高中数学苏教版必修13.2.2 对数函数课时训练

这是一份高中数学苏教版必修13.2.2 对数函数课时训练，共23页。试卷主要包含了函数y＝的值域是，若函数y＝lg，若函数f，已知，则a，b，c的大小关系为，设偶函数f，函数y＝lga，已知函数f等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共23小题）
1．函数y＝的值域是（　　）
A．R B．[8，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D．[3，+∞）
2．若函数y＝lg（x2﹣ax+4）的值域为R，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，4）∪（4，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）
3．若函数f（x）＝loga（x+1）的定义域和值域都为[0，1]，则a的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
4．已知，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
5．已知a＝2ln3，b＝3ln2，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
6．设偶函数f（x）＝loga|x﹣b|在（﹣∞，0）上是增函数，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（　　）
A．f（a+1）＝f（b+2） B．f（a+1）＞f（b+2）
C．f（a+1）＜f（b+2） D．不能确定
7．函数y＝loga（x+2）+1的图象过定点（　　）
A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，1）
8．已知函数f（x）＝，若f（x0）≥1，则x0的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．[﹣1，0]
C．[﹣1，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪（0，2]
9．（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
10．已知函数f（x）＝|x|，且，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
11．已知a＝log26，b＝log32，c＝log36，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a
12．已知a＝log26，b＝log515，c＝log721，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
13．设，，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
14．设函数f（x）＝logx，若a＝f（log32），b＝f（log52），c＝f（20.2），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
15．对任意实数x，都有（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（1，3] C．（1，3） D．[3，+∞）
16．函数f（x）＝log2x在区间[a，2a]上的最大值是最小值的2倍，则a等于（　　）
A． B． C． D．2
17．设，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
18．已知a＝ln2，b＝ln16，c＝ln27，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
19．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝f（x），且x∈[0，1）时，f（x）＝log2（x+1）．若a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b
20．已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（　　）
A． B．（2，+∞）
C． D．
21．若，则a的取值范围是（　　）
A．（） B．（0，） C．（） D．（0，）∪（1，+∞）
22．函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
23．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，若实数a满足f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1），则a的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．2
二．填空题（共8小题）
24．函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为　 　．
25．已知函数f（x）＝lg（2+x2），则满足不等式f（2x﹣1）＜f（3）的x的取值范围为　 　．
26．已知对数函数f（x）的图象过点（4，﹣2），则不等式f（x﹣1）﹣f（x+1）＞3的解集　 　．
27．函数f（x）＝4+loga（x﹣1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，则点A的坐标是　 　．
28．函数的单调增区间是　 　．
29．loga＜1（a＞0且a≠1），a的取值范围为　 　．
30．若函数f（x）＝loga有最小值，则实数a的取值范围是　 　．
31．若函数y＝ln（ex﹣x+a）的值域为R，则实数a的取值范围是　 　
三．解答题（共9小题）
32．已知函数f（x）＝loga（10+x）﹣loga（10﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．











33．已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．








34．已知函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象过点（，﹣2）．
（Ⅰ）判断函数g（x）＝f（1+x）+f（1﹣x）的奇偶性并求其值域；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x2﹣tx+8）＝2在[1，4]上有解，求实数t的取值范围．







35．已知函数f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0且a≠1）．
（1）当a＝3时，f（x）＜1，求实数x的取值范围．
（2）若f（x）在[3，6]上的最大值大于0，求a的取值范围．





36．已知函数f（x）＝loga（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）过点（3，3）．
（1）求实数a的值；
（2）解关于x的不等式f（2x+2）＜f（x2﹣1）．







37．已知函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）logax是对数函数．
（1）若函数g（x）＝loga（x+1）+loga（3﹣x），讨论g（x）的单调性；
（2）若x∈[，2]，不等式g（x）﹣m+3≤0的解集非空，求实数m的取值范围．








38． 已知函数f（x）＝﹣+5，x∈[2，4]，求f（x）的最大值及最小值．







39．已知函数f（x）＝loga（1+x），g（x）＝loga（1+kx），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）当k＝﹣2时，求函数h（x）＝f（x）+g（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数H（x）＝f（x）﹣g（x）是奇函数（不为常函数），求实数k的值．









40．已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．

2019年07月16日631****0230的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共23小题）
1．【考点】4L：对数函数的值域与最值．菁优网版权所有
【分析】此为一复合函数，要由里往外求，先求内层函数x2﹣6x+17，用配方法求即可，再求复合函数的值域．
【解答】解：∵t＝x2﹣6x+17＝（x﹣3）2+8≥8
∴内层函数的值域变[8，+∞）
y＝在[8，+∞）是减函数，
故y≤＝﹣3
∴函数y＝的值域是（﹣∞，﹣3]
故选：C．
【点评】本题考点对数型函数的值域与最值．考查对数型复合函数的值域的求法，此类函数的值域求解时一般分为两步，先求内层函数的值域，再求复合函数的值域．
2．【考点】4L：对数函数的值域与最值．菁优网版权所有
【分析】根据函数的性质，得出△＝a2﹣16≥0，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝lg（x2﹣ax+4）的值域为R，
∴u（x）＝（x2﹣ax+4）的图象不能在x轴上方，
即图象与x轴2个交点，或1个交点
∴△＝a2﹣16≥0，
即a≤﹣4或a≥4，
故选：D．
【点评】本题综合考查了函数的性质，不等式的解法，属于中档题．
3．【考点】4L：对数函数的值域与最值．菁优网版权所有
【分析】分当a＞1和0＜a＜1两种情况，分别利用函数的单调性和已知条件，求得a的值．
【解答】解：当a＞1时，由函数y＝loga（x+1）的定义域和值域都为[0，1]，
可得当x＝1时，函数取得最大值为loga2＝1，解得a＝2．
当 0＜a＜1时，由条件可得当x＝1时，函数取得最小值为loga2＝0，a无解．
综上可得，a＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的定义域、值域、单调性的应用，属于基础题．
4．【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【分析】根据＝﹣log23＜﹣1，b＝20.3＞1，＝可得大小关系．
【解答】解：∵＝﹣log23＜﹣1，b＝20.3＞1，＝，
∴b＞c＞a．
故选：D．
【点评】本题考查了对数值和指数值大小的比较，关键是找准中间值来比较大小，属基础题．
5．【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【分析】利用对数的运算性质、对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a＝2ln3＝ln9，
b＝3ln2＝ln8＜ln9＝a，
c＝，
∴c＞a＞b，
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．【考点】4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】由f（x）＝loga|x﹣b|为偶函数，求出b＝0，由f（x）＝loga|x﹣b|在（﹣∞，0）上是增函数，求出0＜a＜1，从而f（x）＝loga|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减，由此能判断f（a+1）与f（b+2）的大小关系．
【解答】解：∵f（x）＝loga|x﹣b|为偶函数，∴b＝0
∵f（x）＝loga|x﹣b|在（﹣∞，0）上是增函数，
∴0＜a＜1
∴f（x）＝loga|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减，
∴0＜a+1＜b+2
∴f（a+1）＞f（b+2）．
故选：B．
【点评】本题考查两个函数值的大小的判断，考查函数的单调性、函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
7．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【分析】由对数函数恒过定点（1，0），再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论．
【解答】解：由函数图象的平移公式，我们可得：
将函数y＝logax（a＞0，a≠1）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
即可得到函数y＝loga（x+2）+1（a＞0，a≠1）的图象．
又∵函数y＝logax（a＞0，a≠1）的图象恒过（1，0）点，
由平移向量公式，易得函数y＝loga（x+2）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过（﹣1，1）点，
故选：D．
【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，记住结论：函数y＝loga（x+m）+n（a＞0，a≠1）的图象恒过（1﹣m，n）点
8．【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4Q：指数函数与对数函数的关系．菁优网版权所有
【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．
【解答】解：当x0≤0时，，解得0≥x0≥﹣1
当x0＞0时，log2x0≥1，解得x0≥2
∴x0∈[﹣1，0]∪[2，+∞），
故选：C．
【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．
9．【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【分析】容易得出log20.3＜0，0＜log32＜1，20.1＞1，从而得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵log20.3＜log21＝0，0＝log31＜log32＜log33＝1，20.1＞20＝1；
∴c＞b＞a．
故选：C．
【点评】考查对数函数、指数函数的单调性，增函数的定义．
10．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【分析】根据，结合f（x）的单调性和奇偶性即可判断．
【解答】解：由f（x）＝|x|，知f（x）是R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∵，∴a＜c＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了三个数大小的比较，关键是掌握函数f（x）的奇偶性和单调性，属基础题．
11．【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【分析】容易得出log26＞2，0＜log32＜1，1＜log36＜2，从而得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵log26＞log24＝2，0＜log32＜log33＝1，1＝log33＜log36＜log39＝2；
∴b＜c＜a．
故选：B．
【点评】考查对数函数的单调性，增函数的定义，对数的运算．
12．【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【分析】利用对数的运算法则变形，再由对数函数的单调性比较大小．
【解答】解：∵a＝log26＝1+log23，
b＝log515＝1+log53，
c＝log721＝1+log73，
且log23＞log53＞log73，
∴c＜b＜a．
故选：B．
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数式的运算法则及对数函数的单调性，是基础题．
13．【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【分析】利用指数函数、幂函数的单调性直接求解．
【解答】解：，，，
∵y＝x在（0，+∞）上是增函数，
∴1＞a＞c＞，
∵y＝（）x是减函数，
∴b＜c，
∴a，b，c的大小关系是b＜c＜a．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、幂函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；4M：对数值大小的比较；4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】根据题意，由对数函数的性质分析可得f（x）在（0，+∞）上为减函数，又由对数的性质可得0＜log52＜log32＜1＜20.2，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝logx＝﹣log3x，在（0，+∞）上为减函数，
又由0＜log52＜log32＜1＜20.2，则f（20.2）＜f（log32）＜f（log32），即c＜a＜b，
故选：C．
【点评】本题考查对数函数的性质以及对数的运算性质，关键是掌握对数的运算性质，属于基础题．
15．【考点】4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】根据对数函数的单调性转化为参数恒成立进行求解即可．
【解答】解：∵loga（ex+3）≥1＝logaa，
∴若a＞1，则ex+3≥a恒成立，∵ex+3＞3，∴此时1＜a≤3，
若0＜a＜1，则ex+3≤a恒成立，∵ex+3＞3，∴此时a无解，
综上所述，1＜a≤3，
即实数a的取值范围是（1，3]．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数函数的性质，讨论a的取值，利用对数函数的单调性是解决本题的关键．
16．【考点】4L：对数函数的值域与最值．菁优网版权所有
【分析】由函数f（x）＝log2x，不难判断函数在（0，+∞）为增函数，则在区间[a，2a]上的最大值是最小值分别为f（a）与f（2a），结合最大值是最小值的2倍，可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出a值．
【解答】解：∵2＞1，
∴f（x）＝log2x是增函数．
∴2log2a＝log22a．
∴loga2＝1．
∴a＝2．
故选：D．
【点评】函数y＝ax和函数y＝logax，在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（﹣x）与f（x）的图象关于Y轴对称，其单调性相反，故函数y＝a﹣x和函数y＝loga（﹣x），在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数．
17．【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【分析】利用换底公式可得出＝，，容易得出0＜log32＜log34＜log35，从而可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：＝，＝，＝；
∵0＜log32＜log34＜log35；
∴；
∴a＜b＜c．
故选：A．
【点评】考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．
18．【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【分析】根据对数的运算得出，且，而容易得出ln2＜ln3＜ln4，从而得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：；
∵2＜3＜4；
∴ln2＜ln3＜ln4；
∴a＜c＜b．
故选：B．
【点评】考查对数的运算性质，以及对数函数的单调性．
19．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【分析】根据f（x+1）＝f（x），可将自变量转到已知区间上，然后函数单调性可得答案．
【解答】解：由（x+1）＝f（x），），且x∈[0，1）时，f（x）＝log2（x+1），是增函数，a＝f（），b＝f（），c＝f（），
可得，a＝f（）＝f（），b＝f（），c＝f（）＝f（），
而＜＜，∴c＜a＜b，
故选：B．
【点评】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查对数函数图象性质的应用，属于基础题．
20．【考点】3I：奇函数、偶函数；4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【分析】由题意知不等式即f（log4x）＞，即 log4x＞，或 log4x＜﹣，利用对数函数的定义域和单调性
求出不等式的解集．
【解答】解：由题意知 不等式f（log4x）＞2，即 f（log4x）＞，又偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4x＞＝log42，或 log4x＜﹣＝，
∴0＜x＜，或 x＞2，
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．
21．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【分析】利用对数函数的单调性和特殊点，分类讨论，求得a的范围．
【解答】解：若a＞1，则y＝logax在其定义域内是增函数，∵＜0，∴成立．
当0＜a＜1时，则y＝logax在其定义域内是减函数，由 ＝，∴a2＜，∴0＜a＜．
综上可得，a＞1，或0＜a＜，
故选：D．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
22．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【分析】可令t＝x2﹣2x﹣8（x＞4或x＜﹣2），则y＝lgt，由二次函数和对数函数的单调性，以及复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求单调区间．
【解答】解：函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣8），
可令t＝x2﹣2x﹣8（x＞4或x＜﹣2），
则y＝lgt，
由t＝x2﹣2x﹣8在（﹣∞，﹣2）递减，（4，+∞）递增；
y＝lgt在（0，+∞）递增，
可得函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调区间，注意运用复合函数的单调性：同增异减，考查二次函数和对数函数的单调性，属于中档题．
23．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合；4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【分析】根据对数的运算法则结合函数的奇偶性将不等式进行转化进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1），等价为f（log2a）+f（﹣log2a）≤2f（1），
即2f（log2a）≤2f（1），
即f（log2a）≤f（1），
即f（|log2a|）≤f（1），
∵函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴|log2a|≤1，
即﹣1≤log2a≤1，
即≤a≤2，
即a的最小值是，
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．
二．填空题（共8小题）
24．【考点】3G：复合函数的单调性；4L：对数函数的值域与最值．菁优网版权所有
【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域．
【解答】解：设u（x）＝2x+3﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，
当x＝1时，u（x）取得最大值4，
∵函数y＝log4x为（0，+∞）上的增函数，
∴当u（x）取得最大值时，原函数取得最大值，
即ymax＝log4u（x）max＝log44＝1，
因此，函数y＝log4（2x+3﹣x2）的值域为（﹣∞，1]，
故填：（﹣∞，1]．
【点评】本题主要考查了函数值域的求法，涉及对数函数的单调性，用到配方法和二次函数的性质，属于基础题．
25．【考点】4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】由题意利用对数函数的单调性，可得（2x﹣1）2＜9，由此求得x得取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝lg（2+x2），则满足不等式f（2x﹣1）＜f（3），
∴（2x﹣1）2＜9，求得﹣3＜2x﹣1＜3，求得﹣1＜x＜2，
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性，属于基础题．
26．【考点】4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】令f（x）＝logax，由已知可得函数的解析式，利用对数函数的单调性及定义域，可得答案．
【解答】解：令f（x）＝logax，
∵函数f（x）的图象过点（4，﹣2），
∴loga4＝﹣2，
解得：a＝
∴f（x）＝，
不等式f（x﹣1）﹣f（x+1）＞3可化为：，
即，
解得：x∈，
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．
27．【考点】4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】根据对数的性质即可求图象恒过定点的坐标．
【解答】解：由对数的性质可知：x﹣1＝1，可得x＝2，
当x＝2时，y＝4．
∴图象恒过定点A的坐标为（2，4）．
故答案为（2，4）
【点评】本题主要考查了对数的性质，图象恒过定点的问题．比较基础．
28．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【分析】欲求函数的单调递增区间，先考虑x2﹣x﹣12的单调递减区间即可，但必须考虑真数大于0这个范围才行．
【解答】解：由x2﹣x﹣12＞0得x＜﹣3或 x＞4．
令g（x）＝x2﹣x﹣12，则当x＜﹣3时，
g（x）为减函数，当 x＞4时，g（x）为增函数函数．
又 是减函数，故 在（﹣∞，﹣3）为增函数．
故答案为：（﹣∞，﹣3）．
【点评】本小题主要考查对数函数单调性的应用、二次函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
29．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【分析】当a＞1 时，∵＜0，故不等式成立，当 0＜a＜1 时，不等式即 ＜logaa，
依据单调性解a的取值范围．
【解答】解：∵＜1，
当a＞1 时，∵＜0，故不等式成立．
当 0＜a＜1 时，不等式即 ＜logaa，∴0＜a＜，
综上，a的取值范围为 a＞1，或0＜a＜，
故答案为：a＞1，或0＜a＜．
【点评】本题考查函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想．
30．【考点】3G：复合函数的单调性；4L：对数函数的值域与最值．菁优网版权所有
【分析】令u＝x2﹣ax+＝（x﹣）2+﹣，则u有最小值，欲满足题意，须logau递增，且u的最小值﹣＞0，由此可求a的范围．
【解答】解：令u＝x2﹣ax+＝（x﹣）2+﹣，则u有最小值﹣，
欲使函数有最小值，则须有，解得1＜a＜．
即a的取值范围为（1，）．
故答案为：（1，）．
【点评】本题考查复合函数的单调性，若复合函数可分解为两个基本初等函数，依据“同增异减”即可判断复合函数的单调性．
31．【考点】4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】构造函数f（x）＝ex﹣x+a，由题意得f（x）min≤0，通过求导得出函数f（x）的最小值，从而解出a的取值范围．
【解答】解：设f（x）＝ex﹣x+a，由于函数y＝ln（ex﹣x+a）的值域为R，则函数y＝f（x）的值域包含（0，+∞），即f（x）min≤0，
f′（x）＝ex﹣1，令f'（x）＝0，可得x＝0．
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
所以，函数f（x）在x＝0处取得极小值，亦即最小值，即f（x）min＝1+a≤0，解得a≤﹣1．
因此，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
【点评】本题考查对数函数的图象与性质，解决本题的关键就是利用导数求出函数的最值，属于中等题．
三．解答题（共9小题）
32．【考点】4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据对数函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可
（3）讨论a＞1和0＜a＜1，利用函数单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则得，
即﹣10＜x＜10，即函数的定义域为（﹣10，10）．
（2）函数的定义域关于原点对称，
则f（﹣x）＝loga（10﹣x）﹣loga（10+x）＝﹣[loga（10+x）﹣loga（10﹣x）]＝﹣f（x），
即函数f（x）是奇函数．
（3）若f（x）＞0，则f（x）＝loga（10+x）﹣loga（10﹣x）＞0，
即loga（10+x）＞loga（10﹣x），
若a＞1，则，得，得0＜x＜10，
若0＜a＜1，则得，得﹣10＜x＜0，
即当a＞1时，不等式的解集为（0，10），
当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣10，0）．
【点评】本题主要考查对数的性质，结合对数函数成立的条件可以求出函数的定义域，结合函数单调性的性质可以求出不等式．
33．【考点】4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，解得a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，恒成立．即恒成立，进而可得答案；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，则，解得答案．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，求得a＝0．……………………（2分）
又此时f（x）＝﹣x是R上的奇函数．
所以a＝0为所求．………………………………（4分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域是一切实数，则恒成立．
即恒成立，由于．……………………………………（6分）
故只要a≥0即可 ………………………………………………………………（7分）
（Ⅲ）由已知函数f（x）是减函数，故f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（0）＝log2（1+a），
最小值是．…………………………………（8分）
由题设………（11分）
故 为所求．…………………………………………（12分）
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．
34．【考点】4N：对数函数的图象与性质；53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【分析】由已知可得f（x）＝log2x
（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义，结合二次函数和对数函数的和性质，可得函数的奇偶性及值域；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x2﹣tx+8）＝2在[1，4]上有解，即x2﹣tx+8＝4，即x2﹣tx+4＝0在[1，4]上有解，即t＝＝x+在[1，4]上有解，由对勾函数的图象和性质可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象过点（，﹣2）．
故a＝2，
∴f（x）＝log2x
（Ⅰ）函数g（x）＝f（1+x）+f（1﹣x）＝log2（1+x）+log2（1﹣x）
＝log2（1﹣x2）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，
且g（﹣x）＝g（x），
故g（x）为偶函数，
又由1﹣x2∈（0，1]，
故g（x）∈（﹣∞，0]
即g（x）和值域为（﹣∞，0]；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x2﹣tx+8）＝2在[1，4]上有解，
即x2﹣tx+8＝4，即x2﹣tx+4＝0在[1，4]上有解，
即t＝＝x+在[1，4]上有解，
由对勾函数的图象和性质可得：
当x＝2时，x+取最小值4，当x＝1，或x＝4时，x+取最大值4，
故实数t的取值范围是[4，5]．
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．
35．【考点】4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）当a＝3时，f（x）＜1可化为：log3（3x﹣1）＜1，即0＜3x﹣1＜3，解得答案；
（2）对a进行分类讨论，结合f（x）在[3，6]上的最大值大于0，可得答案．
【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）＜1可化为：log3（3x﹣1）＜1
即0＜3x﹣1＜3，
解得：x∈（，）
（2）∵a＞0且a≠1，故y＝ax﹣1在[3，6]上单调递增，
当a＞1时，函数f（x）＝loga（ax﹣1）在[3，6]上单调递增，
则loga（6a﹣1）＞0，
即6a﹣1＞1，解得a＞
∴a＞1
当0＜a＜1时，函数f（x）＝loga（ax﹣1）在[3，6]上单调递减，
则loga（3a﹣1）＞0，
即0＜3a﹣1＜1，解得＜a＜
∴＜a＜，
综上可得：a的取值范围为（，）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．
36．【考点】4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由题设条件可知，f（3）＝loga（3﹣1）+2＝3，解得a值；
（2）f（x）＝log2（x﹣1）+2的定义域为{x|x＞1}，并在其定义域内单调递增，进而可得1＜2x+2＜x2﹣1，解得答案．
【解答】解：（1）由题设条件可知，f（3）＝loga（3﹣1）+2＝3⇒loga2＝1
∴a＝2………………………………（6分）
（2）∵f（x）＝log2（x﹣1）+2的定义域为{x|x＞1}，并在其定义域内单调递增，……………………（8分）
∴f（2x+2）＜f（x2﹣1）⇔1＜2x+2＜x2﹣1
即，
∴不等式的解集为{x|x＞3}．………………………………（12分）
【点评】本题考查的知识点是对数的运算性质，对数函数的图象和性质，难度中档．
37．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【分析】（1）先求出a的值，根据根据复合函数的单调性即可求出g（x）的单调区间，
（2）x∈[，2]，不等式g（x）﹣m+3≤0的解集非空，转化为求出g（x）的最小值即可．
【解答】解：（1）由题中可知：，解得：a＝3，
所以函数f（x）的解析式：f（x）＝log3x
∵g（x）＝log3（x+1）+log3（3﹣x），
∴，
∴﹣1＜x＜3，
即g（x）的定义域为（﹣1，3），
由于g（x）＝log3（x+1）+log3（3﹣x）＝log3（﹣x2+2x+3），
令u（x）＝﹣x2+2x+3，（﹣1＜x＜3）则：由对称轴x＝1可知，
u（x）在（﹣1，1）单调递增，在（1，3）单调递减；
又因为y＝log3在（0，+∞）单调递增，
故g（x）单调递增区间（﹣1，1），单调递减区间为（1，3）．
（2）不等式g（x）﹣m+3≤0的解集非空，
所以，
由（1）知，当时，函数g（x）单调递增区间，单调递减区间为[1，2]，
，
所以g（x）min＝1，
所以m﹣3≥1，m≥4，
所以实数m的取值范围[4，+∞）
【点评】本题考查了对数的函数的图象和性质和以及复合函数的单调性和函数恒成立的问题，属于中档题．
38．【考点】3V：二次函数的性质与图象；4L：对数函数的值域与最值．菁优网版权所有
【分析】利用换元法，把函数变为闭区间上的二次函数，然后求出函数的最值．
【解答】解：因为函数，
设t＝，t∈[﹣1，﹣]．
函数化为：g（t）＝t2﹣t+5，t∈[﹣1，﹣]．
函数g（t）的开口向上，对称轴为t＝，
函数在t∈[﹣1，﹣]．上是减函数，
所以函数的最小值为：g（）＝5．
最大值为：g（﹣1）＝7．
所以函数f（x）的最大值及最小值为：7；5．
【点评】本题是基础题，考查换元法的应用，二次函数闭区间上的最值的求法，考查计算能力．
39．【考点】4T：对数函数图象与性质的综合应用．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）当k＝﹣2时，由函数h（x）的定义，可得 ，解得x的范围，可得函数h（x）的定义域．
（Ⅱ）由于函数H（x）＝是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），即 ＝﹣，即 ＝0，由此求得k的值．
【解答】解：（Ⅰ）当k＝﹣2时，求函数h（x）＝f（x）+g（x）＝loga（1+x）+loga（1﹣2x）＝loga（1+x）（1﹣2x），
由 ，解得﹣1＜x＜，
故函数h（x）的定义域为（﹣1，）．
（Ⅱ）由于函数H（x）＝f（x）﹣g（x）＝是奇函数，
故有H（﹣x）＝﹣H（x），
即 ＝﹣，
∴+＝＝0，
∴k＝1（此时，H（x）为常数，舍去），或k＝﹣1．
综上，k＝﹣1．
【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，求函数的定义域、函数的奇偶性的判断，属于中档题．
40．【考点】4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）函数f（x）＝的图象关于原点对称，可得f（x）+f（﹣x）＝0，整理得+＝0恒成立，即可得出答案
（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求出x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）的最大值，即可解出m的取值范围
（3）由于f（x）＝在[2，3]上是增函数，g（x）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案
【解答】解：（1）函数f（x）＝的图象关于原点对称，
∴f（x）+f（﹣x）＝0，即+＝0，
∴（）＝0，∴＝1恒成立，
即1﹣a2x2＝1﹣x2，即（a2﹣1）x2＝0恒成立，所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，
又a＝1时，f（x）＝无意义，故a＝﹣1；
（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，即+（x﹣1）＜m，
∴（x+1）＜m在（1，+∞）恒成立，
由于y＝（x+1）是减函数，故当x＝1，函数取到最大值﹣1，
∴m≥﹣1，即实数m的取值范围是m≥﹣1；
（3）f（x）＝在[2，3]上是增函数，g（x）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，
∴只需要即可保证关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，下解此不等式组．
代入函数解析式得，解得﹣1≤k≤1，
即当﹣1≤k≤1时关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解．
【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题
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