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初中数学人教版七年级上册4.3.1 角巩固练习
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这是一份初中数学人教版七年级上册4.3.1 角巩固练习，文件包含43角练习学生版docx、43角练习教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
1．=一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于（ ）
A．75°B．105°C．45°D．135°
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【解答】解：
从图中发现∠ABC等于60°﹣15°=45°．故选C．
【点评】解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是做这类题的关键．
2．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；
B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．
3．时钟显示为9：30时，时针与分针所夹角度是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：9：30时，时针与分针所夹角度是30×=105°，
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
4．一个人从A地出发向北偏东80°方向到达B地，再从B地向北偏西25°方向到达C地，如果∠ACB=55°，则∠CAB的度数是（ ）
A．25°B．50°C．70°D．75°
【分析】根据题意画出图形，再根据平行线的性质进行解答即可．
【解答】解：由题意得∠ABC=（90°﹣80°）+（90°﹣25°）=75°，
∴∠CAB=180°﹣75°﹣55°=50°，
故选B．
【点评】本题考查的是方向角的概念及平行线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．任何一个角都有余角
C．若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，2，∠3互余
D．若一个角有余角，则这个角的补角与这个角的余角的差为90°
【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角．
【解答】解：A．一个角的补角不一定大于这个角，故A错误；
B． 任何一个锐角都有余角，故B错误；
C． 若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，2，∠3不是互余的关系，故C错误；
D． 若一个角有余角，则这个角的补角与这个角的余角的差为90°，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余角的定义，解题时注意：互余是指两个角之间的数量关系，与位置无关．
6．已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（ ）
A．28°B．112°C．28°或112°D．68°
【分析】根据题意画出图形，利用数形结合求解即可．
【解答】解：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=70°﹣42°=28°；
当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．
故选C．
【点评】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
7．下面等式成立的是（ ）
A．83.5°=83°50′B．37°12′36″=37.48°
C．24°24′24″=24.44°D．41.25°=41°15′
【分析】进行度、分、秒的加法、减法计算，注意以60为进制．
【解答】解：A、83.5°=83°50′，错误；
B、37°12′36″=37.48°，错误；
C、24°24′24″=24.44°，错误；
D、41.25°=41°15′，正确．
故选D．
【点评】此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
8．如图，将一副三角板的直角顶点重合平放，若∠AOD=35°，则∠BOC为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】根据互余两角之和等于90°，进行求解即可．
【解答】解：∵∠AOD=35°，∠COA=90°，∠BOD=90°，
且∠AOD+∠COD=∠COD+∠BOC=90°，
∴∠AOD=∠BOC=35°．
故选A．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键在于熟练掌握互余两角之和等于90°．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．互余两角之比是2：3，则这两角是34°与51°
B．105°45′与75°15′是互补的两个角
C．一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°
D．一个角的余角是这个角的4倍，这个角是22.5°
【分析】根据余角和补角的定义即可求解．
【解答】解：A、互余两角之比是2：3，则这两角是90°×=36°，故选项错误；
B、105°45′+75°15′=181°，105°45′与75°15′不是互补的两个角，故选项错误；
C、一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°，故选项正确；
D、一个角的余角是这个角的4倍，这个角是90°÷（4+1）=18°，故选项错误．
故选：C．
【点评】考查了余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
10．若∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°，则（ ）
A．∠1＞∠2＞∠3B．∠2＞∠1＞∠3C．∠1＞∠3＞∠2D．∠3＞∠1＞∠2
【分析】∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，只要将∠3化为度、分、秒的形式，即可比较大小．
【解答】解：∵∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°=20°15′，
∴∠1＞∠2＞∠3．
故选A．
【点评】主要考查了两个角比较大小．在比较时要注意统一单位后再比较．
11．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的大小为（ ）
A．22°B．34°C．56°D．90°
【分析】先根据∠COE是直角，∠COF=34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°﹣34°=56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=56°﹣34°=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°．
故选A．
【点评】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、直角的定义等知识是解答此题的关键．
12．将一长方形纸片，按图中的方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后点E′刚好落在A′B上，则∠CBD的度数为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．95°
【分析】由折叠的性质可知，∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，根据平角=180°结合∠CBD=∠CBA′+∠E′BD，即可得出2∠CBD=180°，进而即可得出∠CBD=90°，此题得解．
【解答】解：根据折叠的性质可知：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，
∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∠CBD=∠CBA′+∠E′BD，
∴2∠CBD=180°，
∴∠CBD=90°．
故选C．
【点评】本题考查了角的计算以及翻折变换，根据角的计算结合平角为180°找出2∠CBD=180°是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
13．已知∠A=65°，则∠A的补角等于 115° ．
【分析】根据补角的定义，得出补角为（180°﹣65°），即可得出答案．
【解答】解：∵∠A=65°，
∴∠A的补角为180°﹣65°=115°，
故答案为115°．
【点评】本题综合考查余角与补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式求解．
14．33.33°= 33 ° 19 ′ 48 ''；25°53'24''= 25.89 °．
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率，可得答案．
【解答】解：33.33°=33° 19′48''；25°53'24''=25.89°，
故答案为：33，19，48；25.89．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率是解题关键．
15．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB= 180° ．
【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
【解答】解：设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，
所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了角度的计算问题，在本题中要注意∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
16．如图，当时钟显示7：30分时，时针与分针的夹角为 45° ．
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：7：30分时，时针与分针的夹角为30×=45°，
故答案为：45．
【点评】本条查了钟面角，确定时针与分针相距的分数是解题关键．
17．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是 北偏东70° ．
【分析】先求出∠AOB=55°，再求得OC的方位角，从而确定方位．
【解答】解：∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°
∴∠AOB=40°+15°=55°
∵∠AOC=∠AOB
∴OC的方向是北偏东15°+55°=70°．
【点评】主要考查了方位角的运用．会准确的找到所对应的角度并会根据勾股定理求线段的长度是需要掌握的基本能力之一．
18．已知：如图，OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，∠AOB=35°，那么∠BOD的度数为 105° ．
【分析】利用角平分线的性质得出∠COB=∠AOB，∠DOC=∠AOC，进而得出∠DOC的度数进而得出答案．
【解答】解：∵OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，
∴∠COB=∠AOB，∠DOC=∠AOC，
∵∠AOB=35°，
∴∠BOC=35°，
∴∠DOC=∠AOC=70°，
∴∠BOD=70°+35°=105°．
故答案为：105°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，正确得出∠DOC的度数是解题关键．
19．如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD= 70° ．
【分析】先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出结论．
【解答】解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．
故答案是：70°．
【点评】本题考查的是角平分线的定义和角的和差计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．
20．如图所示，其中最大的角是 ∠AOD ，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是 ∠DOA＞∠DOB＞∠DOC ．
【分析】直接根据图形即可得出结论．
【解答】解：由图可知，最大的角是∠AOD；∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
故答案为：∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
【点评】本题考查的是角的大小比较，根据题意利用数形结合即可得出结论．
21．已知：∠α=40.4°，∠β=40°4′，则∠α ＞ ∠β（填“＞”、“=”、“＜”）．
【分析】首先同一单位，利用1°=60′，把∠α=40.4°=40°24′，再进一步与∠β比较得出答案即可．
【解答】解：∵∠α=40.4°=40°24′，∠β=40°4′，
∴∠α＞∠β．
故答案是：＞．
【点评】此题考查角的大小比较的方法和度分秒之间的换算．在比较角的大小时有时可把度化为分来进行比较．
22．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE=28°，则∠EOF的度数为 90° ．
【分析】根据已知条件“∠DOE=∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE=28°”和平角的定义可以求得∠AOF=∠DOF=∠AOD=62°，∠DOE=∠BOE=28°；然后根据图形求得∠EOF=∠DOF+∠DOE=62°+28°=90°．
【解答】解：∵∠DOE=∠BOE，∠BOE=28°，
∴∠DOB=2∠BOE=56°；
又∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD=124°；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=∠DOF=∠AOD=62°，
∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=62°+28°=90°．
故答案是：90°．
【点评】本题考查了角的计算．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件“∠AOB=180°”．
一．解答题（共12小题）
1．已知一个角的补角等于这个角的余角的6倍，求这个角的度数．
【分析】设这个角为α，根据两个补角的和等于180°，两个余角的和等于90°表示出这个角的补角与余角，然后列出方程求解即可．
【解答】解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，它的余角为90°﹣α，
根据题意得，180°﹣α=6（90°﹣α），
解得α=72°．
故答案为：72°．
【点评】本题考查了余角与补角的定义，熟记定义并表示出这个角的补角与余角是解题的关键．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）根据邻补角的定义确定出∠AOC和∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，根据垂直的定义可得∠COF=∠DOF=90°，然后根据等角的余角相等求出∠DOE=∠ACO，从而最后得解；
（2）根据角平分线的定义求出∠AOF，再根据余角的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD与∠AOD互补，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=∠DOF=90°，
∴∠DOE=∠ACO，
∴∠DOE也是∠AOD的补角，
∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE；
（2）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠AOE=60°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOC=∠COF﹣∠AOF=90°﹣60°=30°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
【点评】本题考查了余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义，难点在于（1）根据等角的余角相等确定出与∠AOD互补的第三个角．
3．如图，OM平分∠AOB，∠AOC=2∠BOC，若∠AOB=120°，求∠MOC的度数．
【分析】根据已知求出∠BOC和∠AOC，根据角平分线定义求出∠MOB，根据角的大小求出即可．
【解答】证明：∵∠AOB=2∠BOC，∠AOB=120°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠AOC=2∠BOC=80°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠MOB=60°，
∴∠MOC=∠MOB﹣∠BOC=60°﹣40°=20°，
答：∠COM的度数是20°．
【点评】本题考查了角的计算和角的平分线定义等知识点，关键是根据角的大小比较求出每个角的度数，此题题型较好，难度适中．
4．如图，∠AOB=130°，OC是∠AOB内部一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．求∠DOE的度数．
【分析】先根据角平分线定义得到∠EOC=∠BOC，∠COD=∠AOC，再求出∠EOD=∠EOC+∠COD=∠AOB=65°．
【解答】解：∵OD平分∠AOC （已知）
∴∠DOC=∠AOC （角平分线定义）
∵OE平分∠BOC （已知）
∴∠COE=∠COB （角平分线定义）
∵∠DOE=∠DOC+∠COE （如图）
∴∠DOE=∠AOC+∠COB
=∠AOB （等式性质）
∵∠AOB=130° （已知）
∴∠DOE=×130°
=65°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，比较简单．
5．回答下列问题：
（1）已知|a|=3，|b|=2，且a＜b，求（a+b）2
（2）已知一个角的补角比这个角的4倍大15°，求这个角的余角．
【分析】（1）根据绝对值得意义，可得a，b的值，根据乘方的意义，可得答案；
（2）根据补角的关系，可得这个角，根据余角的定义，可得答案．
【解答】解：（1）由|a|=3，|b|=2，且a＜b，得
a=﹣3，b=2或b=﹣2．
a=﹣3，b=2时，（a+b）2=（﹣1）2=1，
a=﹣3，b=﹣2时，（a+b）2=（﹣5）2=25；
综上所述：（a+b）2的值为1或25．
（2）设这个角为x度，由题意，得
x+4x+15=180°，
解得x=33，
这个角的余角90°﹣x=57°．
【点评】本题考查了余角和补角，利用余角和补角的关系是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作AC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE= ．
【分析】（1）以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）解：∵DC是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠ACD，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，
∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
设DE=CE=x，则AE=6﹣x，
∴=，
解得：x=，
即DE=，
故答案为：．
【点评】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
7．如图，货轮O在航行过程中，在它的北偏东60°方向上，与之相距30海里处发现灯塔A，同时在它的南偏东30°方向上，与之相距20海里处发现货轮B，在它的西南方向上发现客轮C，按下列要求画出．
（1）画出线段OB；
（2）画出射线OC；
（3）连接AB交OE于点D．
【分析】（1）根据方向角的定义即可作出；
（2）根据方向角定义即可作出；
（3）作线段AB，AB和OE的交点就是D．
【解答】解：（1）如图；
（2）如图；
（3）如图；
【点评】本题考查了方向角的定义，理解定义是本题的关键．
8．计算：
（1）33°52′+21°50′；
（2）108°8′﹣36°56′；
（3）20°23′×2；
（4）15°3′÷7．
【分析】（1）度、分分别相加，再满60进1即可；
（2）先变形得出107°68′﹣36°56′，再度、分分别相减即可；
（3）度、分分别乘以2即可；
（4）先15°除以7余1°，再63′除以7即可．
【解答】解：（1）33°52′+21°50′
=54°102′
=55°42′；
（2）108°8′﹣36°56′
=71°12′；
（3）20°23′×2
=40°46′；
（4）15°3′÷7
=2°9′．
【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，能正确进行度、分、秒之间的加减、乘除运算是解此题的关键，注意：1°=60′，1′=60″．
9．如图，已知O是直线MN上的一点，∠AOB=90°，经过点O的直线DC平分∠BON，∠1=38°，求∠3和∠DOA的度数．
【分析】直接利用角平分线的性质进而利用互余的性质得出∠3的度数，再利用∠DOA=∠COD﹣∠2﹣∠3求出答案．
【解答】解：∵OC平分∠BON，
∴∠1=∠2=38°，
∵∠AOB=90°，
∴∠3=90°﹣∠1﹣∠2=90°﹣38°﹣38°=14°，
∵直线DC经过点O，
∴∠COD=180°，
∴∠DOA=∠COD﹣∠2﹣∠3
=180°﹣38°﹣14°
=128°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确得出∠3=90°﹣∠1﹣∠2是解题关键．
10．如图，AB＞AC，AD平分∠BAC，且CD=BD．试说明∠B与∠C的大小关系？
【分析】在AB上截取AE=AC，连接DE，证△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到两角的大小关系．
【解答】解：∠B十∠C=180°．
理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD与△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵CD=BD，
∴DE=DB，
∴∠B=∠DEB，
又∵∠DEB+∠AED=180°，
∴∠B+∠C=180°．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质和等腰三角形的性质和角平分线的定义．
11．如图，O是直线AB上的一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）分别指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角
（2）若∠BOC=68°，求∠COD和∠EOC的度数
（3）直接写出∠BOD与∠AOE的数量关系．
【分析】（1）根据互为补角的和等于180°找出即可；
（2）先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义解答；
（3）根据角平分线的定义表示出∠BOD与∠AOE，然后整理即可得解．
【解答】解：（1）∠AOD的补角是∠BOD∠COD，∠BOE的补角是∠AOE和∠COE；
（2）∵∠BOC=68°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣68°=112°，
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=34°，∠COE=56°；
（3）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠BOD=
∠BOC，∠AOE=
∠AOC，
∴∠BOD+∠AOE=
（∠BOC+∠AOC）=
×180°=90°，
∴∠BOD与∠AOE互余．
【点评】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．
12．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将有一30度角的直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（图中∠OMN=30°，∠NOM=90°）
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求t；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；
（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．
【解答】（1）直线ON平分∠AOC；
理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB=60°，
又∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
∴∠BON=30°，
∴∠CON=120°+30°=150°，
∴∠COD=30°，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；
（2）由（1）可知∠BON=30°，∠DON=180°
因此ON旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，
由题意得，6t=60°或240°，
∴t=10或40；
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°．
【点评】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
1
2
1
2
1
2
1
2
1．=一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于（ ）
A．75°B．105°C．45°D．135°
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【解答】解：
从图中发现∠ABC等于60°﹣15°=45°．故选C．
【点评】解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是做这类题的关键．
2．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；
B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．
3．时钟显示为9：30时，时针与分针所夹角度是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：9：30时，时针与分针所夹角度是30×=105°，
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
4．一个人从A地出发向北偏东80°方向到达B地，再从B地向北偏西25°方向到达C地，如果∠ACB=55°，则∠CAB的度数是（ ）
A．25°B．50°C．70°D．75°
【分析】根据题意画出图形，再根据平行线的性质进行解答即可．
【解答】解：由题意得∠ABC=（90°﹣80°）+（90°﹣25°）=75°，
∴∠CAB=180°﹣75°﹣55°=50°，
故选B．
【点评】本题考查的是方向角的概念及平行线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．任何一个角都有余角
C．若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，2，∠3互余
D．若一个角有余角，则这个角的补角与这个角的余角的差为90°
【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角．
【解答】解：A．一个角的补角不一定大于这个角，故A错误；
B． 任何一个锐角都有余角，故B错误；
C． 若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，2，∠3不是互余的关系，故C错误；
D． 若一个角有余角，则这个角的补角与这个角的余角的差为90°，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余角的定义，解题时注意：互余是指两个角之间的数量关系，与位置无关．
6．已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（ ）
A．28°B．112°C．28°或112°D．68°
【分析】根据题意画出图形，利用数形结合求解即可．
【解答】解：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=70°﹣42°=28°；
当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．
故选C．
【点评】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
7．下面等式成立的是（ ）
A．83.5°=83°50′B．37°12′36″=37.48°
C．24°24′24″=24.44°D．41.25°=41°15′
【分析】进行度、分、秒的加法、减法计算，注意以60为进制．
【解答】解：A、83.5°=83°50′，错误；
B、37°12′36″=37.48°，错误；
C、24°24′24″=24.44°，错误；
D、41.25°=41°15′，正确．
故选D．
【点评】此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
8．如图，将一副三角板的直角顶点重合平放，若∠AOD=35°，则∠BOC为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】根据互余两角之和等于90°，进行求解即可．
【解答】解：∵∠AOD=35°，∠COA=90°，∠BOD=90°，
且∠AOD+∠COD=∠COD+∠BOC=90°，
∴∠AOD=∠BOC=35°．
故选A．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键在于熟练掌握互余两角之和等于90°．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．互余两角之比是2：3，则这两角是34°与51°
B．105°45′与75°15′是互补的两个角
C．一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°
D．一个角的余角是这个角的4倍，这个角是22.5°
【分析】根据余角和补角的定义即可求解．
【解答】解：A、互余两角之比是2：3，则这两角是90°×=36°，故选项错误；
B、105°45′+75°15′=181°，105°45′与75°15′不是互补的两个角，故选项错误；
C、一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°，故选项正确；
D、一个角的余角是这个角的4倍，这个角是90°÷（4+1）=18°，故选项错误．
故选：C．
【点评】考查了余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
10．若∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°，则（ ）
A．∠1＞∠2＞∠3B．∠2＞∠1＞∠3C．∠1＞∠3＞∠2D．∠3＞∠1＞∠2
【分析】∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，只要将∠3化为度、分、秒的形式，即可比较大小．
【解答】解：∵∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°=20°15′，
∴∠1＞∠2＞∠3．
故选A．
【点评】主要考查了两个角比较大小．在比较时要注意统一单位后再比较．
11．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的大小为（ ）
A．22°B．34°C．56°D．90°
【分析】先根据∠COE是直角，∠COF=34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°﹣34°=56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=56°﹣34°=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°．
故选A．
【点评】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、直角的定义等知识是解答此题的关键．
12．将一长方形纸片，按图中的方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后点E′刚好落在A′B上，则∠CBD的度数为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．95°
【分析】由折叠的性质可知，∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，根据平角=180°结合∠CBD=∠CBA′+∠E′BD，即可得出2∠CBD=180°，进而即可得出∠CBD=90°，此题得解．
【解答】解：根据折叠的性质可知：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，
∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∠CBD=∠CBA′+∠E′BD，
∴2∠CBD=180°，
∴∠CBD=90°．
故选C．
【点评】本题考查了角的计算以及翻折变换，根据角的计算结合平角为180°找出2∠CBD=180°是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
13．已知∠A=65°，则∠A的补角等于 115° ．
【分析】根据补角的定义，得出补角为（180°﹣65°），即可得出答案．
【解答】解：∵∠A=65°，
∴∠A的补角为180°﹣65°=115°，
故答案为115°．
【点评】本题综合考查余角与补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式求解．
14．33.33°= 33 ° 19 ′ 48 ''；25°53'24''= 25.89 °．
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率，可得答案．
【解答】解：33.33°=33° 19′48''；25°53'24''=25.89°，
故答案为：33，19，48；25.89．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率是解题关键．
15．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB= 180° ．
【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
【解答】解：设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，
所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了角度的计算问题，在本题中要注意∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
16．如图，当时钟显示7：30分时，时针与分针的夹角为 45° ．
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：7：30分时，时针与分针的夹角为30×=45°，
故答案为：45．
【点评】本条查了钟面角，确定时针与分针相距的分数是解题关键．
17．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是 北偏东70° ．
【分析】先求出∠AOB=55°，再求得OC的方位角，从而确定方位．
【解答】解：∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°
∴∠AOB=40°+15°=55°
∵∠AOC=∠AOB
∴OC的方向是北偏东15°+55°=70°．
【点评】主要考查了方位角的运用．会准确的找到所对应的角度并会根据勾股定理求线段的长度是需要掌握的基本能力之一．
18．已知：如图，OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，∠AOB=35°，那么∠BOD的度数为 105° ．
【分析】利用角平分线的性质得出∠COB=∠AOB，∠DOC=∠AOC，进而得出∠DOC的度数进而得出答案．
【解答】解：∵OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，
∴∠COB=∠AOB，∠DOC=∠AOC，
∵∠AOB=35°，
∴∠BOC=35°，
∴∠DOC=∠AOC=70°，
∴∠BOD=70°+35°=105°．
故答案为：105°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，正确得出∠DOC的度数是解题关键．
19．如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD= 70° ．
【分析】先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出结论．
【解答】解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．
故答案是：70°．
【点评】本题考查的是角平分线的定义和角的和差计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．
20．如图所示，其中最大的角是 ∠AOD ，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是 ∠DOA＞∠DOB＞∠DOC ．
【分析】直接根据图形即可得出结论．
【解答】解：由图可知，最大的角是∠AOD；∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
故答案为：∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
【点评】本题考查的是角的大小比较，根据题意利用数形结合即可得出结论．
21．已知：∠α=40.4°，∠β=40°4′，则∠α ＞ ∠β（填“＞”、“=”、“＜”）．
【分析】首先同一单位，利用1°=60′，把∠α=40.4°=40°24′，再进一步与∠β比较得出答案即可．
【解答】解：∵∠α=40.4°=40°24′，∠β=40°4′，
∴∠α＞∠β．
故答案是：＞．
【点评】此题考查角的大小比较的方法和度分秒之间的换算．在比较角的大小时有时可把度化为分来进行比较．
22．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE=28°，则∠EOF的度数为 90° ．
【分析】根据已知条件“∠DOE=∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE=28°”和平角的定义可以求得∠AOF=∠DOF=∠AOD=62°，∠DOE=∠BOE=28°；然后根据图形求得∠EOF=∠DOF+∠DOE=62°+28°=90°．
【解答】解：∵∠DOE=∠BOE，∠BOE=28°，
∴∠DOB=2∠BOE=56°；
又∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD=124°；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=∠DOF=∠AOD=62°，
∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=62°+28°=90°．
故答案是：90°．
【点评】本题考查了角的计算．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件“∠AOB=180°”．
一．解答题（共12小题）
1．已知一个角的补角等于这个角的余角的6倍，求这个角的度数．
【分析】设这个角为α，根据两个补角的和等于180°，两个余角的和等于90°表示出这个角的补角与余角，然后列出方程求解即可．
【解答】解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，它的余角为90°﹣α，
根据题意得，180°﹣α=6（90°﹣α），
解得α=72°．
故答案为：72°．
【点评】本题考查了余角与补角的定义，熟记定义并表示出这个角的补角与余角是解题的关键．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）根据邻补角的定义确定出∠AOC和∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，根据垂直的定义可得∠COF=∠DOF=90°，然后根据等角的余角相等求出∠DOE=∠ACO，从而最后得解；
（2）根据角平分线的定义求出∠AOF，再根据余角的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD与∠AOD互补，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=∠DOF=90°，
∴∠DOE=∠ACO，
∴∠DOE也是∠AOD的补角，
∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE；
（2）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠AOE=60°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOC=∠COF﹣∠AOF=90°﹣60°=30°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
【点评】本题考查了余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义，难点在于（1）根据等角的余角相等确定出与∠AOD互补的第三个角．
3．如图，OM平分∠AOB，∠AOC=2∠BOC，若∠AOB=120°，求∠MOC的度数．
【分析】根据已知求出∠BOC和∠AOC，根据角平分线定义求出∠MOB，根据角的大小求出即可．
【解答】证明：∵∠AOB=2∠BOC，∠AOB=120°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠AOC=2∠BOC=80°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠MOB=60°，
∴∠MOC=∠MOB﹣∠BOC=60°﹣40°=20°，
答：∠COM的度数是20°．
【点评】本题考查了角的计算和角的平分线定义等知识点，关键是根据角的大小比较求出每个角的度数，此题题型较好，难度适中．
4．如图，∠AOB=130°，OC是∠AOB内部一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．求∠DOE的度数．
【分析】先根据角平分线定义得到∠EOC=∠BOC，∠COD=∠AOC，再求出∠EOD=∠EOC+∠COD=∠AOB=65°．
【解答】解：∵OD平分∠AOC （已知）
∴∠DOC=∠AOC （角平分线定义）
∵OE平分∠BOC （已知）
∴∠COE=∠COB （角平分线定义）
∵∠DOE=∠DOC+∠COE （如图）
∴∠DOE=∠AOC+∠COB
=∠AOB （等式性质）
∵∠AOB=130° （已知）
∴∠DOE=×130°
=65°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，比较简单．
5．回答下列问题：
（1）已知|a|=3，|b|=2，且a＜b，求（a+b）2
（2）已知一个角的补角比这个角的4倍大15°，求这个角的余角．
【分析】（1）根据绝对值得意义，可得a，b的值，根据乘方的意义，可得答案；
（2）根据补角的关系，可得这个角，根据余角的定义，可得答案．
【解答】解：（1）由|a|=3，|b|=2，且a＜b，得
a=﹣3，b=2或b=﹣2．
a=﹣3，b=2时，（a+b）2=（﹣1）2=1，
a=﹣3，b=﹣2时，（a+b）2=（﹣5）2=25；
综上所述：（a+b）2的值为1或25．
（2）设这个角为x度，由题意，得
x+4x+15=180°，
解得x=33，
这个角的余角90°﹣x=57°．
【点评】本题考查了余角和补角，利用余角和补角的关系是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作AC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE= ．
【分析】（1）以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）解：∵DC是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠ACD，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，
∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
设DE=CE=x，则AE=6﹣x，
∴=，
解得：x=，
即DE=，
故答案为：．
【点评】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
7．如图，货轮O在航行过程中，在它的北偏东60°方向上，与之相距30海里处发现灯塔A，同时在它的南偏东30°方向上，与之相距20海里处发现货轮B，在它的西南方向上发现客轮C，按下列要求画出．
（1）画出线段OB；
（2）画出射线OC；
（3）连接AB交OE于点D．
【分析】（1）根据方向角的定义即可作出；
（2）根据方向角定义即可作出；
（3）作线段AB，AB和OE的交点就是D．
【解答】解：（1）如图；
（2）如图；
（3）如图；
【点评】本题考查了方向角的定义，理解定义是本题的关键．
8．计算：
（1）33°52′+21°50′；
（2）108°8′﹣36°56′；
（3）20°23′×2；
（4）15°3′÷7．
【分析】（1）度、分分别相加，再满60进1即可；
（2）先变形得出107°68′﹣36°56′，再度、分分别相减即可；
（3）度、分分别乘以2即可；
（4）先15°除以7余1°，再63′除以7即可．
【解答】解：（1）33°52′+21°50′
=54°102′
=55°42′；
（2）108°8′﹣36°56′
=71°12′；
（3）20°23′×2
=40°46′；
（4）15°3′÷7
=2°9′．
【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，能正确进行度、分、秒之间的加减、乘除运算是解此题的关键，注意：1°=60′，1′=60″．
9．如图，已知O是直线MN上的一点，∠AOB=90°，经过点O的直线DC平分∠BON，∠1=38°，求∠3和∠DOA的度数．
【分析】直接利用角平分线的性质进而利用互余的性质得出∠3的度数，再利用∠DOA=∠COD﹣∠2﹣∠3求出答案．
【解答】解：∵OC平分∠BON，
∴∠1=∠2=38°，
∵∠AOB=90°，
∴∠3=90°﹣∠1﹣∠2=90°﹣38°﹣38°=14°，
∵直线DC经过点O，
∴∠COD=180°，
∴∠DOA=∠COD﹣∠2﹣∠3
=180°﹣38°﹣14°
=128°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确得出∠3=90°﹣∠1﹣∠2是解题关键．
10．如图，AB＞AC，AD平分∠BAC，且CD=BD．试说明∠B与∠C的大小关系？
【分析】在AB上截取AE=AC，连接DE，证△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到两角的大小关系．
【解答】解：∠B十∠C=180°．
理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD与△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵CD=BD，
∴DE=DB，
∴∠B=∠DEB，
又∵∠DEB+∠AED=180°，
∴∠B+∠C=180°．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质和等腰三角形的性质和角平分线的定义．
11．如图，O是直线AB上的一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）分别指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角
（2）若∠BOC=68°，求∠COD和∠EOC的度数
（3）直接写出∠BOD与∠AOE的数量关系．
【分析】（1）根据互为补角的和等于180°找出即可；
（2）先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义解答；
（3）根据角平分线的定义表示出∠BOD与∠AOE，然后整理即可得解．
【解答】解：（1）∠AOD的补角是∠BOD∠COD，∠BOE的补角是∠AOE和∠COE；
（2）∵∠BOC=68°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣68°=112°，
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=34°，∠COE=56°；
（3）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠BOD=
∠BOC，∠AOE=
∠AOC，
∴∠BOD+∠AOE=
（∠BOC+∠AOC）=
×180°=90°，
∴∠BOD与∠AOE互余．
【点评】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．
12．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将有一30度角的直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（图中∠OMN=30°，∠NOM=90°）
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求t；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；
（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．
【解答】（1）直线ON平分∠AOC；
理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB=60°，
又∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
∴∠BON=30°，
∴∠CON=120°+30°=150°，
∴∠COD=30°，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；
（2）由（1）可知∠BON=30°，∠DON=180°
因此ON旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，
由题意得，6t=60°或240°，
∴t=10或40；
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°．
【点评】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
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