2021年九年级中考数学复习：几何专题之四边形（二）

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2021年中考数学：几何专题复习之四边形（二）

1．如图，▱ABCD中，AB＝5a，BC＝4a，∠A＝60°，平行四边形内放着两个菱形，菱形DEFG和菱形BHIL，它们的重叠部分是平行四边形IJFK．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形IJFK的面积为（　　）

A．a2 B．2a2 C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝14，BC＝7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ＝NG＝5，则当MP+GQ＝13时，满足条件的点P有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图所示，长方形ABCD被分割成五个长方形，且MH＝PF，则下列等式：①MN•BF＝NP•AE；②EN•PQ＝PF•NP中可以判断甲、乙两个矩形面积相等的是（　　）

A．①②都不可以 B．仅①可以 C．仅②可以 D．①②都可以
4．如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长为36，则AB的长为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．4
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为AD上任一点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝（　　）

A． B．2 C． D．4
7．矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE：ED＝1：3．AE＝，则BD＝（　　）

A．2 B．4 C．4 D．2
8．如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝58°，则∠1＝（　　）

A．60° B．64° C．42° D．52°
9．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在边AD上，EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG的值是（　　）

A．4 B．4.8 C．4.5 D．6
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ平行于AB的次数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，已知E为矩形纸片ABCD的边DC上一点，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点C恰好落在边AD上的点F处，若AB＝6，AD＝10，则DE的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
12．在平面直角坐标系xOy中，如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点P是边CD的中点，如果菱形的周长为16，那么点P的坐标是（　　）

A．（4，4） B．（2，2） C．（2，1） D．（，1）
13．有一张长方形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，点E在边BC上，沿AE折叠，点B落在点B'处；
第二步：如图②，沿EB'折叠，使点A落在BC延长线上的点A'处，折痕为EF．
下列结论中错误的是（　　）

A．△AEF是等边三角形 B．EF垂直平分AA'
C．CA'＝FD D．EA'＝AF
14．九个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这九个正方形分成面积相等的两部分，则∠α的正切值为（　　）

A． B． C． D．
15．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，在BC边上取一点E，连接AE、DE，使得DE＝AD，H为AE中点，连接DH，在DE上取一点F，连接AF，将△AEF沿着AF翻折得到△AGF，且GF⊥AD于M，连接GD，若AE＝4，则点F到直线DG的距离为（　　）

A．2 B． C． D．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在BC上，DF平分∠ADE，DE⊥EF，则BF长为（　　）

A． B．1 C． D．
17．如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　）

A．4 B．5 C．3 D．4
18．如图，矩形ABCD，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连接CE，若OC＝cm，CD＝4cm，则DE的长为（　　）

A．cm B．5cm C．3cm D．2cm
19．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点E，F，G分别在AD，CD，AB上，DE＝DF，FG∥BC，当△EFG为直角三角形时，DE的长为（　　）

A．3或4 B．3 C．2或3 D．2或4
20．如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC；④AE+BM＝EM．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

参考答案
1．解：由题意▱ABCD的周长为2（AB+BC）＝18a，
又∵三个阴影平行四边形的周长相等，
∴由平移的性质可得：▱EALJ的周长＝▱IJFK的周长＝▱GKHC的周长＝×18a＝6a，
∴IJ+JF＝EJ+JL＝GK+KH＝3a，
∴IJ+JL+JF+EJ＝6a，IJ+KH+GK+JF＝6a，
又∵AB＝5a，BC＝4a，且四边形DEFG和四边形BHIL是菱形，
∴EF＝IL＝3a，AE＝JF＝a，IJ＝2a，∠IJF＝∠DEF＝∠A＝60°，
过点I作IP⊥EF，

∴在Rt△IJP中，
JP＝IJ＝a，IP＝＝a，
∴平行四边形IJFK的面积为JF•IP＝a2，
故选：D．
2．解：如图，当P、Q在N的两侧时，设QN＝x，则PN＝5﹣x，

∵四边形ABCD是矩形，M、N分别为AB、CD的中点，
∴四边形ADNM、四边形MNCB都是矩形，
∵PQ＝NG＝5，BC＝7，AB＝14，
∴MN＝BC＝7，
由勾股定理得：
PM2＝49+（5﹣x）2，QG2＝25+x2，
∴PM2﹣QG2＝（PM+QG）（PM﹣QG）＝49﹣10x，
∵MP+GQ＝13，
∴PM﹣QG＝，
∴2PM＝13+，
∴PM＝，QG＝，
∴（）2＝25+x2，
整理得：144x2﹣600x+625＝0，
解得：x1＝x2＝；
当P、Q在N的右侧时，设QN＝x，

同理可得：PM＝，QG＝，
∴（）2＝25+x2，
整理得：144x2﹣600x+625＝0，
解得：x1＝x2＝﹣（不合题意，舍去）；
综上，满足条件的点P只有1个．
故选：D．
3．解：∵长方形ABCD被分割成五个长方形，
∴由①可知：＝，
∵MH＝PF，
∴＝，
∴MN•EN+MN•PN＝MN•PN+PN•PF，
∴MN•EN＝PN•PF，
∵MN＝PQ，
∴PQ•EN＝PN•PF，
∴＝，
∴①可以推出②．
∵S甲＝EN•HN
＝EN（MN+PF）
＝EN•MN+EN•PF，
S乙＝PF•（EN+PN）
＝EN•PF+PF•PN，
由①可知：MN•EN＝PN•PF，
∴S甲＝S乙．
∴①②均可以判断甲、乙两个矩形面积相等．
故选：D．
4．解∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABD和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴OA＝OD，
∵∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴∠BAO＝∠CDO＝45°，
∴∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，
∴AB＝BO＝OC＝CD，
设AB＝CD＝x，则BC＝AD＝2x，
由题意x+x+2x+2x＝36，
∴x＝6，
∴AB＝6．
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠BAD＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠EAB：∠EAD＝1：3，
∴∠EAB＝22.5°，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝67.5°，
∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，
∴∠AOB＝45°，
即∠EOA的度数为45°，
故选：D．
6．解：如图，连接OP，

在直角△ABD中，AB＝6，AD＝8，
∴BD＝＝10，
∴AO＝OD＝5，
∵△AOD的面积＝×矩形ABCD的面积＝×8×6＝12，
即△ODP的面积+△AOP的面积＝12，
∴AO•PE+OD•PF＝12，
∴×5（PE+PF）＝12，
解得：PE+PF＝．
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OD，
∵OE：ED＝1：3，
∴OE：OD＝1：2，
∴OE＝OB，
∵AE⊥BD，
∴AE垂直平分OB，
∴AB＝OA，
∴△ABO是等边三角形，
∵AE＝，
∴OE＝AE＝1，
∴OB＝2OE＝2，
∴BD＝2OB＝4；
故选：C．
8．解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，且∠ABC＝58°，
∴∠BAD＝122°，
∵将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，
∴∠BAD＝∠BAD'＝122°，
∴∠1＝122°+122°﹣180°＝64°，
故选：B．
9．解：设AC、BD交于点O，连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10，OA＝OD＝5，△AOD的面积＝矩形ABCD的面积＝×6×8＝12，
又∵△AOE的面积+△DOE的面积＝△AOD的面积，
∴OA×EF+OD×EG＝12，
即×5×（EF+EG）＝12，
解得：EF+EG＝4.8，
故选：B．

10．解：当AP＝BQ时，AP∥BQ．
∵AP∥BQ，AP＝BQ，
∴四边形ABQP为平行四边形，
∴QP∥AB．
∵点P运动的时间＝12÷1＝12秒，
∴点Q运动的路程＝4×12＝48cm．
∴点Q可在BC间往返4次．
∴在这段时间内PQ与AB有4次平行．
故选：C．
11．解：设DE＝x，则CE＝6﹣x，
由翻折的性质得，
∵BC＝BF＝10,AB＝6,
∴AF＝8,
∴DF＝AD﹣DF＝10﹣8＝2,
在Rt△DEF中，
∵EF＝CE＝6﹣x，
∴DE2+DF2＝EF2,
∴x2+22＝（6﹣x）2，
解得：x＝．
即DE＝．
故选：B．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为16，
∴AD＝AB＝DC＝BC＝4，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB＝4，
∵点P是边CD的中点，D（0，2），C（2，0）
∴点P的坐标为（，1），
故选：D．

13．解：∵∠BEA＝∠AEF＝∠A′EF，∠BEA+∠AEF+∠A′EF＝180°，
∴∠BEA＝∠AEF＝∠A′EF＝60°，
∵BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAF＝60°，
∴∠BEA＝∠EAF＝∠EFA＝60°，
∴△AEF是等边三角形，故A正确，
∴△EFA′是等边三角形，
∴AE＝EA′＝A′F＝AF，故D正确，
∴四边形AEA′F是菱形，
∴EF垂直平分AA′，故B正确，
由于AB、BC的长度不确定，所以AC不一定等于DF，故C错误．
故选：C．
14．解：如图，直线l与小正方形的边交于点A，

∵经过原点的一条直线l将这九个正方形分成面积相等的两部分，
∴直线l与y轴之间的面积为．
∴．
∵正方形的边长为1，
∴OB＝2．
∵三角形ABO面积是，
∴OB•AB＝．
∴AB＝．
∴∠α的正切值＝＝．
故选：B．
15．解：AD＝DE，H是AE的中点，
∴DH⊥AE，
四边形ABCD为矩形，
∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADH＝90°，
△ABE∽△DHA，
，
∵AD＝10，AH＝AE＝，AE＝4，
∴BE＝4，
∴AB＝，EC＝BC﹣BE＝10﹣4＝6
过点E作EP⊥AD于点P，则四边形ABEP为矩形

∴PE＝AB＝8，PD＝EC＝6
∵GF⊥AD
∴∠DMF∽∠DPE＝90°，
∴∠MDF＝∠DPE＝90°
∵∠MDF＝∠PDE
∴△DMF∽△DPE，
∴
设MF＝4x，DM＝3x，DF＝5x
∵△AEF沿看AF折得到△AGF，
GF＝EF＝10﹣5x，AG＝AE＝4，AM＝AD﹣DM＝10﹣3x，
GM＝GF﹣MF＝EF﹣MF＝10﹣9x，
在Rt△AMG中，AM2+MG2＝AG2，
即，
解得：x＝2（舍去）或x＝，，
MD＝3x＝2，GF＝10﹣5x＝，MG＝10﹣9x＝4
∴GD＝，
设F到GD的距离是h，根据面积公式得S，
∴
∴
故选：B．
16．解：∵矩形ABCD中，DF平分∠ADE，DE⊥EF，
∴∠ADF＝∠EDF，∠A＝∠DEF＝90°，
又∵DF＝DF，
∴△ADF≌△EDF（AAS），
∴DE＝DA＝5，AF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠B＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，
∴Rt△CDE中，CE＝＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝5﹣4＝1，
设BF＝x，则AF＝EF＝3﹣x，
∵Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴12+x2＝（3﹣x）2，
解得x＝，
∴BF＝，
故选：D．

17．解：连接AO，

∵四边形CDGH是矩形，
∴CG＝DH，OC＝CG，OD＝DH，
∴OC＝OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
在△ACO和△ADO中，
，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠OAB＝∠CAO＝30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，
∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝×10＝5，
即OB的最小值为5．
故选：B．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OA＝OC，AC＝2OC＝4，
∴AD＝＝＝8，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE＝8﹣5＝3（cm）；
故选：C．
19．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝6，AD∥BC，AB∥CD，
∵FG∥BC，
∴四边形ADFG是平行四边形，
∴AG＝DF，GF＝AD＝6，GF∥AD，
分两种情况：
①当∠GEF＝90°时，如图1所示：
∵∠A＝60°，四边形ADFG是平行四边形，
∴∠AGF＝∠D＝120°，∠DFG＝∠A＝60°，
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE＝30°，
∴∠AEG＝180°﹣90°﹣30°＝60°＝∠A，
∴△AEG是等边三角形，
∴AE＝GE，
∵∠EFG＝∠DFG﹣∠DFE＝30°，
∴EG＝GF＝3，
∴AE＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝3；
②当∠EGF＝90°时，如图2所示：
∵GF∥AD，
∴∠AEG＝∠EGF＝90°，
∴∠AGE＝30°，
∴AG＝2AE，
∵AG＝DF＝DE，
∴DE＝2AE，
∵AE+DE＝AD＝6，
∴AE＝2，DE＝4；
故选：A．


20．解：∵四边形ABD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝∠BCD＝30°，
∵∠BFE＝∠BCE+∠CBF＝30°+50°＝80°，
∴∠EBF＝180°﹣∠BEC﹣∠BFE＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
在△CDE和△CBE中，
，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴∠DEC＝∠BEC＝50°，
∴∠BEM＝∠DEC+∠BEC＝100°，
∴∠BME＝180°﹣∠BEM﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣50°＝30°，故①正确；
在△ADE和△ABE中，
，
∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正确；
∵∠EBC＝∠EBF+∠CBF＝100°，
∴∠BEM＝∠EBC，
在△BEM和△EBC中，
，
∴△BEM≌△EBC（AAS），
∴BM＝EC，EM＝BC，故③正确；
连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，
∵∠DCO＝30°，
∴OD＝CD＝BC，OC＝OD，
∴OC＝BC，
∴AC＝2OC＝BC，
∵BM＝EC，EM＝BC，
∴AE+BM＝AE+EC＝AC＝BC＝EM，故④正确，
正确结论的个数是4个，
故选：D．