普通高中2021年高中数学学业水平考试模拟测试题五含解析

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普通高中2021年高中数学学业水平考试模拟测试题（五）(时间:90分钟　满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N= (　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　A.{-1,0,1,2} B.{-1,0,1}C.{-1,0,2} D.{0,1}2.点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为 (　　)A.30° B.45° C.60° D.120°3.已知a=(4,2),b=(6,y),且a⊥b,则y的值为 (　　)A.-12 B.-3 C.3 D.124.若a<b<0,则下列不等式:①|a|>|b|;②;③>2;④a2<b2中,正确的有 (　　)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.已知α是第二象限角,sin α=,则cos α= (　　)A.- B.- C. D.6.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 (　　)A.y=x-2 B.y=x-1C.y=x2-2 D.y=lox7.不等式组表示的平面区域是 (　　)8.一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下,组距(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]频数234542 则样本在(10,50]上的频率为 (　　)A. B. C. D.9.cos 40°sin 80°+sin 40°sin 10°= (　　)A. B.- C.cos 50° D.10.函数y=log2(x2-3x+2)的递减区间是 (　　)A.(-∞,1) B.(2,+∞)C. D.11.从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,其和为奇数的概率为 (　　)A. B.C. D.12.将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位,得到的图象对应的解析式是              (　　)A.y=sinx B.y=sinC.y=sin D.y=sin13.已知l,m,n为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列判断正确的是 (　　)A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nC.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥lD.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α14.函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是 (　　)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)15.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ,则λ+μ= (　　)A.2 B.-2C.3 D.-3二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.函数y=ax-1+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点　　　　. 17.等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6=　　　　. 18.某学院A,B,C三个专业共有1 200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院A专业有380名学生,B专业有420名学生,则该学院C专业应抽取　　　　名学生. 19.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则∠A的度数为　　　　. 三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.已知向量a=,b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.               21.如图,直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)ABC-A1B1C1中,点G是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BG;(2)若AB=BC,AC=AA1,求证:AC1⊥A1B. 22.已知函数f(x)=1+-xα(α∈R),且f(3)=-.(1)求α的值;(2)求函数f(x)的零点;(3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性,并给予证明. 答案：1.A　【解析】因为集合M={-1,0,1},N={0,1,2},所以M∪N={-1,0,1,2}.2.C　【解析】∵点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,∴a-4+1=0,∴a=,即直线l的斜率为,直线l的倾斜角为60°.3.A　【解析】因为a=(4,2),b=(6,y),且a⊥b,所以a·b=0,即4×6+2y=0,解得y=-12.故选A.4.C　【解析】对于①,根据不等式的性质,可知若a<b<0,则|a|>|b|,故正确;对于②,若a<b<0,两边同除以ab,则,即,故正确;对于③,若a<b<0,则>0,>0,根据基本不等式即可得到>2,故正确;对于④,若a<b<0,则a2>b2,故不正确.故选C.5.B　【解析】∵α是第二象限角,sin α=,∴cos α=-=-.故选B.6.A　【解析】∵y=x-1是奇函数,y=lox不具有奇偶性,故排除B,D;又函数y=x2-2在区间(0,+∞)上是单调递增函数,故排除C.故选A.7.B　【解析】由题意可知,(0,0)在x-3y+6=0的下方,满足x-3y+6≥0;(0,0)在直线x-y+2=0的下方,不满足x-y+2<0.故选B.8.D　【解析】根据题意,样本在(10,50]上的频数为2+3+4+5=14,所求的频率为P=.故选D.9.D　【解析】cos 40°sin 80°+sin 40°sin 10°=cos 40°cos 10°+sin 40°sin 10°=cos(40°-10°)=.10.A　【解析】由x2-3x+2>0,得x<1或x>2,又y=log2(x3-3x+2)的底数是2,所以在(-∞,1)上递减.故选A.11.C　【解析】从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,共有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)10种,和为奇数的有6种,故P=.12.C　【解析】将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得函数y=sin,再将所得的图象向左平移个单位,得函数y=sin,即y=sin.故选C.13.C　【解析】可采用排除法.A中平行于同一平面的两条直线可以平行,可以相交,也可以异面,所以A错误;B中直线m,n可以相交,可以平行,也可以异面,所以B错误;D中条件可推出m,n⊂α,且l⊥m,l⊥n,但m,n不一定相交,故不能推出l⊥α,所以D错误.故选C.14.B　【解析】函数f(x)=log2x+x-2的图象在(0,+∞)上连续不断,f(1)=0+1-2<0,f(2)=1+2-2>0,故函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是(1,2).故选B.15.A　【解析】设小正方形边长为1.以A为原点,AD所在直线为x轴,与AD垂直的直线为y轴建立直角坐标系,那么=(1,0),=(1,2),=(2,-2),那么解得λ=-1,μ=3,所以λ+μ=2.故选A.16.(1,2)　【解析】当x-1=0,即x=1时,y=2.∴函数y=ax-1+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,2).17.14　【解析】由等差数列的通项公式可得,a3+a4=2a1+5d=9,a1+d=3,所以a1=2,d=1,所以a1a6=2×7=14.18.40　【解析】抽样比为1∶10,而C学院的学生有1 200-380-420=400(名),所以按抽样比抽取40名.19.90°　【解析】根据正弦定理,可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A⇔sin(B+C)=sin 2A,而sin(B+C)=sin A,所以sin A=sin 2A,所以sin A=1,所以∠A=90°.20.【解】f(x)=·(sin x,cos 2x)=cos xsin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=cossin 2x-sincos 2x=sin.(1)f(x)的最小正周期为T==π,即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-.由正弦函数的性质知,当2x-,即x=时,f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-,因此,f(x)在上的最大值是1,最小值是-.21.证明:(1)如图,连接AB1,交A1B于点O,连接OG.在△B1AC中,∵G,O分别为AC,AB1的中点,∴OG∥B1C.又∵OG⊂平面A1BG,B1C⊄平面A1BG,∴B1C∥平面A1BG.(2)∵在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,BG⊂平面ABC,∴AA1⊥BG.∵G为棱AC的中点,AB=BC,∴BG⊥AC.∵AA1∩AC=A,∴BG⊥平面ACC1A1,∴BG⊥AC1.设AC=2,则AG=1,AA1=.在Rt△ACC1和Rt△A1AG中,tan∠AC1C=tan∠A1GA=,∴∠AC1C=∠A1GA.又∠AC1C+∠C1AC=90°,∴∠A1GA+∠C1AC=90°,∴A1G⊥AC1.∵BG∩A1G=G,∴AC1⊥平面A1BG.∵A1B⊂平面A1BG,∴AC1⊥A1B.22.【解】(1)由f(3)=-,得1+-3α=-,解得α=1.(2)由(1),得f(x)=1+-x.令f(x)=0,即1+-x=0,也就是=0,解得x=.经检验,x=是1+-x=0的根,所以函数f(x)的零点为.(3)函数f(x)=1+-x在(-∞,0)上是减函数.证明如下:设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)==(x2-x1).因为x1<x2<0,所以x2-x1>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)=1+-x在(-∞,0)上是减函数.