北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用精练

课后素养落实(十一)　三角函数的简单应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至(　　)

A.甲    B．乙    C．丙    D．丁

C　[相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，选C.]

2.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)

A．－5安     B．5安

C．5 安     D．10安

A　[由图象知A＝10，＝－＝，∴ω＝＝100π，∴I＝10sin (100πt＋φ).

又(，10)为五点中的第二个点，

∴100π× ＋φ＝.

∴φ＝，∴I＝10sin ，

当t＝秒时，I＝－5安．]

3.若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(如图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图).则月球绕地球一周所用的时间T为(　　)

A．24.5天     B．29.5天

C．28.5天     D．24天

B　[由题图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期．]

4.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是(　　)

A．y＝sin      B．y＝sin

C．y＝sin      D．y＝sin

C　[由题意知，函数的周期为T＝60，∴|ω|＝＝.

设函数解析式为y＝sin .

∵初始位置为P0，

∴t＝0时，y＝，∴sin φ＝，∴φ可取，

∴函数解析式可以是y＝sin .

又由秒针顺时针转动可知，y的值从t＝0开始要先逐渐减小，

故y＝sin .]

5.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A．5    B．6    C．8    D．10

C　[根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋5＝8.]

二、填空题

6．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．

80　[∵T＝＝，∴f＝＝80.]

7．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐振动，B、C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次达到C点，则振子在5秒内通过的路程及5 s末相对平衡位置的位移大小分别为________cm，________cm.

200　10　[振幅A＝10，T＝0.5×2＝1 s，每个周期通过的路程为40 cm，5秒内通过200 cm；经过5个周期仍回到初始位置B，位移为10 cm.]

8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标有12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60].

10sin 　[解析式可写为d＝A sin (ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin .]

三、解答题

9.如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<).

(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；

(2)写出这段曲线的函数解析式．

[解]　(1)由题图可知，一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．

(2)b＝＝40，A×1＋40＝50⇒A＝10，

由图可知，＝14－8＝6，则T＝12，ω＝＝，

则y＝10sin ＋40，代入(8，30)得φ＝，

∴解析式为y＝10sin ＋40，x∈[8，14].

10.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：

(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；

(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？

[解]　(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.

所以y＝40.5－40cos t(t≥0).

(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos t0，得

cos t0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8.

所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).

11.如图所示，某风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).则h与t满足的函数关系为(　　)

A．h＝sin ＋2.5 B．h＝2sin ＋1.5

C.h＝－2cos t＋2.5     D．h＝2cos t＋2.5

C　[最大值M＝4.5 m，最小值m＝0.5 m，所以A＝＝2，b＝＝2.5，因为T＝12，所以ω＝＝，又风车从最低点开始运动，所以 ×0＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，不妨设φ＝，所以h与t满足的函数关系为h＝2sin ＋2.5＝－2cos t＋2.5.]

12.如图所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sin θ≈θ，试估算气球的高BC的值约为(　　)

A．70 m     B．86 m　

C．102 m     D．118 m

B　[AC＝＝≈×180≈172(m)，又∠BAC＝30°，∴BC＝AC≈86 m．]

13.如图所示，表示电流I与时间t的关系式：I＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|<)在一个周期内的图象．根据图象写出I＝A sin (ωt＋φ)的解析式为________．

I＝300sin 　[由图象可知A＝300，又T＝2[－]＝，∴ω＝＝100π.又∵t＝－时，I＝0，

∴100π(－)＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝，

∴I＝300sin .]

14．某同学利用描点法画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，列出的部分数据如下表：

经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式应是________．

y＝2sin 　[在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．

根据函数图象的大致走势，

可知点(1，0)不符合题意；又∵0<A≤2，函数图象过点(4，－2)，∴A＝2，

∵函数图象过点(0，1)，

∴2sin φ＝1.又∵－<φ<，∴φ＝，

由(0，1)，(2，1)关于直线x＝1对称，知x＝1时函数取得最大值2，

∴函数的最小正周期为6.

∴ω＝，∴函数的解析式为y＝2sin (x＋).]

15.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．

(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；

(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？

[解]　(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．

OP每秒钟内所转过的角为＝.

则OP在时间t(s)内所转过的角为t.

由题意可知水轮逆时针转动，

得z＝4sin ＋2.

当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.

故所求的函数关系式为z＝4sin ＋2.

(2)令z＝4sin ＋2＝6，

得sin ＝1，令t－＝，得t＝4，

故点P第一次到达最高点大约需要4 s．