2021-2022学年 初中数学 八年级上册 苏科版 第2章综合能力检测卷【试卷+答案】

这是一份2021-2022学年 初中数学 八年级上册 苏科版 第2章综合能力检测卷【试卷+答案】，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：100分钟 满分：130分
一、选择题(每小题3分，共30分)

1.中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是( )

A B C D
2.下列语句中，正确的是( )
A.等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线
B.等腰三角形的对称轴是底边上的高
C.一条线段可看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D.等腰三角形的对称轴就是顶角平分线
3.如图，直线CP是线段AB的垂直平分线且交AB于点P.甲、乙两人想在AB上取两点D，E，使得AD=DC=CE=EB，他们的作法如下：
甲：作∠ACP，∠BCP的平分线，分别交AB于点D，E，则D，E即所求；乙：作AC，BC的垂直平分线，分别交AB于点D，E，则D，E即所求.对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确
4.如图，四边形ABCD中，∠A=110°，若点C在AB，AD的垂直平分线上，则∠BCD为( )
A.90°B.110°C.120°D.140°
5.如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是( )
A.3B.4C.6D.5
第4题图 第5题图 第6题图
6.如图，等边三角形ABC的边长为1 cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分的周长为( )
A.2 cmB.52 cmC.3 cmD.72 cm
7.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
A B C D
8.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为斜边BC上的中线，将△ADC沿AD翻折，点C落在△ABC所在平面的点C'处.若AC'∥BC，则∠B的度数为( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
9.在如图所示的网格中找到一格点(网格线的交点)C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有( )
A.6个 B.8个 C.10个 D.12个
第8题图 第9题图 第10题图
10.如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC.给出下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.在字母A，B，C，D，E，F，G，H，I，J中，不是轴对称图形的有 个.
12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为 .
第12题图
第13题图
13.如图1是3×3的小方格构成的正方形ABCD，若将其中的两个小方格涂黑，使得涂黑后的整个图案(含阴影)是轴对称图形，且规定将正方形ABCD旋转能重合的图案都视为同一种，比如图2中四幅图就视为同一种，则最多能得到不同的图案(图2除外)共有 种.
14.如图，△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D.如果AC=3 cm，那么AE+DE的值为 .
第14题图 第15题图
15.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E.若DE=7，AE=5，则AC的长为 .
16.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是 三角形.
17.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线DH，EH交于点H，连接BH，CH.若∠A=80°，则∠BHC的度数为 .

18.如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC长的一半得到△A'B'C'(如图1)；继续以上的平移得到图2，再继续以上的平移得到图3……则第100个图形中等边三角形的个数是 .
三、解答题(共76分)
19.(9分)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE.
(1)在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
(2)请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积.
20.(9分)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD垂直平分BC.
21.(10分)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD=2，求DF的长.
22.(10分)如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC.
(1)求证：AD=DC；
(2)如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接EF.判断△DEF的形状，并证明你的结论.
23.(12分)如图，某小区有A，B，C，D四栋居民楼，经测量发现A，C，D三栋楼两两距离相等，且∠ACB=90°，物业打算在A，B两楼之间的小路上修建一个休闲运动区域E，且D楼居民恰好能沿小路DE直达该区域，小路DE和小路AC恰好互相垂直.
(1)证明：AE=CE=BE；
(2)若AB=50 m，P是直线DE上一点，则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值.
24.(12分)如图，∠CAB的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，作DM⊥AB于点M.
(1)猜想CF和BM之间有何数量关系，并说明理由；
(2)求证：AB-AC=2CF.
25.(14分)问题情境：将一副直角三角尺(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=∠FDE=90°，CA=CB，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由.
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
OM=ON，理由如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的平分线，(依据1)
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON.(依据2)
反思交流：
(1)①依据1是 ，②依据2是 ；
(2)你有与小宇不同的方法吗?请写出你的方法.
(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线相交于点M，且FM⊥CM，BC的延长线与DE相交于点N，且BN⊥DE，连接OM，ON，试判断线段OM，ON的数量关系和位置关系，并说明理由.
第2章 综合能力检测卷
1.D
2.C
3.D 【解析】 由题意知，甲的作法不能得出AD=DC=CE=EB.∵CP是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠A=∠B，作AC，BC的垂直平分线分别交AB于点D，E，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE.∵∠A=∠B，∴∠ACD=∠BCE.∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD=EB.∵AD=DC，EB=CE，∴AD=DC=EB=CE，∴乙的作法正确.故选D.
4.D 【解析】 如图，连接AC，∵点C在AB，AD的垂直平分线上，∴BC=AC，DC=AC，∴∠B=∠BAC，∠D=∠CAD.∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=110°，∴∠B+∠D=110°，∴∠BCD=360°-(∠B+∠D)-∠BAD=360°-110°-110°=140°.故选D.
5.A 【解析】 如图，作DH⊥AC于H，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DE=2.∵S△ABC=S△ADC+S△ABD，∴12×2×AC+12×2×4=7，∴AC=3.故选A.
6.C 【解析】 如图，由题意得，DA'=DA，EA'=EA，所以阴影部分的周长为C△BDG+C△A'FG+C△CEF=DA'+EA'+DB+CE+BC=(DA+BD)+BC+(AE+CE)=AB+BC+AC=1+1+1=3(cm).故选C.
7.D
8.B 【解析】 ∵∠BAC=90°，AD为斜边BC上的中线，∴AD=DC，∴∠DAC=∠C，由折叠的性质可知，∠DAC'=∠DAC，∵AC'∥BC，∴∠DAC'=∠ADC，∴∠DAC=∠ADC=∠C，∴三角形ADC是等边三角形，∴∠C=60°，∴∠B=30°.故选B.
9.C 【解析】 如图，①若BA=BC，则符合要求的有：C1，C2，共2个点；②若AB=AC，则符合要求的有：C3，C4，共2个点；③若CA=CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10，共6个点.∴这样的C点有10个.故选C.
10.D 【解析】 如图1，连接OB，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°，OB=OC，∴∠ABC=90°-∠BAD=30°，∵OP=OC，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故①正确；∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，∴∠POC=180°-(∠OPC+∠OCP)=60°，又∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确；如图2，在AC上截取AE=PA，∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠EPC，又∵OP=CP，∴△OPA≌△CPE(SAS)，∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP，故③正确；如图3，过点C作CH⊥BP于H，∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，∴CH=CD，∴S△ABC=12AB·CH，S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=12AP·CH+12OA·CD=12AP·CH+12OA·CH=12CH·(AP+OA)=12CH·AC，又∵AB=AC，∴S△ABC=S四边形AOCP，故④正确.故选D.
11.3 【解析】 A，B，C，D，E，H，I是轴对称图形，F，G，J不是轴对称图形，故不是轴对称图形的有3个.
12.6 【解析】 连接AD.∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD=2DC=6，∴BD=AD=6.
13.5 【解析】 得到的不同图案如图所示：
可知，共5种.
14.3 cm 【解析】 ∵∠ACB=90°，∴EC⊥BC，又∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∴DE=CE.已知AC=3 cm，∴AE+DE=AE+CE=AC=3 cm.
15.12 【解析】 ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.又∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴△ECD是等腰三角形，∴CE=DE.∵AE=5，DE=7，∴AC=AE+EC=5+7=12.
16.等边 【解析】 如图，连接OP，PP2，P1P.∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，∴OA垂直平分PP2，OB垂直平分PP1，∴OP1=OP，OP=OP2，∠BOP=∠BOP1，∠AOP=∠AOP2，∴OP1=OP2，∠P1OP2=∠BOP+∠BOP1+∠AOP+∠AOP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB，∵∠AOB=30°，∴∠P1OP2=60°，∴△P1OP2是等边三角形.
17.160° 【解析】 连接AH.因为DH是边AB的垂直平分线，所以AH=BH，所以∠ABH=∠BAH，所以∠AHB=180°-2∠BAH.同理得∠AHC=180°-2∠CAH，所以∠BHC=360°-∠AHB-∠AHC=360°-(180°-2∠BAH)-(180°-2∠CAH)=2(∠BAH+∠CAH)=2×80°=160°.
18.400 【解析】 由题图可知每个图形中的等边三角形可以分为三种，即黑色等边三角形、一个顶点在直线a上且一条边在直线b上的等边三角形和一个顶点在直线b上且一条边在直线a上的等边三角形，可以列表得：
根据表格可得，第100个图形中等边三角形的个数为100×4=400.
19.【解析】 (1)△AEF如图所示：
(2)重叠部分的面积为12×4×4-12×2×2=8-2=6.
20.【解析】 ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，DE=DF，∠BED=∠CFD，BE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(SAS)，
∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴AD垂直平分BC.
21.【解析】 (1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，
∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=30°.
(2)∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形，
∴ED=DC=2.
∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4.
22.【解析】 (1)∵DC∥AB，∴∠CDB=∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠CDB=∠CBD，∴BC=DC，
又∵AD=BC，∴AD=DC.
(2)△DEF为等边三角形.证明如下：
∵BC=DC，CF⊥BD，
∴CF垂直平分BD.
∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF.
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠EBD=30°，∴∠BDE=60°，
∴△DEF为等边三角形.
23.【解析】 (1)由题意得AC=CD=DA，
∴△ACD是等边三角形.
∵DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，∴AE=CE.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°，
∴∠BCE=∠B，
∴BE=CE，
∴AE=CE=BE.
(2)连接PA.∵DE垂直平分AC，
∴PC=PA，∴PB+PC=PB+PA，
∴PB+PC最小，即PB+PA最小，即当P，B，A在同一直线上时最小.
即点P在点E处时最小，此时PB+PC=AB=50 m.
24.【解析】 (1)CF=BM.理由如下：
如图，连接CD，DB.
∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DM⊥AB，
∴DF=DM.
∵DE垂直平分BC，∴CD=BD.
∵∠AFD=∠DMB=90°，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM，∴CF=BM.
(2)∵AD=AD，DF=DM，∠AFD=∠AMD=90°，
∴Rt△AFD≌Rt△AMD，∴AF=AM.
∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF，
∴AB=AC+2CF，∴AB-AC=2CF.
25.【解析】 (1)①等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)
②角平分线的性质(或角平分线上的点到角两边的距离相等)
(2)有.方法如下：
∵CA=CB，∴∠A=∠B.
∵O是AB的中点，∴OA=OB.
∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°.
在△OMA和△ONB中，∠AMO=∠BNO，∠A=∠B，OA=OB，
∴△OMA≌△ONB(AAS)，∴OM=ON.
(3)OM=ON，OM⊥ON.理由如下：
如图，连接CO，则CO是AB边上的中线.
∵AC=BC，OA=OB，∠ACB=90°，
∴∠1=∠2=∠CAB=∠B=45°，OA=OC.
∵∠NCO+∠2=∠CAB+∠MAO=180°，
∴∠NCO=∠MAO.
∵∠3=∠CAB=45°，∠DMA=90°，
∴∠4=90°-∠3=45°，∴AM=DM，
易知DM=CN，∴AM=CN.
在△OAM和△OCN中，OA=OC，∠MAO=∠NCO，AM=CN，
∴△OAM≌△OCN(SAS)，∴OM=ON，∠5=∠6.
∵∠AOC=90°，∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠7=90°，
∴∠MON=90°，
∴OM⊥ON，即OM与ON的数量关系为OM=ON，位置关系为OM⊥ON.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
D
A
C
D
B
C
D
11.3 12.6 13.5 14.3 cm 15.12 16.等边 17.160° 18.400
序
号
黑色等边
三角形
一个顶点在
直线a上且一
条边在直线
b上的等边
三角形
一个顶点在
直线b上且一
条边在直线
a上的等边
三角形
总
数量
与序号n
的关系
1
2
2
0
4
1×4
2
4
3
1
8
2×4
3
6
4
2
12
3×4
…
n
2n
n+1
n-1
4n
n×4