2020-2021学年1.4 充分条件与必要条件导学案

1．4　充分条件与必要条件

1．4.1　充分条件与必要条件

授课提示：对应学生用书第11页

[教材提炼]

知识点　充分条件与必要条件

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？

(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等．　　　

知识梳理　(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)．

如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇒q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．

(2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．

[自主检测]

1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．既不是充分条件也不是必要条件

D．无法判断

答案：A

2．“a＝b”是“ac＝bc”的________条件．(充分，必要)

答案：充分

3．“x2＝1”是“x＝1”的________条件．(充分，必要)

答案：必要

授课提示：对应学生用书第11页

探究一　充分条件、必要条件的判定

[例1]　指出下列“若p，则q”的命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．

(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；

(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；

(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

(4)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB.

[解析]　(1)这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．q是p的必要条件．

(2)这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件．p是q的充分条件．

(3)这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．q是p的必要条件．

(4)这是线段垂直平分线的性质p⇒q.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．

一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中p与q的条件关系，只需判断是否有“p⇒q”，即“若p，则q”是否为真命题．只有p⇒q，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；如果p⇒q，p是q的不充分条件，q是p的不必要条件．

(1)“xy为无理数”是“x，y为无理数”的____________．

(2)“x是无理数”是“x2也是无理数”的________．

答案：(1)既不充分也不必要　(2)必要条件

探究二　充分条件、必要条件与集合的关系

[例2]　指出下列各组题中，p是q的什么条件．

(1)p：x＜1，q：x≤2；

(2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；

(3)p：0＜x＜5，q：0＜x≤3.

[解析]　(1)∵{x|x＜1}{x|x≤2}

即p⇒q但q⇒p.

p是q的充分不必要条件．

(2)p：{(x，y)|xy＞0}

p⇒q但q⇒p.

p是q的充分不必要条件．

(3)p：{x|0＜x＜5}{x|0＜x≤3}

p⇒q但q⇒p.

∴p是q的必要不充分条件．

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则

①若A⊆B，则p是q的充分条件．

②若B⊆A，则p是q的必要条件．

③若A⊆B且B⃘A，即AB，则p是q的充分不必要条件．

④若B⊆A且A⃘B，即BA，则p是q的必要不充分条件．

⑤若A⃘B且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．

　“x＜1”是“＞1”的________条件．(充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要)

解析：∵＞1即0＜x＜1，

∴{x|x＜1}{x|0＜x＜1}．

答案：必要不充分

探究三　由充分，必要条件求参数

[例3]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[解析]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

故有或解得m≤3.

又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}.

将条件关系转化为集合的包含关系．从而建立参数的不等式(组)求解.

　将例3中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解析：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

因为p是q的充分不必要条件，

设p代表的集合为A，q代表的集合为B，

所以AB.

所以或

解不等式组得m＞9或m≥9，

所以m≥9，

即实数m的取值范围是{m|m≥9}．

授课提示：对应学生用书第12页

一、“充分”与“必要”的孪生兄弟关系

　对于一个命题“若p则q”，研究p与q的条件关系时．

一要明确所问：“p是q的什么条件”还是“q是p的什么条件”．

二要明确推导关系，即原命题的真假，对于同一个推理形式“p⇒q”而言，“p是q”的充分条件，同时“q是p”的必要条件．二者是同一个问题、相伴孪生．

就命题而言，如果将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题．

结论

即：

(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充分不必要条件．

(3)若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．

(4)若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

[典例]　p是r的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件．s是r的必要条件，也是q的充分条件．判断p是q的什么条件，p是s的什么条件．

[解析]　由题意得，p、q、r、s之间的关系．

如图：

p是q的充分不必要条件．

p是s的充分不必要条件．

二、混淆“充分条件”“必要条件”

[典例]　若“x＜m”是“x＞2或x＜1”的充分不必要条件．求m的范围．

[解析]　由题意得{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}．

如图：

∴m≤1.

纠错心得　本题将条件关系转化为集合的真包含关系．借助数轴，易去掉m＝1或者将包含关系弄错．