初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数课时作业

28.1锐角三角形同步练习人教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为   

A.
B.
C.
D.

3. 在中，若，则下列最确切的结论是     

A. 是直角三角形 B. 是等腰三角形
C. 是等腰直角三角形 D. 是锐角三角形

4. 在中，，，，则的值为   

A.  B.  C.  D.

5. 中，、都是锐角，且，，则的形状是     

A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定

6. 如图，在中，，，，则的值为   

A.
B.
C.
D.

7. 如图，已知在中，，，，则的值是

A.
B.
C.
D.

8. 在中，，，，则的正切值为   

A. 3 B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，，则下列三角函数表示正确的是

A.
B.
C.
D.

10. 已知为锐角，且，则的度数为

A.  B.  C.  D.

11. 计算：

A.  B. 2 C.  D.

12. 下列等式成立的是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 在中，，则______．
14. 若为锐角，且，则的度数为______．
15. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的正弦值是          
    
    
     

16. 在中，，若，则          ．
17. 如图所示，在半径为5的中，弦，点C是优弧上一点不与A、B重合，则sinC的值为______．
    
     

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

18. 计算：；
    解不等式组：
    
    
    
    
    
    
     
19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）

22. 如图，AB为的直径，C为BA延长线上一点，CD是的切线，D为切点，于点E，交CD于点F．
    求证：；
    若，，求EF的长．

23. 如图，AB为的直径，C为上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分．
    求证：DC为的切线．
    若，，求的半径．
    
     

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．
根据三角函数即可求解．
【解答】
解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为
正方形的边心距为，
正六边形的边心距为
，
，
故选：A．  

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
过C作于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在中即可求出的值．
【解答】
解：如图，过C作于D，则，

．
．
故选：D．  

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰直角三角形的判断，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，根据，结合特殊角的三角函数值，可得，即可求得答案．
【解答】
解：，
，
是等腰直角三角形．
故选C．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查锐角三角函数的定义，直接根据正弦函数的定义求解可得．
【解答】
解：，，，
．
故选D．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理先根据特殊角的三角函数值求出、的度数，再根据三角形内角和定理求出即可作出判断．
【解答】
解：中，、都是锐角，，，
．
．
为钝角三角形．
故选B．  

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了锐角三角函数定义以及勾股定理，正确得出BC的长是解题关键．直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】
解：，，，
，
．
故选A．  

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】解析：此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练、准确掌握余弦三角函数的定义是解决本题的关键．
解：在中，
，，
．
故答案为A．

【解答】解：在RtABC中，，，．  

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，根据锐角三角函数的定义求出即可．

【解答】解：在中，，，，
的正切值为，
故选A．  

9.【答案】D
 

【解析】解：，，，
，
，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：D．
先利用勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
 

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．根据解答即可．
【解答】
解：为锐角，，
，
．
故选：B．  

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了实数的运算、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟记实数的运算．
根据实数的运算、负整数指数幂及特殊角的三角函数值计算即可解答．
【解答】
解：原式

．
故选C．  

12.【答案】C
 

【解析】解：A．，此选项计算错误；
B.，此选项错误；
C.，此选项正确；
D.无意义，此选项错误；
故选：C．
根据算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定逐一判断即可得．
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定．
 

13.【答案】
 

【解析】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
在中，，，
设，，则，
．
故答案为：．
本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角或余角的三角函数关系式求三角函数值．
 

14.【答案】
 

【解析】解：为锐角，且，，
．
故答案为：．
直接根据进行解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：由图可知，，，，
，
是直角三角形，且，
．
故答案为：．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】本题主要考查的是锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值的有关知识，根据，设，则，然后利用锐角三角函数的定义进行求解即可．
【解答】解：，，
设，则，

故AB，．

17.【答案】
 

【解析】解：过B点作直径BD，连结AD，如图，
为的直径，
，
在中，，，
，
，
．
故答案为．
过B点作直径BD，连结AD，根据直径所对的圆周角为直角得到，再利用正弦的定义得到，然后根据圆周角定理得到，则．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及锐角三角函数的定义．
 

18.【答案】解：原式

；

解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
 

【解析】先去绝对值符号、代入三角函数值、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组和实数的运算，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：

．
 

【解析】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
 

20.【答案】解：原式

．
 

【解析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

21.【答案】解：当时，
所以
原式


 

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案，
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

22.【答案】解：连接OD，

为的直径，
，
，
，
，
，
是的切线，D为切点，
，
，
，
，
，
；
，，
是的中位线，
，，
，
设，，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接OD，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的性质得到，等量代换即可得到结论；
根据三角形中位线定理得到，设，，证明∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．
 

23.【答案】解：如图，连接OC，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
又OC是的半径，
为的切线；
过点O作于点E，
在中，，，
，
，
，
，
根据垂径定理，得
，
，
，
的半径为2．
 

【解析】如图，连接OC，根据已知条件可以证明，得，由，得，进而可得DC为的切线；
过点O作于点E，根据中，，，可得，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得的半径．
本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．