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初中数学北师大版九年级下册4 二次函数的应用课文ppt课件
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这是一份初中数学北师大版九年级下册4 二次函数的应用课文ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了教学目标，教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。
1、会利用二次函数的知识解决面积最值问题。2、经过面积、利润等最值问题的教学，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验。3．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；4．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值。
1.利用二次函数求实际问题的最值。2.二次函数解决实际问题中的最值问题。
1.对实际问题中数量关系的分析。2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围
对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究．
1．当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处 取得最值．即当x＝－ 时，y最值＝ . 当a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大 值；当a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在 最小值．
2. 当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若－在自变量的取值范 围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时， 最小值在x＝ 处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的 较大的函数值；当a＜0时， 最大值在x＝ 处取得， 最小值为函数在x＝x1， x＝x2时的较小的函数值；
(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和 最小值同时存在，且函数 在x＝x1，x＝x2时的函数值 中，较大的为最大值，较 小的为最小值，如图②.
导引：先求出抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标，然后 看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值 范围内，根据不同情况求解，也可画出图象， 利用图象求解．
例1 分别在下列范围内求函数y＝x2－2x－3的最值： (1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴图象的顶点坐标为(1，－4)． (1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0， ∴当x＝1时，y有最小值，y最小值＝－4. ∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的 图象左右对称，端点处取不到， ∴不存在最大值．
(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)， 而函数y＝x2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线 y＝x2－2x－3的一部分，且当2≤x≤3时， y随x的增大而增大， ∴当x＝3时， y最大值＝32－2×3－3＝0； 当x＝2时， y最小值＝22－2×2－3＝－3.
求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象，借助于图象的直观性求解．
1 二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值 为( ) A．2 B．4 C．－4 D．16已知0≤x≤ ，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最 大值是( ) A．－6 B．－2.5 C．2 D．不能确定
3 已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x 的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值， 则实数a的取值情况是( ) A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤54 二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范 围是________________．
5 若二次函数y＝x2＋ax＋5的图象关于直线x＝－2 对称，且当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1， 则m的取值范围是______________．
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.(1)如果设矩形的一边AB=xm， 那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2，当x 取何值时，y的值最大？ 最大值是多少？
1．利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤： (1)引入自变量； (2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相 关的量； (3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且 用函数表示这个面积； (4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．
例2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆， 下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所 有黑线的长度和）为15m.当x等于多少时，窗户通 过的光线最多？（结果精确到0.01m)此时，窗户的 面积是多少？（结果精确到0.01m2）
解： ∵ 7x+4y+πx=15, 设窗户的面积是Sm2,则S= πx2+2xy 当x= ≈1.07 时，S最大 = ≈4.02. 因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多. 此时，窗户的面积约为 4.02 m2.
例3 如图，已知△ABC的面积为2 400 cm2，底边BC长为80 cm.若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四 边形BDEF为平行四边形，设BD＝ x(cm)，S▱BDEF＝y(cm2)，求： (1)y与x之间的函数关系式． (2)自变量x的取值范围． (3)当x为何值时，y取得最大值？最大值是多少？
导引：(1)可分别设出△DCE的边CD上的高和△ABC的边BC 上的高，根据条件求出△ABC的边BC上的高，再利用 相似找出其他等量关系，然后设法用x表示▱BDEF的边 BD上的高；(2)BD在BC边上，最长不超过BC；(3)根据 x的取值范围及求最值的方法解题．
解：(1)设△DCE的边CD上的高为h cm，△ABC的边BC上的 高为b cm，则有S▱BDEF＝xh(cm2)． ∵S△ABC＝ BC·b， ∴2 400＝ ×80b.∴b＝60. ∵四边形BDEF为平行四边形， ∴DE∥AB.∴△EDC∽△ABC. ∴ ∴y＝x· ＝－ x2＋60x，即y＝－ x2＋60x.
(2)自变量x的取值范围是0＜x＜80. (3)由(1)可得y＝－ (x－40)2＋1 200. ∵a＝－ ＜0，0＜x＜80， ∴当x＝40时，y取得最大值，最大值是1 200.
本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系，再代入数值，用x表示出h，进而得到y与x之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积．
例4 〈实际应用题，易错题〉张大伯准备用一面长15 m的墙 和长38 m的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD， 并在养殖场的一侧留出一个2 m宽的门． (1)求养殖场的面积y(m2)与BC边的长 x(m)之间的函数关系式． (2)当BC边的长为多少时，养殖场的 面积最大？最大面积是多少？
导引：由BC边的长和栅栏的总长可以表示出AB的长，故可求 养殖场的面积y与BC边的长x的函数关系式，再由二次 函数的有关性质和自变量的取值范围可求出养殖场的 最大面积．
解：(1)由题意得，AB＝ m， ∴y＝x· ＝x· ＝－ x2＋20x. 由题意知 ∴0＜x≤15.∴y＝－ x2＋20x，其中0＜x≤15.
(2)y＝－ x2＋20x＝－ (x2－40x) ＝－ (x－20)2＋200. ∵a＝－ ＜0，0＜x≤15，∴y随x的增大而增大． ∴当x＝15时，y最大＝－ ×(15－20)2＋200＝187.5. 答：BC边的长为15 m时，养殖场的面积最大，最大面 积是187.5 m2.
本题利用建模思想，先由图形的面积公式建立函数模型，最后由函数的性质在自变量的取值范围内求出其最值．
1 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则 这个直角三角形的最大面积为( ) A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定2 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长 方形，a的值不可能为( ) A．20 B．40 C．100 D．120
3 如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，从较短 边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们 的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面 积之和最小时，点E应选在( ) A．AD的中点 B．AE∶ED＝( －1)∶2 C．AE∶ED＝ ∶1 D．AE∶ED＝( －1)∶2
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以1 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为________．
利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题．
1、会利用二次函数的知识解决面积最值问题。2、经过面积、利润等最值问题的教学，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验。3．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；4．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值。
1.利用二次函数求实际问题的最值。2.二次函数解决实际问题中的最值问题。
1.对实际问题中数量关系的分析。2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围
对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究．
1．当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处 取得最值．即当x＝－ 时，y最值＝ . 当a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大 值；当a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在 最小值．
2. 当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若－在自变量的取值范 围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时， 最小值在x＝ 处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的 较大的函数值；当a＜0时， 最大值在x＝ 处取得， 最小值为函数在x＝x1， x＝x2时的较小的函数值；
(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和 最小值同时存在，且函数 在x＝x1，x＝x2时的函数值 中，较大的为最大值，较 小的为最小值，如图②.
导引：先求出抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标，然后 看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值 范围内，根据不同情况求解，也可画出图象， 利用图象求解．
例1 分别在下列范围内求函数y＝x2－2x－3的最值： (1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴图象的顶点坐标为(1，－4)． (1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0， ∴当x＝1时，y有最小值，y最小值＝－4. ∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的 图象左右对称，端点处取不到， ∴不存在最大值．
(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)， 而函数y＝x2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线 y＝x2－2x－3的一部分，且当2≤x≤3时， y随x的增大而增大， ∴当x＝3时， y最大值＝32－2×3－3＝0； 当x＝2时， y最小值＝22－2×2－3＝－3.
求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象，借助于图象的直观性求解．
1 二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值 为( ) A．2 B．4 C．－4 D．16已知0≤x≤ ，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最 大值是( ) A．－6 B．－2.5 C．2 D．不能确定
3 已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x 的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值， 则实数a的取值情况是( ) A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤54 二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范 围是________________．
5 若二次函数y＝x2＋ax＋5的图象关于直线x＝－2 对称，且当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1， 则m的取值范围是______________．
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.(1)如果设矩形的一边AB=xm， 那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2，当x 取何值时，y的值最大？ 最大值是多少？
1．利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤： (1)引入自变量； (2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相 关的量； (3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且 用函数表示这个面积； (4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．
例2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆， 下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所 有黑线的长度和）为15m.当x等于多少时，窗户通 过的光线最多？（结果精确到0.01m)此时，窗户的 面积是多少？（结果精确到0.01m2）
解： ∵ 7x+4y+πx=15, 设窗户的面积是Sm2,则S= πx2+2xy 当x= ≈1.07 时，S最大 = ≈4.02. 因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多. 此时，窗户的面积约为 4.02 m2.
例3 如图，已知△ABC的面积为2 400 cm2，底边BC长为80 cm.若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四 边形BDEF为平行四边形，设BD＝ x(cm)，S▱BDEF＝y(cm2)，求： (1)y与x之间的函数关系式． (2)自变量x的取值范围． (3)当x为何值时，y取得最大值？最大值是多少？
导引：(1)可分别设出△DCE的边CD上的高和△ABC的边BC 上的高，根据条件求出△ABC的边BC上的高，再利用 相似找出其他等量关系，然后设法用x表示▱BDEF的边 BD上的高；(2)BD在BC边上，最长不超过BC；(3)根据 x的取值范围及求最值的方法解题．
解：(1)设△DCE的边CD上的高为h cm，△ABC的边BC上的 高为b cm，则有S▱BDEF＝xh(cm2)． ∵S△ABC＝ BC·b， ∴2 400＝ ×80b.∴b＝60. ∵四边形BDEF为平行四边形， ∴DE∥AB.∴△EDC∽△ABC. ∴ ∴y＝x· ＝－ x2＋60x，即y＝－ x2＋60x.
(2)自变量x的取值范围是0＜x＜80. (3)由(1)可得y＝－ (x－40)2＋1 200. ∵a＝－ ＜0，0＜x＜80， ∴当x＝40时，y取得最大值，最大值是1 200.
本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系，再代入数值，用x表示出h，进而得到y与x之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积．
例4 〈实际应用题，易错题〉张大伯准备用一面长15 m的墙 和长38 m的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD， 并在养殖场的一侧留出一个2 m宽的门． (1)求养殖场的面积y(m2)与BC边的长 x(m)之间的函数关系式． (2)当BC边的长为多少时，养殖场的 面积最大？最大面积是多少？
导引：由BC边的长和栅栏的总长可以表示出AB的长，故可求 养殖场的面积y与BC边的长x的函数关系式，再由二次 函数的有关性质和自变量的取值范围可求出养殖场的 最大面积．
解：(1)由题意得，AB＝ m， ∴y＝x· ＝x· ＝－ x2＋20x. 由题意知 ∴0＜x≤15.∴y＝－ x2＋20x，其中0＜x≤15.
(2)y＝－ x2＋20x＝－ (x2－40x) ＝－ (x－20)2＋200. ∵a＝－ ＜0，0＜x≤15，∴y随x的增大而增大． ∴当x＝15时，y最大＝－ ×(15－20)2＋200＝187.5. 答：BC边的长为15 m时，养殖场的面积最大，最大面 积是187.5 m2.
本题利用建模思想，先由图形的面积公式建立函数模型，最后由函数的性质在自变量的取值范围内求出其最值．
1 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则 这个直角三角形的最大面积为( ) A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定2 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长 方形，a的值不可能为( ) A．20 B．40 C．100 D．120
3 如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，从较短 边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们 的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面 积之和最小时，点E应选在( ) A．AD的中点 B．AE∶ED＝( －1)∶2 C．AE∶ED＝ ∶1 D．AE∶ED＝( －1)∶2
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以1 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为________．
利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题．
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