2021年中考数学：几何专题复习之特殊四边形专题（较难）

这是一份2021年中考数学：几何专题复习之特殊四边形专题（较难），共46页。试卷主要包含了如图，点A、B在函数y＝等内容，欢迎下载使用。
2021年中考数学：几何专题复习之
特殊四边形专题（较难）

一．选择题
1．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，则下列说法正确的是（　　）

A．当∠B＝90°时，则EF＝2
B．当F恰好为BC的中点时，则▱ABCD的面积为12
C．在折叠的过程中，△ABF的周长有可能是△CEF的2倍
D．当AE⊥BC时，连接BE，四边形ABEC是菱形
2．如图，E为正方形ABCD边CD上一点，连接BE，AC．若EC＝1，2∠ABE＝3∠ACB，则AB＝（　　）

A． B． C． D．
3．如图，点A、B在函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连接AB、MN．若△CMN和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（　　）

A．4 B．4 C． D．6
4．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（　　）

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为边BC的中点，P为BD的一个动点，则PC+PE的最小值是（　　）

A． B． C． D．

6．已知点M是平行四边形ABCD内一点（不含边界），设∠MAD＝θ1，∠MBA＝θ2，∠MCB＝θ3，∠MDC＝θ4．若∠AMB＝110°，∠CMD＝90°，∠BCD＝60°．则（　　）

A．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝10° B．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝30°
C．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝30° D．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°
7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（　　）

A．10 B．12 C．16 D．18
8．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝（　　）

A． B． C．2 D．
二．填空题
9．如图，▱ABCD的面积为32，E，F分别为AB、AD的中点，则△CEF的面积为　 　．

10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为　 　；
（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为　 　．

11．如图，菱形ABCD的边长为2，点E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝BD＝2，设△BEF的面积为S，则S的取值范围是　 　．

12．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点．连接EF，FM，则FM＝　 　；线段EF的最大值为　 　．

13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝7，连接BD，把线段BD绕点D逆时针方向旋转90°得线段DQ．在BC边上取点P，使BP＝2，连接PQ交DC延长线于点E，则线段DE长为　 　．

14．在三角形ABC中，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，AH⊥BC于点H，若∠DEF＝50°，则∠CFH＝　 　．

15．如图是一张三角形纸片，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，从纸片上裁出一矩形，要求裁出的矩形的四个顶点都在三角形的边上，其面积为2，则该矩形周长的最小值＝　 　．

16．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为　 　．

17．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为　 　．

18．直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为　 　．

19．如图，矩形ABCD中，E为CD上一点，F为AB上一点，分别沿AE，CF折叠，D，B两点刚好都落在矩形内一点P，且∠APC＝120°，则AB：AD＝　 　．

20．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥CG交AB于E，BE＝BC，连接CE交BG于F，则∠BFC等于　 　．

三．解答题
21．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）求证：AF∥CH．
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长．
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．



22．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．
（1）证明：PD＝PE．
（2）连接PC，求PC的最小值．
（3）设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠DPO＝90°？若存在，请直接写出AP的长．



23．当k值相同时，我们把正比例函数y＝x与反比例函数y＝叫做“关联函数”．
（1）如图，若k＞0，这两个函数图象的交点分别为A，B，求点A，B的坐标（用k表示）；
（2）若k＝1，点P是函数y＝在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合），设点P的坐标为（m，），其中m＞0且m≠2．作直线PA，PB分别与x轴交于点C，D，则△PCD是等腰三角形，请说明理由；
（3）在（2）的基础上，是否存在点P使△PCD为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．




24．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE上的点F处．
（1）求证：CF＝DE．
（2）设＝m．
①若m＝，试求∠ABE的度数；
②设＝k，试求m与k满足的关系．


25．如图，正方形ABCD中，G是对角线BD上一个动点，连接AG，过G作GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足
（1）求证：GE+GF＝AB；
（2）①写出GE、GF、AG三条线段满足的等量关系，并证明；
②求当AB＝6，AG＝时，BG的长．



26．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D两点重合），连接AE，作EF⊥AE于E，交直线CB于F．
（1）如图1，当点F在线段CB上时，通过观察或测量，猜想△AEF的形状，并证明你的猜想；
（2）如图2，当点F在线段CB的延长线上时，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AE将△ABD的面积分成1：2的两部分，求AF：CF的值．



27．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连接BE，作EF⊥BE交AD于点F．过点E作直线CD的对称点G，连接CG，DG，EG．
（1）求证：△BEC≌△DGC；
（2）求证：四边形FEGD为平行四边形；
（3）若AB＝4，▱FEGD有可能成为菱形吗？如果可能，此时CE长；如果不可能，请说明理由．



28．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．



29．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AC上一点，点E，点F关于CD对称．
（1）若ED∥CF，
①求证：四边形ECFD是菱形．
②若点E为AC的中点，求证：AD＝EF．
（2）连接BD，BE，BF，若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，求的值．




30．（1）如图1，将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．

①判断EG与EH是否相等，并说明理由．
②判断GH是否平分∠AGE，并说明理由．
（2）如图2，如果将（1）中的已知条件改为折叠三角形纸片ABC，其它条件不变．
①判断EG与EH是否相等，并说明理由．
②判断GH是否平分∠AGE，如果平分，请说明理由；如果不平分，请用等式表示∠EGH，∠AGH与∠C的数量关系，并说明理由．

参考答案
一．选择题
1．解：A、如图1中，

∵∠B＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠DAC＝∠CAE，
∴∠ACF＝∠CAF，
∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，
在Rt△ABF中，则有x2＝62+（8﹣x）2，
解得x＝，
∴EF＝8﹣＝，故选项A不符合题意．
B、如图2中，

当BF＝CF时，
∵AF＝CF＝BF，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∴S平行四边形ABCD＝AB•AC＝6×2＝12，故选项B符合题意．
C、在折叠过程中，△ABF与△EFC的周长相等，选项C不符合题意．
D、如图3中，

当AE⊥BC时，四边形ABEC是等腰梯形，选项D不符合题意．
故选：B．
2．解：如图，AC，BE交于点F，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵2∠ABE＝3∠ACB，
∴∠ABE＝＝67.5°，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠ABE＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∵AB∥CE，
∴∠ABF＝∠CEF＝67.5°，
∵∠CFE＝∠AFB＝67.5°，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
设AB＝x，则AC＝x+1，在Rt△ABC中，AC＝，
∴x+1＝，
解得x＝+1，
故选：B．
3．解：设点M（a，0），N（0，b）
∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，
∴点A的坐标为（a，），
BN⊥y轴，同理可得：B（，b）
则点C（a，b）
s△CMN＝＝ab＝1
∴ab＝2
∵AC＝，BC＝
＝＝4
即，且ab＝2
（k﹣2）2＝16
解得：k＝6，k＝﹣2（舍去）
故选：D．
4．解：连接FC，如图所示：
∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴FA＝FB＝FC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC，
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴DA＝EF，AF＝2AG，
∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；
在△DBF和△EFA中，，
∴△DBF≌△EFA（SAS）；
综上所述：①③④正确，
故选：C．

5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点A和点C关于BD对称，BC＝AB＝4，
∵E为边BC的中点，
∴BE＝BC＝2，
连接AE交BD于P，则此时，PC+PE的值最小，
PC+PE的最小值＝AE，
∵AE＝＝＝2，
∴PC+PE的最小值是2，
故选：A．

6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴∠BAM＝60°﹣θ1，∠DCM＝60°﹣θ3，
∴△ABM中，60°﹣θ1+θ2+110°＝180°，即θ2﹣θ1＝10°①，
△DCM中，60°﹣θ3+θ4+90°＝180°，即θ4﹣θ3＝30°②，
由②+①，可得（θ4﹣θ3）+（θ2﹣θ1）＝40°，
即θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°，
故选：D．
7．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）
故选：C．
8．解：延长GH交AD于M点，如图所示：
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，
∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH＝FH，
在△AMH和△FGH中，，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM＝FG＝1，MH＝GH，
∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，
在Rt△MDG中，GM＝＝＝2，
∴GH＝GM＝，
故选：A．

二．填空题（共12小题）
9．解：连接AC、DE、BD，如图：
∵E为AB中点，
∴S△BCE＝S△ABC＝S平行四边形ABCD＝8，
同理可得：S△CDF＝8，
∵F为AD中点，
∴SAEF＝S△AED＝S△ABD＝S平行四边形ABCD＝4，
∴S△CEF＝S平行四边形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCE﹣S△CDF＝32﹣8﹣8﹣4＝12；
故答案为：12．

10．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，
∵BE＝5，
∴AE＝＝＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，
∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，
∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．
故答案为17．

（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，
∵＞0，
∴x＝2时，△DFG的面积的最小值为6．
故答案为6．

11．解：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2，
∴△ABD和△BCD都为正三角形，
∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC，
∵AE+DE＝AD＝2，而AE+CF＝2，
∴DE＝CF，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，
∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，
∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，
∴△BEF为正三角形；
设BE＝BF＝EF＝x，
则S＝•x•x•sin60°＝x2，
当BE⊥AD时，x最小＝2×sin60°＝，
∴S最小＝×（）2＝，
当BE与AB重合时，x最大＝2，
∴S最大＝×22＝，
∴≤S≤．
故答案为：≤S≤．
12．解：连接EM，
∵E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点，
∴FM＝，EM＝，
当EF＝EM+MF时，线段EF最大，即EF＝1+3＝4，
故答案为：1；4．
13．解：如图，过点Q作QH⊥CD于点H，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝7，
∵BP＝2，
∴CP＝5，
∵把线段BD绕点D逆时针方向旋转90°得线段DQ，
∴BD＝DQ，∠BDQ＝90°，
∴∠BDC+∠QDC＝90°，且∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠QDC＝∠DBC，且BD＝DQ，∠BCD＝∠DHQ＝90°，
∴△BDC≌△DQH（AAS）
∴DC＝HQ＝5，BC＝DH＝7，
∴CH＝DH﹣CD＝2，
∵CP＝HQ＝5，∠PEC＝∠QEH，∠PCE＝∠QHE，
∴△PCE≌△QHE（AAS）
∴CE＝EH，且CH＝2，
∴CE＝EH＝1，
∴DE＝DC+CE＝5+1＝6，
故答案为：6．
14．解：∵点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，
∴EF∥BC，DE∥AC（三角形的中位线的性质）
又∵EF∥BC，∠DEF＝50°，
∴∠DEF＝∠EDB＝50°（两直线平行，内错角相等），
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠FCH＝50°（两直线平行，同位角相等），
又∵AH⊥BC，
∴△AHC是直角三角形，
∵HF是斜边上的中线，
∴HF＝AC＝FC，
∴∠FHC＝∠FCH＝50°．
∴∠CFH＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
15．解：①当矩形的其中一边在AC上时，如图1所示：
设CE＝x，则BE＝3﹣x，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴DE＝（3﹣x），
∴S矩形DECF＝CE•DE＝x（3﹣x）＝2，
整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
当x＝1时，该矩形周长＝（CE+DE）×2＝（1+2）×2＝4+2，
当x＝2时，该矩形周长＝（CE+DE）×2＝2+4，
∵（4+2）﹣（2+4）＝2﹣2＝2（﹣1）＞0，
∴矩形的周长最小值为2+4；
②当矩形的其中一边在AB上时，如图2所示：
设CF＝x，则BF＝3﹣x，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴FG＝2x，EF＝（3﹣x），
∴S矩形DECF＝FG•EF＝2x•（3﹣x）＝2，
整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
所以和（1）的结果一致，
综上所述：矩形周长的最小值为2+4．
故答案为：2+4．


16．解：连接BN、CM，作NP⊥BC于P，如图所示：
∵△ABM和△ACN是等边三角形，
∴AB＝AM，AN＝AC＝CN＝3，∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°，
∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，
即∠CAM＝∠NAB，
在△CAM和△NAB中，，
∴△CAM≌△NAB（SAS），
∴CM＝NB，
∵D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，
∴DG是△BMN的中位线，EF是△BCN的中位线，DE是△BCM的中位线，
∴DG∥BN，DG＝BN，EF∥BN，EF＝BN，DE＝CM，
∴DG∥EF，DG＝EF，DG＝DE，
∴四边形DEFG是平行四边形，
又∵DG＝DE，
∴四边形DEFG是菱形，
∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN，
∵∠BAC＝60°，
∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°，
∵NP⊥BC，
∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°，
∴PC＝CN＝，PN＝PC＝，
∴BP＝BC+PC＝5+＝，
∴BN＝＝＝7，
∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN＝，
∴四边形DEFG的周长＝4×＝14，
故答案为：14．

17．解：
∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，
故答案为：40°．
18．解：∵直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于点D、A，
∴A（，a），D（2a，a），
当直线在x轴的正半轴时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，即2a﹣＝a，解得a＝﹣1或a＝1．
当直线在x轴的负半轴时，
同理可得，2a﹣＝﹣a，解得a＝±．
故答案为：±1或±．
19．解：如图，设AD＝BC＝x．过点P作PH⊥AC于H．

由翻折的性质可知，PA＝PC＝BC＝x，
∵∠APC＝120°，PH⊥AC，
∴AH＝CH，∠APH＝∠CPH＝60°，
∴AC＝2AH＝2•PA•sin60°＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴CD＝AB＝＝＝x，
∴＝＝，
故答案为：1．
20．解：∵BE＝BC，∠ABC＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠BCE＝∠BEC＝45°，
∵GE⊥CG，
∴∠AGE+∠CGD＝90°，
∵∠DCG+∠CGD＝90°，
∴∠AGE＝∠DCG，
又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AGE∽△DCG，
∴，
∵G是AD的中点，
∴AG＝DG，
∴，
∵∠D＝∠CGE＝90°，
∴△CDG∽△CGE，
∴∠DCG＝∠GCE＝（90°﹣45°）＝22.5°，
∵G是AD的中点，
∴由矩形的对称性可知∠ABG＝∠DCG＝22.5°，
由三角形的外角性质得，∠BFC＝∠ABG+∠BEC＝22.5°+45°＝67.5°．
故答案为：67.5°．
三．解答题（共10小题）
21．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，
又∵AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABE+∠FAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AF⊥BE，
又∵CH⊥BE，
∴AF∥CH；
（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，
∴BE＝＝＝4，
∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，
∴AP＝＝，
在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，
∵∠APB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，
∴∠ABP＝∠HCB，
∵CH⊥BE，
∴∠HCB＝90°，
又∵AB＝BC，
∴△ABP≌△BCH（AAS），
∴BH＝AP＝，
∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．
（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，
∵CH⊥BP，PH＝BH，
∴CP＝BC，
∴∠CBP＝∠CPB，
∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，
∴∠QPE＝∠QEP，
在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，
∴QE＝QP＝QA，
在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，
则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，
∵DC2+DQ2＝CQ2，
∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，
∴b2＝4ab，
即b＝4a，
∴＝4．
22．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝90°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠EAP＝45°，
在△DAP和△EAP中，
，
∴△DAP≌△EAP（SAS）
∴PD＝PE；
（2）解：如图1，作CP′⊥AP′于P′，
则P′C最小，
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠EAP，
∵∠DAP＝∠EAP，
∴∠DAP＝∠DFA＝45°，
∴FC＝DF＝AD＝2，∠P′FC＝45°，
∴P′C＝FC×＝，
∴PC的最小值为；
（3）解：如图2，∵DF＝FC，OA＝OC，
∴OF∥AD，
∴∠DFO＝180°﹣∠ADF＝90°，
∴当点P与点F重合时，∠DPO＝90°，此时，AP＝＝2，
当点P在AF上时，作PG⊥AD于G，PH⊥AB于H，
∵AP平分∠DAB，PG⊥AD，PH⊥AB，
∴PG＝PH，
设PG＝PH＝a，
由勾股定理得，DP2＝（2﹣a）2+a2，OP2＝（2﹣a）2+（1﹣a）2，OD2＝5，
当∠DPO＝90°时，DP2+OP2＝OD2，即（2﹣a）2+a2+（2﹣a）2+（1﹣a）2＝5，
解得，a1＝2（舍去），a2＝，
当a＝时，AP＝，
综上所述，∠DPO＝90°时，AP＝2或．


23．解：（1）∵两个函数图象的交点分别为A，B，
∴，
∴x2＝k2，
∴x＝±k，
∴点A坐标为（﹣k，﹣1），点B坐标（k，1），
（2）∵k＝1，
∴点A坐标为（﹣1，﹣1），点B坐标（1，1），
∵点P的坐标为（m，），
∴直线PA解析式为：y＝+，
当y＝0时，x＝m﹣1，
∴点C（m﹣1，0）
同理可求直线PB解析式为：y＝﹣x+，
当y＝0时，x＝m+1，
∴点D（m+1，0）
∴PD＝＝，
PC＝＝，
∴PC＝PD，
∴△PCD是等腰三角形；
（3）如图，过点P作PH⊥CD于H，

∵△PCD为直角三角形，PH⊥CD，
∴CD＝2PH，
∴m+1﹣（m﹣1）＝2×
∴m＝1，
∴点P（1，1），
∵点B（1，1），且点P是函数y＝在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合），
∴不存在点P使△PCD为直角三角形．
24．（1）证明：由折叠的性质可知，∠BEA＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EBC，∠BCF＝∠CED，
∴∠BEF＝∠EBC，
∴BC＝CE，
∵∠BFC＝∠D＝90°，
∴△BFC≌△CDE（AAS），
∴CF＝DE．

（2）解：①由翻折可知BA＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，
在Rt△BFC中，sin∠BCF＝＝＝＝，
∴∠BCF＝60°，
∴∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABE＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠ABF＝30°．

②∵＝k，＝m，
∴AE＝kAD，AB＝mAD，
∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），
在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2，
整理得，m2＝2k﹣k2．

25．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，
∴GE＝DG，GF＝BG，
∴GE+GF＝（DG+BG）＝BD，
∴GE+GF＝AB；
（2）解：GE2+GF2＝AG2，理由如下：
连接CG，如图所示：

在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CE＝GF，
∴GE2+CE2＝CG2，
∴GE2+GF2＝AG2；
设GE＝x＝CF，则GF＝6﹣x＝BF，
由勾股定理得：x2+（6﹣x）2＝（）2，
∴x＝1或x＝5
当x＝1时，
∴BF＝GF＝5，
∴BG＝＝＝5，
当x＝5时，
∴BF＝GF＝1，
∴BG＝＝＝，
26．解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：
过点E作直线MN∥AB，交AD于M，交BC于N，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且MN∥AB，
∴四边形ABNM和四边形MNCD都是矩形，△NEB和△MDE都是等腰直角三角形，
∴AM＝BN，∠AME＝∠ENF＝90°，EN＝BN，
∴AM＝EN，
∵EF⊥AE，
∴∠AEM+∠FEN＝∠AEM+∠EAM＝90°，
∴∠EAM＝∠FEN，
在△AME和△ENF中，，
∴△AME≌△ENF（ASA），
∴AE＝EF，
∵AE⊥EF，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）（1）中的结论还成立，理由如下：
过点E作直线MN∥DC，交AD于M，交BC于N，如图2所示：
由（1）同理可得：AM＝BN＝EN，∠EAM＝∠FEN，
∵∠AME＝∠ENF＝90°，
在△AME和△ENF中，，
∴△AME≌△ENF（ASA）；
∴AE＝EF，
∵AE⊥EF，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（3）分两种情况：
①△ADE的面积：△ABE的面积＝1：2时，如图1所示：
则BE＝2DE，
设正方形ABCD的边长为3a，则BD＝3a，
由（1）得：AE＝EF，ME＝NF，DM＝CN，△AEF、△NEB和△MDE都是等腰直角三角形，
∴AF＝AE，BE＝BN＝2a，DE＝ME＝a，
∴AM＝BN＝2a，CN＝NF＝DM＝ME＝a，
∴CF＝NF+CN＝2a，AE＝＝＝a，
∴AF＝AE＝a，
∴＝＝；
②△ADE的面积：△ABE的面积＝2：1时，如图2所示：
则DE＝2BE，
设正方形ABCD的边长为3a，则BD＝3a，
同（1）得：AF＝AE，BE＝BN＝a，DE＝ME＝2a，
∴AM＝BN＝a，CN＝NF＝DM＝ME＝2a，
∴CF＝NF+CN＝4a，AE＝＝＝a，
∴AF＝AE＝a，
∴＝＝；
综上所述，若AE将△ABD的面积分成1：2的两部分，
则AF：CF的值为或．


27．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC，
∵点E与点G关于直线CD对称，
∴EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD，
∴∠BCE＝∠DCG，
在△BEC和△DGC中，，
∴△BEC≌△DGC（SAS）；
（2）证明：∵EG⊥CD，AD⊥DC，AD∥BC，
∴EG∥DF∥BC，
∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°，
∴∠DGE＝∠DGC﹣45°，
∵BE⊥EF，
∴∠FEG＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC＝225°﹣∠BEC，
∵△BEC≌△DGC，
∴∠DGC＝∠BEC，
∴∠DGE+∠FEG＝∠DGC﹣45°+225°﹣∠BEC＝180°，
∴EF∥DG，
∴四边形FEGD为平行四边形；
（3）解：过E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，如图所示：
则∠EBM+∠BEM＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠BEM+∠FEN＝90°，
∴∠EBM＝∠FEN，
∵BM＝AN，AN＝EN，
∴BM＝EN，
在△BME和△ENF中，，
∴△BME≌△ENF（ASA），
∴BE＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴BE＝DE，
∴DE＝EF，
当四边形GD为菱形时，DF＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，
设CM＝x，则EM＝x，
∵∠EBM＝30°，
∴BM＝x，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，
∴BC＝BM+EM＝（+1）x＝4，
解得：x＝2（﹣1），
∴CE＝x＝2﹣2．

28．（1）证明：连接MN，如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，
∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝3，
在△AME和△CNF中，，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
又∵AE＝CF＝1，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，
∴MN＝EF，
∴四边形EMFN为矩形．
（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：

则四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，
∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，
∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，
∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，
在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，
解得：x＝2±，
∵0＜x＜2，
∴x＝2﹣．
29．（1）证明：①如解图1，
∵点E，点F关于CD对称．
∴DE＝DF；CE＝CF，OE＝OF，CD⊥EF，
∴∠ECO＝∠FCO，
∵ED∥CF，
∴∠FCO＝∠EDO，
∴∠ECO＝∠EDO，
∴DE＝EC，
∴DE＝DE＝EC＝CF，
∴四边形ECFD是菱形．
②由得①得四边形ECFD是菱形，
∴EO＝OF＝，OD＝OC，
又∵AE＝EC，
∴OF＝．
∴AD＝EF
（2）解：四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，则有以下情况：
Ⅰ．第一种情况：若∠BFD＝90°时，E、F、C三点重合，BF＝BE，即．
Ⅱ．第二种情况：若∠BDF＝90°时，如解2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝∠DBC＝45°，BE＝DE，
∴∠FDC＝45°，
∵E，点F关于CD对称，
∴∠EDC＝45°，即E为AC与BD的交点，EF⊥CD，
∴EF∥BC，
∴∠DEF＝∠BDC＝45°，
∴△EFD为等腰直角三角形，
∴DF＝DE＝BE，
在Rt△BDF中，BF＝＝，
∴即＝．
Ⅲ．点E为AC上一点，所以∠DBF＝90°不存在．
综上所述：若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，的值为1或．


30．解：（1）①EG＝EH，
理由如下：
如图，

∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴AF∥BE，且GH∥EF
∴四边形GHEF是平行四边形
∴∠GHE＝∠GFE
∵将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，
∴∠1＝∠GEF
∵AF∥BE，GH∥EF
∴∠1＝∠GFE，∠HGE＝∠GEF
∴∠GEF＝∠HGE
∴∠GHE＝∠HGE
∴HE＝GE
②GH平分∠AGE
理由如下：
∵AF∥BE
∴∠AGH＝∠GHE，且∠GHE＝∠HGE
∴∠AGH＝∠HGE
∴GH平分∠AGE
（2）①EG＝GH
理由如下，
如图，

∵将△ABC沿EF折叠
∴∠CEF＝∠C'EF，∠C＝∠C'
∵GH∥EF
∴∠GEF＝∠HGE，∠FEC'＝∠GHE
∴∠GHE＝∠HGE
∴EG＝EH
②∠AGH＝∠HGE+∠C
理由如下：
∵∠AGH＝∠GHE+∠C'
∴∠AGH＝∠HGE+∠C