数学北师大版 (2019)6.3 球的表面积和体积当堂达标检测题

课后素养落实(五十三)　球的表面积和体积

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　)

A．    B．    C．8π     D．

C　[设球的半径为R，则截面圆的半径为，

∴截面圆的面积为S＝π＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.]

2．设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是(　　)

A．π cm3     B．π cm3

C．π cm3     D．π cm3

D　[由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2 cm，故这个球的体积为π cm3.]

3．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则圆锥的高与球的半径之比为(　　)

A．2∶1    B．2∶3    C．2∶π    D．2∶5

A　[设半球的半径为r，圆锥的高为h，则πr2h＝πr3×，所以h＝2r，故选A.]

4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是(　　)

A．S正方体>S球      B．S正方体<S球

C．S正方体＝S球      D．无法确定

A　[设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3，∴a＝，R＝，∴S正方体＝6a2＝6＝，S球＝4πR2＝<.]

5．圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是(　　)

A．1 cm     B．2 cm

C．3 cm     D．4 cm

C　[设球半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，可得3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3.]

二、填空题

6．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．

　[设大，小两球半径分别为R，r，则所以

所以体积和为πR3＋πr3＝.]

7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．

　[设球的半径为R，正方体棱长为a，则V球＝πR3＝π，得到R＝，正方体体对角线的长为a＝2R，则a＝，所以正方体的棱长为.]

8．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．

8π　[过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r＝，

∴其表面积S＝4π×()2＝8π.]

三、解答题

9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．

[解]　该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.

10．如图，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1，现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，求折叠后的几何体的外接球的表面积．

[解]　由题意得，折叠后的几何体为正三棱柱，且该三棱柱的底面边长为1，高为2.如图所示的正三棱柱ABC­A1B1C1.

设上下底面的中心分别为O1，O2，则球心O为O1，O2的中点，连接OC，O2C，

则O2C＝××1＝，OO2＝1，

∴OC＝＝＝，即球半径R＝，

∴该几何体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝.

11．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)

A．    B．16π    C．9π    D．

A　[如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，

∵正四棱锥P－ABCD中AB＝2，∴AO′＝.

∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，

∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，

∴该球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝，故选A.]

12．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)

A．π     B．    C．    D．

B　[如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心．球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝. ∴底面圆半径r＝＝，故圆柱体积V＝πr2h＝π×1＝.]

13．已知三棱锥A­BCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为________．

3π　[如图，构造正方体ANDM­FBEC.因为三棱锥A­BCD的所有棱长都为，所以正方体ANDM­FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.

易知三棱锥A­BCD的外接球就是正方体ANDM­FBEC的外接球，所以三棱锥A­BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A­BCD的外接球的表面积为S球＝4π＝3π.]

14．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为________．

　[连接BC1，与B1C交于点O，则O为平面BCC1B1的中心．由题意知，球心为侧面BCC1B1的中心O，BC1为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°，则△ABC的外接圆圆心N位于BC的中点，同理，△A1B1C1的外接圆圆心M位

于B1C1的中点，设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1(R为球的半径)，所以＋＝1，即x＝，即AB＝AC＝1，所以侧面ABB1A1的面积为×1＝.]

15．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．

[解]　由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．

根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，

则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，

而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，

从而容器内水的体积是V′＝π··h＝πh3，由V＝V′，得h＝r.

即容器中水的深度为r.