数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程优秀课时训练

专题21.11一元二次方程的应用：传播比赛数字问题（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•古丈县期末）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　）

A．24 B．25 C．26 D．27

【分析】由1个人患了新冠且经过两轮传染后共有625个人患新冠，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】依题意，得：1+m+m（m+1）＝625，

解得：m1＝24，m2＝﹣26（不合题意，舍去）．

故选：A．

2．（2020秋•开江县期末）秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　）

A．9人 B．10人 C．11人 D．12人

【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，则第一轮传染了x人，第二轮传染了（x+1）x人，根据第二轮传染后患流感的人数即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，则第一轮传染了x人，第二轮传染了（x+1）x人，

根据题意得：1+x+（x+1）x＝121，

解得：x＝10或x＝﹣12（舍去）．

故选：B．

3．（2020•武汉模拟）有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（　　）

A．10 B．50 C．55 D．45

【分析】设每轮传染中每人传染x人，根据经过两轮传染后共有605人患流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，取其正值代入（5+5x）中即可求出结论．

【解析】设每轮传染中每人传染x人，

依题意，得：5+5x+x（5+5x）＝605，

整理，得：x2+2x﹣120＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去），

∴5+5x＝55．

故选：C．

4．（2020秋•汉寿县期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（　　）

A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 

C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2

【分析】设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列出方程可得答案．

【解析】假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）2，

故选：C．

5．（2020秋•东海县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（　　）

A．x2+x+1＝91 B．（x+1）2＝91 C．x2+x＝91 D．x2+1＝91

【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．

【解析】设每个支干长出x个小分支，

根据题意列方程得：x2+x+1＝91．

故选：A．

6．（2021•南通模拟）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（　　）

A．1+x＝225 B．1+x2＝225 

C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2）＝225

【分析】此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程即可．

【解析】设1人平均感染x人，

依题意可列方程：（1+x）2＝225．

故选：C．

7．（2019秋•绥德县期末）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）

A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 

C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28

【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，

根据题意得：x（x﹣1）＝4×7，

即x（x﹣1）＝28．

故选：D．

8．（2020春•沙坪坝区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】根据在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】依题意，得：1+x+x2＝43，

整理，得：x2+x﹣42＝0，

解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．

故选：C．

9．（2019秋•南充期末）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　）

A．6个 B．8个 C．9个 D．12个

【分析】设有x个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案．

【解析】设有x个队参赛，

根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，

解得：x＝9或x＝﹣8（舍去），

故选：C．

10．（2019秋•大渡口区期末）为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12

【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】依题意，得：1+n+n2＝111，

解得：n1＝10，n2＝﹣11．

故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020秋•锦州期末）2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡1190张，设全班有x名同学，则可列方程为　x（x﹣1）＝1190　．

【分析】根据题意可知，每名同学都先（x﹣1）名同学赠送贺卡，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．

【解析】由题意可得，

x（x﹣1）＝1190，

故答案为：x（x﹣1）＝1190．

12．（2019秋•海陵区校级期末）某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人．设该病毒一人平均每轮传染x人，则关于x的方程为　（1+x）2＝121　．

【分析】等量关系为：1+第一轮传染的人数+第二轮传染的人数＝121，把相关数值代入即可求得所求方程．

【解析】∵1人患流感，一个人传染x人，

∴第一轮传染x人，此时患病总人数为1+x；

∴第二轮传染的人数为（1+x）x，此时患病总人数为1+x+（1+x）x，

∵经过两轮传染后共有121人患了流感，

∴可列方程为：（1+x）2＝121．

故答案为：（1+x）2＝121．

13．（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　12　个人．

【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为169人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x＝169．即可解答．

【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得

x+1+（x+1）x＝169

x＝12或x＝﹣14（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．

故答案为：12．

14．（2020春•哈尔滨期末）哈尔滨市南岗区中学校组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间比赛一场），计划一共安排21场比赛，设总共x个学校参加比赛，列方程为　x（x﹣1）＝21　．

【分析】根据赛制为单循环形式且共安排了21场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意，得：x（x﹣1）＝21．

故答案为：x（x﹣1）＝21．

15．（2021•泗洪县一模）已知3个连续整数的和为m，它们的平方和是n，且n＝11（m﹣8），则m＝　15或18　．

【分析】设连续的整数分别为a，a+1，a+2，用a的代数式分别表示出m，n，再建立关于a的方程求出a即可．

【解析】设三个整数分别为a，a+1，a+2，

所以m＝3a+3，n＝a2+（a+1）2+（a+2）2＝3a2+6a+5，

由n＝11（m﹣8），

所以 3a2+6a+5＝11（3a﹣5），

解得a＝4或5，

则m＝15或18．

16．（2020秋•泰兴市期中）如果两个连续奇数的积是323，如果设其中较小的一个奇数为x，可得方程　x（x+2）＝323　．

【分析】设其中较小的一个奇数为x，则另一个奇数为x+2，然后再根据“两个连续奇数的积是323”列出方程即可．

【解析】设其中较小的一个奇数为x，由题意得：

x（x+2）＝323，

故答案为：x（x+2）＝323．

17．（2020•启东市三模）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了　3　人．

【分析】据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为16人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x＝16．即可解答．

【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得

x+1+（x+1）x＝16，

x＝3或x＝﹣5（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了3个人．

故答案为：3．

18．（2019秋•抚州期末）九年级8班第一小组x名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则x的值是　6　．

【分析】由8班第一小组共送出贺卡30张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】依题意，得：x（x﹣1）＝30，

解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．

故答案为：6．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•云县校级期末）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支．

【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据“一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43”即可列方程求得x的值．

【解析】设每个支干长出的小分支的数目是x个，

根据题意列方程得：x2+x+1＝43，

解得：x＝6或x＝﹣7（不合题意，舍去）．

答：每个支干长出6个小分支．

20．（2020春•金华期中）在全国人民的共同努力下，新冠肺炎确诊病例逐渐减少，据统计，某地区2月2日累计新冠肺炎确诊病例144例，2月16日累计新冠肺炎确诊病例36例，那么这两周确诊病例平均每周降低的百分率是多少？

【分析】根据减少率问题应用题的思路：减少率＝减少数量（原数量）×100%．如：若原数是a，每次减少的百分率为x，则第一次减少后为a（1+x）；第二次减少后为a（1﹣x）2，即原数×（1﹣减少的百分率）2＝后来数．即可解答．

【解析】设这两周确诊病例平均每周降低的百分率是x，

由题意得：144（1﹣x）2＝36，

解得x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（舍去），

答：这两周确诊病例平均每周降低的百分率是50%．

21．（2020•大连二模）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：

（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？

（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？

【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；

（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+15），即可求出结论．

【解析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，

依题意，得：1+x+x（1+x）＝256，

解得：x1＝15，x2＝﹣17（不合题意，舍去）．

答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．

（2）256×（1+15）＝4096（人）．

答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．

22．（2020•揭西县模拟）新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人．

（1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？

（2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？

【分析】（1）设一个人平均感染x人，根据经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）将x＝7代入（x+1）3中即可求出结论．

【解答】（1）解：设一个人平均感染x人，可列方程：

1+x+（1+x）x＝64，

解得：x1＝7，x2＝﹣9（舍去）．

故这种病毒每轮传播中一个人平均感染7人；

（2）（7+1）3＝512（人）

答：经过三轮传播后一共有512人被感染．

23．（2021•惠东县二模）某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．

（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

（2）若病毒得不到有效控制，　四　轮感染后机房内所有电脑都被感染．

【分析】（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共（200+1）台电脑，即可得出结论．

【解析】（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，

依题意得：（1+x）2＝16，

解得：x1＝3，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．

答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．

（2）经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为16×（1+3）＝64（台），

经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为64×（1+3）＝256（台），

∵256＞200+1，

∴四轮感染后机房内所有电脑都被感染．

故答案为：四．

24．（2021•东莞市校级一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析：

（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

【分析】（1）本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出x的值；

（2）3轮后共有（1+x）3台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断．

【解析】设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x＝81，

整理得（1+x）2＝81，

则x+1＝9或x+1＝﹣9，

解得x1＝8，x2＝﹣10（舍去），

答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑；

（2）（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）3＝（1+8）3＝729＞700．

答：3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．