2021年中考数学几何专题复习之四边形（一）试卷

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2021年中考数学：几何专题复习之四边形（一）

1．如图1，图形A、图形B是含60°内角的全等的平行四边形纸片（非菱形），先后按图2（2B）、图3（1A1B）的方式放置在同一个含60°内角的菱形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（　　）

A．图形①与图形③的周长和 B．图形④与图形⑥的周长和
C．图形②与图形⑤的周长和 D．图形④与图形⑥的周长差
2．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，且CG＝GF＝AF，若BD＝4，则CD的值为（　　）

A． B．4 C． D．
3．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（　　）

A．24 B．24 C．12 D．12
4．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．不能确定
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝14，BC＝7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ＝NG＝5，则当MP+GQ＝13时，满足条件的点P有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，以长方形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点F；再以顶点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于点E．若AD＝5，CD＝，则EF的长度为（　　）

A．2 B．3 C． D．1
7．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）

A．6 B．12 C．24 D．不能确定
8．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）

A．66° B．60° C．57° D．48°
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．
10．矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE＝2，ME＝4，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．12 B．10 C．8 D．6
11．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（　　）

A． B． C． D．
12．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）
13．将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，若△DFG刚好是等边三角形，则矩形的两边AD，AB的比为（　　）

A．2：1 B． C． D．
14．如图，正方形ABCD的边长为6，AC为对角线，取AB中点E，DE与AC交于点F．则
sin∠DFC＝（　　）

A． B． C． D．
15．如图，矩形ABCD（AD＞AB），分别以AD、BC为边向内作等边三角形（图1）；分别以AB、CD为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．若＝8，则的值为（　　）

A． B． C． D．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
17．如图，线段AB的长为8，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　）

A．5 B．4 C． D．
18．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是边AB上一点，且OE⊥AC．设∠AOD＝α，∠AEO＝β，则α与β间的关系正确的是（　　）

A．α＝β B．α+β＝180° C．2α+β＝180° D．α+2β＝180°
19．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（　　）

A．5 B．6.5 C．10 D．12
20．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，AE＝DF，BF与DE相交于点G，CG与BD相交于点H．下列结论中：①∠DBC＝60°；②△AED≌△DFB；③∠BGE＝60°，正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

参考答案
1．解：设平行四边形较长的一边为x，较短的一边为y，菱形的边长为a，
图形②的面积S2＝sin60°（2x﹣a）（2y﹣a）＝（4xy﹣2ax﹣2ay+a2），
图形⑤的面积S5＝sin60°（x+y﹣a）（x+y﹣a）＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay），
∴S5﹣S2＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay）﹣（4xy﹣2ax﹣2ay+a2）＝（x2+y2﹣2xy）＝（x﹣y）2，
图形②的C2＝2（2x﹣a）+2（2y﹣a）＝4x+4y﹣4a，
图形⑤的C5＝2（x+y﹣a）+2（x+y﹣a）＝4x+4y﹣4a，
∴C2+C5＝（4x+4y﹣4a）+（4x+4y﹣4a）＝8x+8y﹣8a，
故C选项不符合题意；
图形①的周长C1＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，
图形③的周长C3＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，
∴C1+C3＝4a﹣2y﹣2x+4a﹣2y﹣2x＝8a﹣4y﹣4x，
故A选项不符合题意；
图形④的周长C4＝4（a﹣x），
图形⑥的周长C6＝4（a﹣y），
∴C4+C6＝4（a﹣x）+4（a﹣y）＝8a﹣4y﹣4x，
故B选项不符合题意；
∴C4﹣C6＝4（a﹣x）﹣4（a﹣y）＝4（y﹣x），
根据题意S5﹣S2＝（x﹣y）2，为已知，即（x﹣y）为已知，
故D选项符合题意，
故选：D．
2．解：连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，

∵GF＝AF，
∴∠FAG＝∠FGA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC＝4，OB＝OD，
∵CG＝GF，
∴OG为△CAF的中位线，
∴AF＝2OG，OG∥AD，
∴∠FDM＝∠MOG，
∵AE⊥BD，
∴∠FGA+∠GMO＝90°，∠MDF+∠FAG＝90°，
∴∠GMO＝∠MDF，
∴∠GMO＝∠MDF＝∠MOG＝∠FMD，
∴OG＝GM，FM＝FD，
设OG＝GM＝x，则CG＝GF＝AF＝2x，
∴FD＝FM＝FG﹣MG＝2x﹣x＝x，
∴CF＝4x，AD＝3x，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
CD＝＝x，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
DC2+AD2＝AC2，
即15x2+9x2＝48，
解得x＝，
∴CD＝x＝，
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，AB＝2，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，
∵点E是CD的中点，FC＝2BF，
∴CE＝DE＝1，BF＝1，CF＝2，
∴AB＝CF＝2，CE＝BF＝1，
在△ABF和△FCE中，
，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，
∵∠B＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CFE+∠AFB＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣（∠CFE+∠AFB）＝180°﹣9°＝90°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°，
故选：B．
5．解：如图，当P、Q在N的两侧时，设QN＝x，则PN＝5﹣x，

∵四边形ABCD是矩形，M、N分别为AB、CD的中点，
∴四边形ADNM、四边形MNCB都是矩形，
∵PQ＝NG＝5，BC＝7，AB＝14，
∴MN＝BC＝7，
由勾股定理得：
PM2＝49+（5﹣x）2，QG2＝25+x2，
∴PM2﹣QG2＝（PM+QG）（PM﹣QG）＝49﹣10x，
∵MP+GQ＝13，
∴PM﹣QG＝，
∴2PM＝13+，
∴PM＝，QG＝，
∴（）2＝25+x2，
整理得：144x2﹣600x+625＝0，
解得：x1＝x2＝；
当P、Q在N的右侧时，设QN＝x，

同理可得：PM＝，QG＝，
∴（）2＝25+x2，
整理得：144x2﹣600x+625＝0，
解得：x1＝x2＝﹣（不合题意，舍去）；
综上，满足条件的点P只有1个．
故选：D．
6．解：如图，连接CE，

则CE＝CD＝，BC＝AD＝5，
∵△BCE为直角三角形，
∴BE＝＝，
∵BF＝AB﹣AF＝﹣5＝，
∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝2．
故选：A．
7．解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠ABC＝90°，
S△AOD＝S矩形ABCD，
∴OA＝OD＝AC，
∵AB＝15，BC＝20，
∴AC＝＝＝25，S△AOD＝S矩形ABCD＝×15×20＝75，
∴OA＝OD＝，
∴S△AOD＝S△APO+S△DPO＝OA•PE+OD•PF＝OA•（PE+PF）＝×（PE+PF）＝75，
∴PE+PF＝12．
∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12．
故选：B．

8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OC＝OD，
∵EO＝2DE，
∴设DE＝x，OE＝2x，
∴OD＝OC＝3x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，
解得：x＝
∴DE＝；
故选：A．
10．解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：

则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，
∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，
∵DE＝CF＝2，
∴S△DEM＝S△MFB＝×2×4＝4，
∴S阴＝4+4＝8，
故选：C．
11．解：过点E作EH⊥FG，交FG于点H，如图，

由题意：△AEF≌△AED，则AF＝AD＝6，DE＝EF．
∵AD＝6，AD＝3GD，
∴GD＝2．
∴AG＝AD﹣DG＝6﹣2＝4．
∵FG⊥AD，
∴FG＝．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵FG⊥AD，EH⊥FG，
∴四边形GHED为矩形．
∴GH＝DE，HE＝GD＝2．
设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝2﹣x，
在Rt△HEF中，
∵HF2+HE2＝EF2，
∴．
解得：x＝．
∴DE＝．
故选：C．
12．解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝，AB＝2，
∴A（0，），
∴BC＝AD＝2，
∴C（1，0），D（2，），
故选：D．
13．解：设AD，BC边长为a，AB，CD边长为b，
∵△DFG为等边三角形，
∴∠FDG＝∠DGF＝∠DGC＝60°，
∴∠CDG＝30°，
∵tan∠DGC＝＝，
∴GC＝CD＝b．
∵cos∠DGC＝＝，
∴GD＝2GC＝b，
由翻折可得BG＝GD＝b，
∴BC＝BG+GC＝b+b＝b，
即a＝b，
∴＝＝．
故选：B．
14．解：连接BD与AC交于点O，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAD＝90°，AC⊥BD，OD＝，AB∥CD，AD＝AB＝CD＝6，
∴∠DOF＝90°，∠EAF＝∠DCF，OD＝3，
∵E为AB中点，
∴AE＝AB＝＝3，
由勾股定理得，DE＝＝3，
∵∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△CFD，
∴＝＝，
∴DF＝DE＝2，
∴sin∠DFC＝＝＝，
故选：A．
15．解：设AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，如图1，

由题意：∠ADN＝∠BCH＝60°，
∴∠NDC＝∠HCD＝30°．
∴FD＝FC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FNC＝∠ADN＝60°．
∴△FNC为等边三角形．
∴FN＝FC，
∴FN＝FD．
∴．
在Rt△DNC中，
∵tan∠NDC＝，
∴NC＝．
∴＝×＝．
同理：S△DHF＝S△AGE＝S△ABE＝S△BEM＝．
∴S1＝S矩形ABCD﹣S△NFC﹣S△DFC﹣S△DHF﹣S△MBE﹣S△ABE﹣S△AGE＝ab﹣；
如图2，过点H作HM⊥AD于M，过点G作GN⊥AB于点N，

由题意：∠E＝∠G＝∠GAB＝∠EDC＝60°，
GA＝AB＝CD＝ED＝EC＝GB．
∴∠HAD＝∠HDA＝30°，
∴HA＝HD．
∵HM⊥AD，
∴AM＝AD＝a．
∵tan∠MAH＝，
∴MH＝AM×tan30°＝，
∴AD×MH＝．
同理：．
∵△GAB为等边三角形，GN⊥AB，
∴AN＝AB＝b，
∵AG＝AB＝b，
∴GN＝．
∴．
同理：．
∴S2＝S△ABG+S△CDE+S△ADH+S△BFC﹣S矩形ABCD＝．
∵＝8，
∴．
∴．
解得：a＝或a＝．
由题意可知：a＜2b，
∴a＝．
∴．
故选：B．
16．解：∵CD⊥AB，∠F＝90°，
∴∠ADC＝∠F＝90°，
∵AN⊥AC，∠DAF＝90°，
∴∠FAN+∠DAN＝∠DAC+∠DAN＝90°，
∴∠FAN＝∠DAC．
在△ADC和△AFN中，
，
∴△ADC≌△AFN（ASA），
∴CD＝FN＝2，AC＝AN．
∵AN⊥AC，MN⊥AN，
∴∠ACB＝∠CAN＝∠ANM＝90°，
∴四边形ACMN是矩形，
∴四边形ACMN是正方形，
∵∠CDB＝∠DBE＝90°，
∴CG∥BE，
又∵NP＝PH，
∴NG＝GE，
设NG＝GE＝x，则FG＝2+x＝AD，DB＝GE＝x，
∵Rt△ACB中，CD⊥AB，
∴△ADC∽△CDB，
∴．
∴CD2＝AD×DB，
∴22＝（2+x）x，
即x2+2x＝4．
四边形ABMN的面积＝S正方形ACMN﹣S△ABC
＝AC2﹣
＝（AD2+CD2）﹣
＝（2+x）2+22﹣
＝x2+2x+6
＝4+6
＝10，
故选：C．

17．解：连接AO，

∵四边形CDGH是矩形，
∴CG＝DH，OC＝CG，OD＝DH，
∴OC＝OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
在△ACO和△ADO中，
，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠OAB＝∠CAO＝30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，
∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝×8＝4，
即OB的最小值为4．
故选：B．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠AOD＝α，
∴∠OAD＝（180°﹣α），
∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AEO＝β，∠DAE＝90°，
∴∠OAD＝∠AEO，
∴（180°﹣α）＝β，
∴α+2β＝180°．
故选：D．
19．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝，
又∵E是边AD的中点
∴，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴四边形EFOG为正方形，
∴FG＝OE＝6.5．
故选：B．
20．解：∵ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°＝∠DBC，
又∵AE＝DF，AD＝BD，
∴△AED≌△DFB，故①、②正确；
当点E，F分别是AB，AD中点时，
∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，
故③正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故选：D．