2021学年12.3 角的平分线的性质学案

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1．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
分析：作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．
解析：解：作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°，
故选：B．
点评：本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm则PD的长可以是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．7 cm
分析：过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，再根据垂线段最短解答即可．
解析：解：作PD⊥OA于D，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，
∴PD=PC=6cm，
则PD的最小值是6cm，
故选：D．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．

3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
分析：过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
解析：解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=AB•DE=×10•DE=15，
解得DE=3．
故选：A．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．

4．如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（ ）
A．AD+BC=ABB．∠AOB=90°
C．与∠CBO互余的角有2个D．点O是CD的中点
分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，∠AOE=∠AOD，同理可得OC=OE，∠BOC=∠BOE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．
解析：解：∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，
∴AD=AE，BC=BE，
∵AB=AE+BE，
∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），
∴OD=OE，∠AOE=∠AOD，
同理可得OC=OE，∠BOC=∠BOE，
∴∠AOB=×180°=90°，故B选项结论正确；
与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故C选项结论错误；
∵OC=OD=OE，
∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．
故选：C．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（ ）
A．6B．12C．18D．24
分析：过D作DE⊥AB于E，则DE=6，根据角平分线性质求出CD=DE=6，求出BD即可．
解析：解：
过D作DE⊥AB于E，
∵点D到边AB的距离为6，
∴DE=6，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE=6，
∵CD=DB，
∴DB=12，
∴BC=6+12=18，
故选：C．
点评：本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

6．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
分析：可过点P作PE⊥OB，由角平分线的性质可得，PD=PE，进而可得出结论．
解析：解：如图，过点P作PE⊥OB，
∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，又PD=2，
∴PE=PD=2．
故选：B．
点评：本题考查了角平分线的性质；要熟练掌握角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．

7．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，
四个结论中成立的是（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③
分析：过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC=EF=BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC=DF，∠FDE=∠CDE，也可得到AD=AF+FD=AB+DC，∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，即可判断出正确的结论．
解析：解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．
故选：A．
点评：本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．

8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则
△DAB的面积为（ ）
A．12B．18C．20D．24
分析：根据角平分线的性质得出△ABD边AB的高=DC，进而利用三角形面积公式解答即可．
解析：解：过D作DE⊥AB，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴DE=DC=3，
∴△DAB的面积=，
故选：B．
点评：本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键．

9．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠DBE=∠DBFB．DE=DFC．2DF=DBD．∠BDE=∠BDF
分析：根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
解析：解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，B正确，不符合题意；
在Rt△DBE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DBF，
∴∠DBE=∠DBF，∠BDE=∠BDF，A、D正确，不符合题意，
2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，
故选：C．
点评：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

二．填空题（共5小题）
10．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为 ．
分析：过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．
解析：解：过C作CF⊥AO，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF，
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3，
故答案为：3．
点评：此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

11．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是 ．
分析：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
解析：解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
=×4×（AB+AC+BC）
=×4×21=42，
故答案为：42．
点评：本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．

12．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果 ，那么 ．
分析：首先要分清原命题的题设与结论，题设是角平分线上的点，可改为点在角平分线上，如此答案可得．
解析：解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．
点评：本题考查了角平分线的性质及命题的改写问题．找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键．

13．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC=36cm2；，AB=12cm，BC=18cm，则DE的长为 cm．
分析：过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△BCD列出方程求解即可．
解析：解：如图，过点D作DF⊥AB于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴DE=DF，
S△ABC=S△ABD+S△BCD，
=AB•DF+BC•DE，
=×12•DE+×18•DE，
=15DE，
∵△ABC=36cm2，
∴15DE=36，
解得DE=2.4cm．
故答案为：2.4．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线是解题的关键．

14．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∠BOC=20°，则∠AOB= ．
分析：根据角平分线的判定定理，可得∠AOC=∠BOC=20°，由此求出∠AOB=40°．
解析：解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，
∴∠AOC=∠BOC=20°，
∴∠AOB=40°
故答案为40°．
点评：本题主要考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，熟记定理是解题的关键．

三．解答题（共6小题）
15．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”你认为小明的想法正确吗？请说明理由．
分析：根据角平分线的判定定理解答即可．
解析：解：小明的想法正确．
理由如下：作PC⊥OB于C，
∵PC⊥OB，PD⊥OA，PD=PC，
∴∠AOP=∠BOP，即射线OP就是∠BOA的角平分线．
点评：本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．

16．（1）求证：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
（2）如图，AD是△ABC的角平分线，求证：=．
分析：（1）先写出已知、求证，根据角平分线的定义得到∠POE=∠POF，由垂直的定义得∠PEO=∠PFO=90°，易证得△PEO≌△PFO，根据三角形全等的性质即可得到PE=PF；
（2）先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．
解析：解：已知：OC平分∠AOB，点P为OC上任一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
求证：PE=PF已知：OC平分∠AOB，点P为OC上任一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
求证：PE=PF
证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠POE=∠POF，
∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在△PEO和△PFO中，
∴△PEO≌△PFO（AAS），
∴PE=PF，
∴角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（2）如图
过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，
∴△BDE∽△CDA，
∴，
又∵AD是角平分线，
∴∠E=∠DAC=∠BAD，
∴BE=AB，
∴=．
点评：本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．

17．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．
求证：OC是∠AOB的平分线．
分析：利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．
解析：证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD=PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠ABC，BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD=4cm，求AB的长．
分析：根据直角三角形的性质得到∠A=30°，∠ABC=60°，根据角平分线的定义得到∠DBE=30°，根据角平分线的性质得到DE=CD=4cm，解直角三角形即可得到结论．
解析：解：∵∠C=90°，∠A=∠ABC，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=30°，
∴∠A=∠DBE，
∴BD=AD，
∵DE⊥AB，CD=4cm，
∴DE=CD=4cm，
∴AE=BE=DE=4，
∴AB=8，
故答案为：8．
点评：本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DC=，AC=3．
（1）求∠B的度数；
（2）求AB及BC的长．
分析：（1）根据正切的概念求出∠DAC=30°，根据角平分线的定义解答；
（2）根据正切的定义计算即可．
解析：解：（1）∵在△ACD中，∠C=90°，CD=，AC=3，
∴．
∴∠DAC=30°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC=60°，
∴∠B=30°；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
∴AB=2AC=6，
∴．
点评：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

20．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB．
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．
分析：（1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线性质求出即可；
（2）根据平行线性质求出∠BAD+∠DC=180°，求出∠MAD+∠MDA=90°，即可求出答案．
解析：（1）证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC=ME，
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB；
（2）AM⊥DM，
证明：∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠MAD=∠BAD，∠MDA=∠ADC，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∴AM⊥DM．
点评：本题考查了梯形的性质，平行线的性质，角平分线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度适中．
【课堂测试】
一．选择题（共10小题）
1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠CB．AD=AEC．BD=CED．BE=CD
分析：欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
解析：解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
点评：此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．

2．如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠DB．∠ACB=∠DBCC．AC=DBD．AB=DC
分析：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
解析：解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
故选：C．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS．

3．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙
分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
解析：解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选：B．
点评：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

4．下列条件，不能使两个三角形全等的是（ ）
A．两边一角对应相等B．两角一边对应相等
C．直角边和一个锐角对应相等D．三边对应相等
分析：全等三角形的判定定理有“边角边”，“角边角”，“边边边”“角角边”，“HL”，根据此可判断正误找出答案．
解析：解：A、“边边角”不能证明两个三角形全等，故本选项错误．
B、两角一边对应相等能证明三角形全等．故本选项正确．
C、直角边和一个锐角对应相等能证明三角形全等．故本选项正确．
D、三边对应相等能证明三角形全等．故本选项正确．
故选：A．
点评：本题考查全等三角形的判定定理，关键是熟记这些“边角边”，“角边角”，“边边边”“角角边”，“HL”，判定定理．

5．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ）
A．EC=CFB．BE=CFC．∠B=∠DEFD．AC∥DF
分析：可添加条件BE=CF，进而得到BC=EF，然后再加条件AB=DE，AC=DF可利用SSS定理证明△ABC≌△DEF．
解析：解：可添加条件BE=CF，
理由：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
故选：B．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

6．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ）
A．∠BCA=∠FB．BC∥EFC．∠A=∠EDFD．AD=CF
分析：全等三角形的判定方法SSS是指有三边对应相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，只要求出AC=DF即可．
解析：解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、∵BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、∵AD=CF，∴AD+DC=CF+DC，∵AB=DE，BC=EF，∴△ABC≌△DEF，正确．
故选：D．
点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：有三边对应相等的两三角形全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．

7．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
分析：根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．
解析：解：如图，∠A、AB、∠B都可以测量，
即他的依据是ASA．
故选：B．
点评：本题考查了全等三角形的应用，准确识图，并熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．

二．填空题（共5小题）
8．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．
分析：根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
解析：解：添加AB=ED，
∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
即BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AB=ED．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

12．如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是 （填上你认为适当的一个条件即可）．
分析：根据题意，易得∠AEB=∠AEC，又AE公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件．
解析：解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，
又 AE公共，
∴当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；
或BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；
或∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．
点评：此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

13．图示，点B在AE上，∠CBE=∠DBE，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件是 （填上适当的一个条件即可）
分析：求出∠ABC=∠ABD，根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
解析：解：BC=BD，
理由是：∵∠CBE=∠DBE，∠CBE+∠ABC=180°，∠DBE+∠ABD=180°，
∴∠ABC=∠ABD，
在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD，
故答案为：BC=BD．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，主要考查学生的推理能力．

14．如图，已知∠ABC=∠DCB，要证△ABC≌△DCB，还需添加的条件是 ．
分析：要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SAS判定其全等，此题是一道开放型题目，答案不唯一．
解析：解：添加条件是AB=DC，
理由是：∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故答案为：AB=DC．
点评：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．

15．如图，若AB=AC，BD=CD，∠B=20°，∠BDC=120°，则∠A等于 度．
分析：根据SSS证△BAD≌△CAD，根据全等得出∠BAD=∠CAD，∠B=∠C=20°，根据三角形的外角性质得出∠BDF=∠B+∠BAD，∠CDF=∠C+∠CAD，求出∠BDC=∠B+∠C+∠BAC，代入求出即可．
解析：解：过D作射线AF，
在△BAD和△CAD中，
，
∴△BAD≌△CAD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，∠B=∠C=20°，
∵∠BDF=∠B+∠BAD，∠CDF=∠C+∠CAD，
∴∠BDF+∠CDF=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD，
∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC，
∵∠C=∠B=20°，∠BDC=120°，
∴∠BAC=80°．
故答案为：80．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠BDC=∠B+∠C+∠BAC和∠C的度数，难度适中．

三．解答题（共3小题）
16．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．
求证：BC=DE．
分析：根据ASA证明△ADE≌△ABC；
解析：证明：（1）∵∠1=∠2，
∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ADE≌△ABC（ASA）
∴BC=DE，
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等

17．如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．
分析：根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE≌△CBE即可．
解析：证明：在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（SAS），
∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．
点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．

18．如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当AB=5时，求CD的长．
分析：（1）根据AE=DE，BE=CE，∠AEB和∠DEC是对顶角，利用SAS证明△AEB≌△DEC即可．
（2）根据全等三角形的性质即可解决问题．
解析：（1）证明：在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△AEB≌△DEC，
∴AB=CD，
∵AB=5，
∴CD=5．
点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．