）某市大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2019年投入10亿元，若每年的增长率相同，预计2021年投资14.4亿元，设年平均增长率为x，则由题意可列方程　10（1+x）2＝14.4　．

【分析】首先设每年投资的增长率为x．根据2019年投入10亿元，若每年的增长率相同，预计2021年投资14.4亿元，可列方程．

【解析】设每年投资的增长率为x，

根据题意，得：10（1+x）2＝14.4，

故答案为：10（1+x）2＝14.4．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•东城区期中）列方程解应用题：

口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2021年某厂家口罩产量由1月份的125万只增加到3月份的180万只．该厂家口罩产量的平均月增长率是多少？

【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“1月份的125万只增加到3月份的180万只”，列出方程即可得出答案．

【解析】从1月份到3月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，

根据题意可得：125（1+x）2＝180，

解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），

答：该厂家口罩产量的平均月增长率是20%．

20．（2021春•合肥期中）在《2020城市商业魅力排行榜》中，合肥第一次进入新一线城市名单．同时2020年合肥的GDP也首次进入万亿大关，合肥房价也随之增长，已知合肥某小区的2020年平均房价21780元/m2，而该小区2018年房价是18000元/m2，若两年增长率相等．

求（1）平均增长率．

（2）你估计2021年该小区平均房价会突破24000元/m2吗？

【分析】（1）设年平均增长率为x，根据该小区2018年及2020年的平均房价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）利用2021年该小区的平均房价＝2020年该小区的平均房价×（1+增长率），可求出2021年该小区的平均房价，将其与24000元/m2比较后即可得出结论．

【解析】（1）设年平均增长率为x，

依题意得：18000（1+x）2＝21780，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．

答：年平均增长率为10%．

（2）21780×（1+10%）＝23958（元/m2）＜24000元/m2．

答：2021年该小区平均房价不会突破24000元/m2．

21．（2020秋•合肥期末）新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量，经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到1000辆，预计明年会增长到1210辆．

（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；

（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴，在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？

【分析】（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，根据“去年新能源汽车总量已达到1000辆，预计明年会增长到1210辆”列出方程并解答；

（2）根据（1）中的增长率可以得到：1000×增长率×0.8．

【解析】（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，由题意，得

1000（1+x）2＝1210．

解得，x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．

答：今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为10%；

（2）1000×10%×0.8＝800（万元）．

答：该市财政部门今年需要准备800万元补贴资金．

22．（2020秋•姜堰区期末）某公司第一季度的销售利润为20万元，第三季度的销售利润为24.2万元．

（1）求平均每个季度销售利润的增长率；

（2）按照这个增长率，预计第四季度的销售利润将达到多少万元？

【分析】（1）设平均每个季度销售利润的增长率为x，根据该公司第一季度及第三季度得销售利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）利用第四季度的销售利润＝第三季度的销售利润×（1+增长率），即可求出结论．

【解析】（1）设平均每个季度销售利润的增长率为x，

依题意得：20（1+x）2＝24.2，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．

答：平均每个季度销售利润的增长率为10%．

（2）24.2×（1+10%）＝26.62（万元）．

答：预计第四季度的销售利润将达到26.62万元．

23．（2020•南漳县模拟）为了创建全国文明城市，提升城市品质，某市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，该市2017年的绿色建筑面积为950万平方米，2019年达到了1862万平方米．若2018年，2019年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：

（1）求2018年，2019年绿色建筑面积的年平均增长率；

（2）若该市2020年计划推行绿色建筑面积达到2600万平方米，如果2020年仍保持相同年平均增长率，请你预测2020年该市能否完成目标．

【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得2018年，2019年绿色建筑面积的年平均增长率；

（2）根据（1）中的增长率可以求得实际到2020年绿色建筑的面积，然后与计划的作比较，即可解答本题．

【解析】（1）设2018年，2019年绿色建筑面积的年平均增长率为x，

根据题意得，950（1+x）2＝1862，

解得x1＝40%，x2＝﹣2.4（舍去）．

故2018年，2019年绿色建筑面积的年平均增长率为40%；

（2）1862×（1+40%）＝2606.8（万平方米），

∵2606.8＞2600，

∴2020年该市能完成目标．

24．（2020春•雨花区校级期末）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：

（1）求每天增长的百分率；

（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，根据每天生产口罩6500万件，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解析】（1）设每天增长的百分率为x，

依题意，得：500（1+x）2＝720，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：每天增长的百分率为20%；

（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，

依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，

解得：m1＝4，m2＝25．

又∵在增加产能同时又要节省投入，

∴m＝4．

答：应该增加4条生产线．