北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 双曲线及其标准方程课后测评

第二章圆锥曲线

§2　双曲线

2.1　双曲线及其标准方程

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为(　　)

A.,0 B.,0 C.,0 D.(,0)

答案B

解析将双曲线方程化为标准方程为x2-=1,

∴a2=1,b2=,∴c2=a2+b2=,∴c=,

故右焦点坐标为,0.

2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为2,则该双曲线的方程为(　　)

A.-y2=1 B.=1

C.x2-=1 D.=1

答案C

解析由题意得

解得

则该双曲线的方程为x2-=1.

3.已知双曲线=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则λ等于(　　)

A. B.5 C.7 D.

答案D

解析根据题意可知,双曲线的标准方程为

=1.

由其焦距为4,得c=2,

则有c2=2-λ+3-λ=4,解得λ=.

4.已知双曲线=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　)

A.3或7 B.6或14 C.3 D.7

答案A

解析连接ON,ON是△PF1F2的中位线,

∴|ON|=|PF2|,

∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,

∴|PF2|=14或|PF2|=6,

∴|ON|=7或|ON|=3.

5.

如图,已知双曲线的方程为=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为(　　)

A.2a+2m B.4a+2m 

C.a+m D.2a+4m

答案B

解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.

又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.

6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在(　　)

A.一个椭圆上 B.一个圆上

C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上

答案D

解析由x2+y2-8x+12=0,

得(x-4)2+y2=4,

画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,

设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,

∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,

则|PM|-|PO|=1<4,

∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.

7.以椭圆=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是　　　　　　. 

答案y2-=1

解析由题意知,双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为=1,则a=1,c=2,所以b2=3,所以双曲线的标准方程为y2-=1.

8.已知点F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,则△F1PF2的面积为　　　　　. 

答案16

解析因为P是双曲线左支上的点,

所以|PF2|-|PF1|=6,

两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.

在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==0,

所以∠F1PF2=90°,

所以|PF1|·|PF2|=×32=16.

9.已知与双曲线=1共焦点的双曲线过点P-,-,求该双曲线的标准方程.

解已知双曲线=1,

则c2=16+9=25,∴c=5.

设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).

依题意知b2=25-a2,

故所求双曲线方程可写为=1.

∵点P-,-在所求双曲线上,

∴代入有=1,

化简得4a4-129a2+125=0,

解得a2=1或a2=.

当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,

不合题意,舍去,

∴a2=1,b2=24,

∴所求双曲线的标准方程为x2-=1.

等级考提升练

10.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析因为mn<0,所以m,n均不为0且异号,方程mx2+ny2=1,可化为=1,因为异号,所以方程=1表示双曲线,故“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件;反之,若mx2+ny2=1表示双曲线,则其方程可化为=1,可知异号,则必有mn<0,故“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件.综上可得,“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件.

11.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是(　　)

A.=1 B.=1(x≥4)

C.=1 D.=1(x≥3)

答案D

解析由|MA|-|MB|=6,且6<|AB|=10,

得a=3,c=5,b2=c2-a2=16.

故其轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支.

所以点M的轨迹方程为=1(x≥3).

12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是(　　)

A.双曲线的一支 B.圆

C.椭圆 D.双曲线

答案A

解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,

由两圆外切的充要条件,得

|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.

∴|MO2|-|MO1|=1,

又|O1O2|=4,

∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).

13.若双曲线-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为(　　)

A.1 B. C.2 D.4

答案A

解析设点P在双曲线的右支上,

则|PF1|-|PF2|=2,

已知|PF1|+|PF2|=2,

解得|PF1|=,|PF2|=,

|PF1|·|PF2|=2.

又|F1F2|=2,

则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,

∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,

∴|PF1|·|PF2|=×2=1.

14.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-y2=1(a>0)过点,-,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=(　　)

A.3 B.6 C.9 D.12

答案C

解析由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-y2=1(a>0)过点,-,可得=1,

解得a=3,b=1,c=,a+c>3,

点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.

15.若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为　　　　. 

答案(2,+∞)

解析由曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,可得=1,

即有m>0,且m-2>0,解得m>2.

16.焦点在x轴上的双曲线经过点(4,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为　　　　　　. 

答案=1

解析设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),

则由QF1⊥QF2,得=-1,

∴=-1,∴c=5,

设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),

∵双曲线过点(4,-3),∴=1.

又c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,

∴双曲线的标准方程为=1.

17.已知双曲线E:=1的左、右焦点分别为F1,F2.

(1)若点M在双曲线上,且=0,求点M到x轴的距离;

(2)若双曲线C与双曲线E有相同的焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.

解(1)如图所示,不妨设点M在双曲线E的右支上,点M到x轴的距离为h,=0,

则MF1⊥MF2,

设|MF1|=m,|MF2|=n,

由双曲线定义,知m-n=2a=8, ①

又m2+n2=(2c)2=80, ②

由①②得mn=8,

∴mn=4=|F1F2|·h,

∴h=.

(2)设所求双曲线C的方程为

=1(-4<λ<16),

由于双曲线C过点(3,2),

∴=1,

解得λ=4或λ=-14(舍去),

∴所求双曲线C的方程为=1.

新情境创新练

18.

已知△OFQ的面积为2,且=m,其中O为坐标原点.

(1)设<m<4,求的夹角θ的正切值的取值范围;

(2)设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=-1c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.

解(1)因为

所以tanθ=.

又<m<4,

所以1<tanθ<4,

即tanθ的取值范围为(1,4).

(2)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),

Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),

所以S△OFQ=|·|y1|=2,

则y1=±.

又=m,

即(c,0)·(x1-c,y1)=-1c2,

解得x1=c,

所以||==2,

当且仅当c=4时,取等号,此时||最小,

这时Q的坐标为()或(,-).

因为

所以

于是所求双曲线的标准方程为=1.