2021年九年级中考数学：几何专题复习之四边形压轴（二）试卷

这是一份2021年九年级中考数学：几何专题复习之四边形压轴（二）试卷，共27页。
2021年中考数学：几何专题复习之四边形压轴（二）

1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∠EAF＝60°．若AE＝3，AF＝4，则AB的长为　 　．

2．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，则下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤S△FGC＝；
其中正确的结论有　 　．

3．如图，等边△AOB，点C是边AO所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中，CD＝6，DE＝，则OF的最小值为　 　．

4．如图一，矩形纸片ABCD中，已知AB：BC＝5：3，先按图二操作，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（三）操作：沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则∠HAF的余弦值 　 　．

5．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB于点F，下列结论：
①∠EAC＝∠EDB；②AP＝2PF；③若S△DQC＝，则AB＝8；
④CE•EF＝EQ•DE．其中正确的结论有　 　．（填序号即可）

6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，连结对角线AC，E为AC的中点，F为AB边上的动点，连结EF，作点C关于EF的对称点C′，连结C′E，C′F，若△EFC′与△ACF的重叠部分（△EFG）面积等于△ACF的，则BF＝　 　．

7．如图，在矩形ABCD中，EF为对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F，连接AO，若AO＝，AB＝4，则EF＝　 　．

8．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且DH＝CD，连接GH，则GH的最小值为　 　．

9．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则下述结论：①AE⊥BF；②tan∠DAP＝；③DA＝DP；④FD＝FP中，一定成立的有　 　．

10．在▱ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，sinA＝，则▱ABCD的面积是　 　cm2．
11．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，连接EF，BF，BE，BE交AD于点P，过点F作FK⊥BE，垂足为G，FK与AB，CD分别交于点H，K，若DC＝DE，∠EFB＝∠FBC．则下列结论中：①BP＝HK；②∠ABF+∠FEB＝45°；③PG：GB：PE＝1：2：3；④sin∠ABF＝；⑤若连接AG，则AH+AP＝AG；⑥HF2+HK2＝2HB2，结论正确的有　 　（只填序号）．

12．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边BC上，且BE：EC＝2：1，动点P从点C出发，沿CD运动到点D停止，过点E作EF⊥PE交矩形ABCD的边于F，若线段EF的中点为M，则点P从C运动到D的过程中，点M运动的路线长为　 　．

13．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F、点H在BC上，若点E与点B关于AH对称，点E与点F关于BD对称，AH与BD相交于点G，则tan∠GBH＝　 　．

14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是　 　．

15．已知ABCD是一个正方形，点M（异于点B、C）在边BC上，线段AM的垂直平分线l分别交AB、CD于点E、F．若AB＝1，则|BE﹣DF|的取值范围为　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，点E在线段AD上，连接BE、CE，在线段BE取点F，使BF＝AB，若∠EBC＝2∠ECD，DE＝2，EF＝9，则线段CF的长为　 　．

17．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝；③AD＝AH；④GH＝，其中正确结论的序号是　 　．

18．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为　 　．

19．如图所示，在边长为6的正方形ABCD外以CD为边作等腰直角△CDE，连接BE，交CD于点F，则CF＝　 　．

20．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是1，其中正确结论有　 　．


参考答案
1．解：延长AE交DC延长线于M点，过M点作MN⊥AF于N点，
∵E点为BC中点，
∴BE＝CE．
∵AB∥DM，
∴∠B＝∠ECM．
又∠AEB＝∠MEC，
∴△ABE≌△MCE（ASA）．
∴CM＝AB，AE＝ME＝3，
∴AM＝2AE＝6．
在Rt△AMN中，∠MAN＝60°，
所以∠AMN＝30°，
∴AN＝AM＝3，MN＝＝＝3，
∴NF＝AF﹣AN＝4﹣3＝1．
在Rt△MNF中，利用勾股定理可得
MF＝＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，
又F为CD中点，
∴CF＝CD＝AB．
∴MF＝MC+CF＝AB．
所以AB＝2，
解得AB＝．

故答案为．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°，
∵CD＝3DE，
∴DE＝2，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE＝EF＝2，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，
∴AF＝AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．
∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF．
设BG＝x，则CG＝BC﹣BG＝6﹣x，GE＝GF+EF＝BG+DE＝x+2．
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2＝EG2．
∵CG＝6﹣x，CE＝4，EG＝x+2，
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得：x＝3．
∴BG＝GF＝CG＝3．
∴②正确；
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG．
∵∠BGF＝∠CFG+∠FCG，∠BGF＝∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG＝∠AGB+∠AGF．
∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，
∴∠AGB＝∠FCG．
∴AG∥CF．
∴③正确；
∵S△EGC＝×3×4＝6，S△AEF＝S△ADE＝×6×2＝6，
∴S△EGC＝S△AFE；
∴④正确，
∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴＝＝，
∵S△GCE＝6，
∴S△CFG＝×6＝3.6，
∴⑤正确；
故答案为①②③④⑤．

3．解：假设C、D不动，O运动，
取EF的中点G，连接DG，CG，OG，并以点G为圆心，DG为半径作圆，

∵四边形CDEF是矩形，CD＝6，DE＝，
∴EG＝FG＝3，
∴tan∠EGD＝＝，
∴∠EGD＝30°，DG＝CG＝2，
∴∠CGD＝120°，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝120°
∴∠CGD+∠COD＝180°，
∴C，D，O和圆G上任意一点共圆，即点O在圆G上，
∴DG＝OG＝2，
在△FOG中，OG﹣GF≤OF≤OG+GF，
∴2﹣3≤OF≤2+3，
∴OF的最小值为2﹣3．
故答案为：2﹣3．
4．解：设AB＝5x，BC＝3x，
由折叠的性质可得，AE＝AD＝3x，HF＝FC，∠AEF＝∠D＝90°，
∴四边形ADFE为矩形，四边形BCFE为矩形，四边形GCFH为矩形，
∴EF＝AD＝BC＝3x，FC＝HG＝BE＝5x﹣3x＝2x，
∴EH＝EF﹣HF＝3x﹣2x＝x，
在Rt△AEH中，由勾股定理得，
AH＝＝＝x，
∴cos∠HAF＝＝＝，
故答案为：．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC＝2AB，点E是边BC的中点，
∴BE＝EC＝AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DEC＝45°，
∵∠AEB＝∠ACB＝∠EAC，∠DEC＝∠DBC+∠BDE，
∴∠EAC＝∠EDB，故①正确；
∵PF⊥AE，
∴∠PFE＝∠PEF＝45°，
∴PE＝PF，
∵AD∥BC，
∴△ADP∽△EBP，
∴＝2，
∴AP＝2PE＝2PF，故②正确；
∵AD∥BC，
∴△ADQ∽△CEQ，
∴＝2，
∴AQ＝2QC，
∵S△DQC＝，
∴S△ADC＝16，
∴×AD×DC＝16，
∴DC＝4，
∴AB＝4，故③错误，
∵AB＝BE，DC＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE，
∵△ADP∽△EBP，△ADQ∽△CEQ，
∴＝，＝
∴，
∴，
∴PE＝EQ，
∵∠AEB＝∠DEC＝45°，∠EPF＝∠ECD＝90°，
∴△PEF∽△CDE，
∴，
∴CE•EF＝EQ•DE．故④正确；
故答案为：①②④．
6．解：如图1中，当点F在线段AB上时，连接C′E，C′A，作EM⊥CF于M，EN⊥FC′于N．

∵△EFC′与△ACF的重叠部分（△EFG）面积等于△ACF的，
∴EG＝AG，
∵∠EFC＝∠EFC′，EM⊥BC于M，EN⊥FC′于N，
∴EM＝EN，
∴＝＝＝2，
∴FC＝2FG，
∵FC′＝FC，
∴FG＝C′G，
∵AG＝GE，
∴四边形AFEC′是平行四边形，
∴EC′＝AF＝EC＝AC＝＝，
∴FB＝2﹣；
如图2中，点F在线段BA的延长线上时，
同法可得AF＝EC′＝EC＝，

∴BF＝2+；
故答案为2﹣或2+．
7．解：连接DF，

∵EF为矩形ABCD的对角线BD的垂直平分线，AO＝，
∴BD＝2DO＝2AO＝，BF＝DF，∠DOF＝90°，
∴DO＝，
在矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝4，AD∥BC，
∴BD2＝BC2+CD2，
即，
解得BC＝6，
∵DF2＝CF2+CD2，
∴DF2＝（6﹣DF）2+42，
解得DF＝，
∵EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，∠EOD＝∠BOF＝∠DOF＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∴△EDO≌△FBO（ASA），
∴OE＝OF＝EF，
在Rt△DOF中，DF2＝OF2+OD2，
∴OF2+（）2＝（）2，
解得OF＝，
∴EF＝．
故答案为．
8．解：连接CG．

∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAE＝45°，
∴点G的运动轨迹是射线CG，
根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，
∵DH＝CD＝2，
∴CH＝CD﹣DH＝3﹣2＝1，
∴最小值＝CH•sin45°＝1×＝．
故答案为：．
9．解：连接AF，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，＝2，
在△ABE和△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BPE＝∠APF＝90°，
∴AE⊥BF，故①正确；
∵∠ADF＝90°，
∴∠ADF+∠APF＝180°，
∴A、P、F、D四点共圆，
∴∠AFD＝∠DPA，∠DAF＝∠DPF，
∵∠DAB＝∠APF＝90°，∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴DA＝DP，故③正确；
∵∠DAP＝∠DPA＝∠AFD，
∴tan∠DAP＝tan∠AFD＝＝2，故②错误；
∵DA＝DP，只有当DA＝AP时，FD＝FP，故④不一定正确．
故①③．
故答案为：①③．

10．解：如图，过点D作DH⊥AB于点H，

∵AB＝8cm，AD＝BC＝6cm，sinA＝＝，
∴＝，
∴DH＝，
∴AB•DH＝8×＝（cm2）．
则▱ABCD的面积是cm2．
故答案为：．
11．解：过点A作AL⊥BE交CD于点L，
∴四边形AHKL是平行四边形，
∴AL＝HK，
∵AB＝AD，∠ADL＝∠BAP＝90°，
∵∠DAJ+∠APB＝∠DAL+∠ALD＝90°，
∴∠APB＝∠ALD，
∴△ADL≌△BAP（AAS），
∴BP＝AL＝HK，故①正确；
延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点N，连接BK，
∵∠EFB＝∠FBC，
∴∠BFN＝∠FBN＝∠BFA，
∴BM＝BA＝BC，
∴∠FEG＝∠KEG，
∴△EFG≌△EKG（ASA），
∴FG＝KG，
∴BE垂直平分FK，
∴BF＝BK，
∵BA＝BC，
∴Rt△ABF≌Rt△CBK（HL），
∴∠ABF＝∠CBK，
∴∠FBK＝∠ABF+∠ABK＝∠CBK+∠ABK＝90°，
∴∠FBE＝∠KBE＝45°，
∴∠ABF+∠FEB＝∠ABF+∠BED＝∠ABF+∠ABP＝∠FBE＝45°，故②正确；
∵∠DFK＝90°﹣∠EKG＝∠BEC，
∴tan∠DFK＝tan∠BEC＝＝，
∴BG＝FG＝2PG，
∴PE＝PB＝PC+BC＝3PC，
∴PC：BC：PE＝1：2：3，故③正确；
设正方形边长为a，由＝tan∠DFK＝，
∴DF＝2DK，
即：a+AF＝2（a﹣CK），
∴AF＝CK＝a，
∴BF＝＝a，
∴sin∠ABF＝，故④正确；
过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，
∵PG＝BG，∠PGF＝∠HGB，∠PFG＝∠HBG，
∴△FPG≌△BHG（ASA），
∴PF＝BH，PG＝HG，
∵∠AGQ＝∠FGB＝90°，
∴∠AGQ﹣∠FGQ﹣∠BGF﹣∠FGQ，
∴∠AGF＝∠BGQ，
∵∠AFG＝∠QBG，FG＝BG，
∴△AFG≌△BHG（ASA），
∴AG＝QG，AF＝BQ，
∴HQ＝BH﹣BQ＝PF﹣AF＝AP，
∴AG＝AQ＝AH+HQ＝AH+AP，故⑤正确；
在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH＝CT，
∴△AFH≌△CKI（SAS），
∴∠AFH＝∠CKI，
KI＝FH，
∴∠HKI＝180°﹣∠FKD﹣∠AFH＝180°﹣∠FKD﹣∠CKI＝90°，
∴HF2+HK2＝KI2+HK2＝HI2＝2BH2，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑤⑥．

12．解：如图，

∵BE：EC＝2：1，AD＝6＝BC，
∴BE＝4，EC＝2，
当点P'与点C重合时，∵∠F'EC＝90°＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ECDF'是矩形，
∴DF'＝2，
∴AF'＝4，
当点F与点A重合时，∵M'是EF'的中点，点M'''是AE的中点，
∴M'M'''＝AF'＝2，
当点P''与点D重合时，
∵∠F''ED＝90°，
∴∠F'''EB+∠DEC＝90°，
∵∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠F'''EB，
在△DEC和△EF'''B中，
，
∴△BF'''E≌△CED（AAS），
∴EC＝BF'''＝2，
∴AF'''＝2，
∵点M'''是AE的中点，M''是EF'''的中点，
∴M''M'''＝AF'''＝1，
∴点M运动的路线长＝2+1＝3，
故答案为3．
13．解：∵点E与点B关于AH对称，
∴∠BAH＝∠DAH，AB＝AE，
又∵AB⊥AD，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∵点E点F关于BD对称，
∴∠DBE＝∠DBF，
∵AD∥BC，
∴∠DBF＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠DBE，
∴BE＝DE，
在△ABE中，BE＝AB，
∴DE＝AB，
∴AD＝AE+DE＝AB+AB＝（+1）AB，
∴tan∠GBH＝tan∠ADB＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．解：如图：

当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2．
故答案是：2．
15．解：过F作FG⊥AB于G，过O作OH⊥AB于H，则FG＝AD＝AB＝1，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AM，
∴∠AOE＝∠B＝90°，
∴∠BAM+∠AEO＝∠AEO+∠GFE＝90°，
∴∠BAM＝∠GFE，
∴△ABM≌△FGE（ASA），
∴BM＝GE，
不妨设BM＝x（0＜x＜1），
∵O为AM的中点，OH∥GF∥BC，
∴AH＝BH＝，OH＝，△EOH∽△EFG，
∴，即，
∴EH＝，
∴BE＝，
∴DF＝AG＝AB﹣GE﹣BE＝1﹣x﹣＝，
∴|BE﹣DF|＝|x2﹣x|＝||＞0，
∵0＜x＜1，﹣≤＜0，

∴0＜|BE﹣DF|≤．
故答案为：0＜|BE﹣DF|≤．
16．解：如图，过点C作CH⊥EF于点H，

设∠ECD＝α，则∠EBC＝2∠ECD＝2α，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝2α，
∴∠BEC＝180°﹣∠AEB﹣∠DEC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∵∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
在△ABE和△HCB中，
，
∴△ABE≌△HCB（AAS），
∴AB＝CH，
∴AB＝BF＝CH＝CD，
在Rt△CDE和Rt△CHE中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CHE（HL），
∴HE＝DE＝2，
∴FH＝EF﹣HE＝9﹣2＝7，
设AB＝BF＝CH＝CD＝a，
则BH＝BF+FH＝a+7，BC＝BE＝BF+EF＝a+9，
在Rt△BHC中，根据勾股定理，得
BC2＝BH2+CH2，
∴（a+9）2＝（a+7）2+a2，
解得a＝﹣4（舍去），a＝8，
∴CF＝＝＝．
故答案为：．
17．解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，
∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，
又∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故①正确；
∵CD＝6，CE＝3，
∴DE＝
＝
＝3，
∵S△DCE＝CD×CE＝DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴，
∴CF＝＝3，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴，故②正确；
如图，过点A作AM⊥DE于点M，

∵DC＝6，CH＝，
∴DH＝
＝
＝，
∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，
∴∠CDH＝∠DAM，
又∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，
∴△ADM≌△DCH（AAS），
∴CH＝DM＝，AM＝DH＝，
∴MH＝DM＝，
又∵AM⊥DH，
∴AD＝AH，故③正确；
∵DE＝3，DH＝，
∴HE＝，
ME＝HE+MH＝，
∵AM⊥DE，CF⊥DE，
∴AM∥CF，
∴＝，
∴＝，
∴HG＝，故④正确．
综上，正确的有：①②③④．
故答案为：①②③④．
18．解：设BM＝x，则BN＝6﹣x，
∵MN2＝BM2+BN2，
∴MN2＝x2+（6﹣x）2＝2（x﹣3）2+18，
∴当x＝3时，MN最小，
此时Q点离AD最近，
∵BM＝BN＝3，
∴Q点是AC和BD的交点，
∴AQ＝DQ＝AD＝3，
过点Q作QM′⊥AD于点M′，在△ADQ内部过A、D分别作∠M′DP＝∠M′AP＝30°，则∠APD＝∠APQ＝∠DPQ＝120°，点P就是费马点，此时PA+PD+PQ最小，
在等腰Rt△AQD中，AQ＝DQ＝3，QM′⊥AD，
∴AM＝QM′＝AQ＝3，
故cos30°＝，
解得：PA＝2，则PM′＝，
故QP＝3﹣，同法可得PD＝2，
则PA+PD+PQ＝2×+3﹣＝3+3，
∴点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为3+3，
故答案为3+3．

19．解：过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于G，

∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝45°，CE＝CD，
∴∠ECG＝45°，
∴sin∠ECG＝＝，
∴EG＝CD，
∴CG＝EG＝CD，
∴BG＝BC+CG＝CD，
∵tan∠EBG＝，
∴＝，
∴CF＝CD，
又∵CD＝6，
∴CF＝2，
故答案为2．
20．解：在正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，
∴∠BCN+∠DCN＝90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN＝90°，
∴∠BCN＝∠CDM，
又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
∵△CNB≌△DMC，
∴CM＝BN，
又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，
∴∠DOC+∠COM＝∠COB+∠BPN，即∠DOM＝∠CON，
又∵DO＝CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵∠BON+∠BOM＝∠COM+∠BOM＝90°，
∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正确；
∵AB＝BC，CM＝BN，
∴BM＝AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，
∴AN2+CM2＝MN2，故④正确；
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN＝x＝CM，则BM＝2﹣x，
∴△MNB的面积＝x（2﹣x）＝﹣x2+x，
∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1﹣＝，故⑤错误，
故答案为①②③④．