高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 指数幂的拓展学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 指数幂的拓展学案，共6页。


授课提示：对应学生用书第35页
[教材提炼]
知识点 分段函数
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
函数y＝|x|在x≥0与x＜0时的解析式相同吗？
知识梳理 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
[自主检测]
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x＋1)，x＜－1，,\r(x－1)，x＞1，))则f(2)等于( )
A．0 B.eq \f(1,3) C．1 D．2
答案：C
2．若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x＜0))且f(x)＝1，则x＝( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
答案：C
3．函数D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x是有理数，,0，x是无理数，))则其定义域为________，值域为________．
答案：R {0,1}
4．函数y＝|x－1|的图象关于直线________对称．
答案：x＝1
授课提示：对应学生用书第35页
探究一 分段函数的定义域、值域及求值问题
[例1] [教材P68例6拓展探究]
(1)若已知函数M(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x≤－1，,x＋1，－1＜x≤0，,x＋12，x＞0.))
求①M(－3)，②M(2)，③M[M(0)]，④f[M(－3)]，⑤F[M(a)]．
[解析] ①当x＝－3时，M(－3)＝(－3＋1)2＝4.
②当x＝2时，M(2)＝(2＋1)2＝9.
③∵M(0)＝1，
∴M[M(0)]＝M(1)＝(1＋1)2＝4.
④∵f(x)＝x＋1，
∴f[M(－3)]＝f(4)＝4＋1＝5.
⑤当a≤－1时，M(a)＝(a＋1)2，
∴f[M(a)]＝(a＋1)2＋1.
当－1＜a≤0时，M(a)＝a＋1，
∴f[M(a)]＝(a＋1)＋1＝a＋2.
当a＞0时，M(a)＝(a＋1)2，
∴f[M(a)]＝(a＋1)2＋1.
综上，f[M(a)]＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋12＋1， a≤－1，,a＋2， －1＜a≤0，,a＋12＋1， a＞0.))
(2)∀x∈R，用m(x)表示f(x)、g(x)中的较小者，记为m(x)＝mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(fx，gx)).求m(x)的解析式，并求m(x)的值域．
[解析] 由(x＋1)2＝x＋1得x＝－1或x＝0，
即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象相交于两点(－1,0)和(0,1)．
结合f(x)与g(x)的图象得出
m(x)的解析式为m(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1， x≤－1，,x＋12， －1＜x≤0，,x＋1， x＞0，))
如图，值域为R.
1．分段函数定义域、值域的求法
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集．
(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．
2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
3．分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
探究二 求分段函数解析式
[例2] 如图①，在边长为6的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图象．
[解析] (1)按照题意，根据x的变化，写出分段函数的解析式．
当点P在线段BC上移动时，即0＜x≤6，BP＝x，
于是S△APB＝eq \f(1,2)AB·BP＝eq \f(1,2)×6×x＝3x；
当点P在线段CD上移动时，即6＜x≤12，S△APB＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)×6×6＝18；
当点P在线段DA上移动时，即12＜x＜18，S△APB＝eq \f(1,2)AB·PA＝eq \f(1,2)×6×(18－x)＝54－3x.
于是y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x，0＜x≤6，,18，6＜x≤12，,54－3x，12＜x＜18.))
(2)画出y＝f(x)的图象，如图②所示．
求分段函数解析式的关键点
(1)明确自变量x的分段区间及分段点．
(2)明确每一段上的函数类型用待定系数法求.
若函数y＝f(x)的图象如图所示，则其表达式f(x)为________．
解析：此函数在三个区间上的图象各不相同，故分别写出其在各区间内的函数表达式．
答案：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋3， x∈[－2，0，,－\f(1,2)x＋3， x∈[0，2，,2， x∈[2，4.))
探究三 分段函数与方程、不等式
[例3] (1)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2，x≤2，,2x，x＞2.))若f(x0)＝8，则x0＝________.
[解析] 当x0≤2时，f(x0)＝xeq \\al(2,0)＋2＝8，即xeq \\al(2,0)＝6，
∴x0＝－eq \r(6)或x0＝eq \r(6)(舍去)．
当x0＞2时，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4.
综上，x0＝－eq \r(6)或x0＝4.
[答案] －eq \r(6)或4
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≤－2，,x＋1，－2＜x＜4,3x，x≥4，))，若f(a)＜－3，则a的取值范围是________．
[解析] 当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；
当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；
当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解．
所以a的取值范围是(－∞，－3)．
[答案] (－∞，－3)
由分段函数的函数值求自变量的方法
已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
将本例(1)改为：若f(x)＞8，求x的范围．
解析：当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤2，,x2＋2＞8))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤2，,x2＞6，))
∴x＜－eq \r(6).
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞2，,2x＞8，))
∴x＞4.
∴x的范围为(－∞，－eq \r(6))∪(4，＋∞).
授课提示：对应学生用书第36页
一、形分而神不分——分段函数问题的求解方法eq \x(►直观想象、逻辑推理)
分段函数只是在自变量不同的范围下，有不同的解析式，但在定义域内，它还是一个函数，而不是多个函数，解决问题时，要“分段处理”，然后结果要合为一体．
[典例] 已知实数a≠0，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋a，x＜1，,－x－2a，x＞1，))若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
[解析] 当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，
所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－a－1，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，
所以－1－a＝3a＋2，
所以a＝－eq \f(3,4).
当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，
所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1
所以a＝－eq \f(3,2)(舍去)．
综上所述，a＝－eq \f(3,4).
[答案] －eq \f(3,4)
二、不分类讨论致错
[典例] 若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2，－1≤x≤2，,x－3，2＜x≤5，))则方程f(x)＝1的解是( )
A.eq \r(2)或2 B.eq \r(2)或3
C.eq \r(2)或4 D．±eq \r(2)或4
[解析] 当－1≤x≤2时，由f(x)＝1得，
3－x2＝1，
所以x＝eq \r(2)或x＝－eq \r(2)(舍去)．
当2＜x≤5时，
由f(x)＝1得，x－3＝1，所以x＝4.
综上，f(x)＝1的解是x＝eq \r(2)或x＝4.
[答案] C
纠错心得 解决分段函数求值问题，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求值时要重视x的取值范围．如本例当－1≤x≤2时，求出x＝eq \r(2)或x＝－eq \r(2)，通过检验应舍去x＝－eq \r(2).
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过具体实例，了解分段函数的概念．
数学抽象
2.能画出简单分段函数的图象.
直观想象