北师大版九年级上册6 应用一元二次方程习题

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初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）
专题2.8应用一元二次方程（3）销售及其他问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019•佳木斯模拟）西菜市场某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，期间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在每件盈利不少于25元的前提下，要取得每天利润为1200元，每件商品降价（　　）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．15元
【分析】设每件商品降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，根据每日的总利润＝每件商品的利润×每日的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合40﹣x≥25即可确定x的值．
【解析】设每件商品降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵40﹣x≥25，
∴x≤15，
∴x＝10．
故选：A．
2．（2019•石家庄模拟）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，即在确保盈利的前提下，尽量增加销售量，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（　　）元．
A．3 B．2.5 C．2 D．5
【分析】设售价为x元时，每星期盈利为6120元，那么每件利润为（x﹣40），原来售价为每件60元时，每星期可卖出300件，所以现在可以卖出[300+20（60﹣x）]件，然后根据盈利为6120元即可列出方程解决问题．
【解析】设售价为x元时，每星期盈利为6120元，
由题意得（x﹣40）[300+20（60﹣x）]＝6120，
解得：x1＝57，x2＝58，
由已知，要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去x2＝58．
∴每件商品应降价60﹣57＝3元．
故选：A．
3．（2019秋•自贡期末）某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（　　）
A．56元 B．57元 C．59元 D．57元或59元
【分析】将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出[20（60﹣x）+300]件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出[20（60﹣x）+300]件，
根据题意得：（x﹣40）[20（60﹣x）+300]＝6080，
整理得：x2﹣115x+3304＝0，
解得：x1＝56，x2＝59．
∵要使顾客获得实惠，
∴x＝56．
故选：A．
4．（2019•滨海新区期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价（　　）
A．5元 B．10元 C．20元 D．10元或20元
【分析】设每件衬衫应降价x元，则每天可销售（20+2x）件，根据每件的利润×销售数量＝总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解析】设每件衬衫应降价x元，则每天可销售（20+2x）件，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵扩大销售，减少库存，
∴x＝20．
故选：C．
5．（2019秋•越秀区校级月考）如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（　　）秒后，△PBQ面积为5cm2．

A．0.5 B．1 C．5 D．1或5
【分析】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6﹣x，BQ＝2x，根据三角形的面积公式得出方程12×（6﹣x）×2x＝5，求出即可．
【解析】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为5cm2，
BP＝6﹣x，BQ＝2x，
∵∠B＝90°，
∴12BP×BQ＝5，
∴12×（6﹣x）×2x＝5，
∴x1＝1，x2＝5（舍去），
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过1秒钟，使△PBQ的面积为5cm2．
故选：B．
6．（2019秋•江岸区校级月考）一个两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（　　）
A．27 B．72 C．27或16 D．﹣27或﹣16
【分析】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+5），根据该两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三分之一，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其整数值即可得出结论．
【解析】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+5），
依题意，得：10x+x+5=13（x+x+5）2，
整理，得：4x2﹣13x+10＝0，
解得：x1＝2，x2=54（不合题意，舍去），
∴x+5＝7，
∴这个两位数是27．
故选：A．
7．（2019秋•旌阳区校级月考）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　）
A．36 B．63 C．36或63 D．﹣36或﹣63
【分析】设十位数字为x，个位数字为（9﹣x），根据这两个数字之积等于它们数字和的2倍列方程求出其解即可．
【解析】设十位数字为x，个位数字为（9﹣x），由题意得
x（9﹣x）＝9×2，
解得x1＝3，x2＝6，
则9﹣x＝6或3，
答：这个两位数是36或63．
故选：C．
8．（2018秋•呼和浩特期中）超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价（　　）
A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元 D．5元或10元
【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额＝每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
【解析】设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10．
答：每千克水果应涨价5元或10元．
故选：D．
9．（2019•郑州二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为12cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为154cm2，则点P运动的时间是（　　）

A．2s B．3s C．4s D．5s
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为154cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解析】设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为154cm2，
则BP为（4-12t）cm，BQ为tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
12（4-12t）×t=154，
解得t1＝3，t2＝5（舍去，不合题意）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为154cm2．
故选：B．
10．（2019秋•伊川县校级月考）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝11cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，C两点同时出发，当它们相距10cm时所需的时间为（　　）

A．3s B．4s C．5s D．3s或1.4s
【分析】设运动时间为ts时PQ＝10cm，则CP＝（11﹣x）cm，CQ＝2xcm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】设运动时间为ts时PQ＝10cm，则CP＝（11﹣x）cm，CQ＝2xcm，
根据题意得：4x2+（11﹣x）2＝100，
解得：x1＝1.4，x2＝3．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•武汉模拟）已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为　24　．

【分析】根据前a行的点数之和为300，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】依题意，得：1+2+3+…+a＝300，
整理，得：a2+a﹣600＝0，
解得：a1＝24，a2＝﹣25（不合题意，舍去）．
故答案为：24．
12．（2020•台安县二模）某种商品，平均每天可销售40件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要赢利2400元，则每件应降价　4　元．
【分析】关系式为：每件商品的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝2400，计算得到降价多的数量即可．
【解析】设每件服装应降价x元，根据题意，得：
（44﹣x）（40+5x）＝2400
解方程得 x＝4或x＝32，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝32不合题意舍去，
答：每件服装应降价4元．
故答案是：4．
13．（2019秋•兴安盟期末）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9，现将实数（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，则m＝　7或﹣1　．
【分析】根据公式a2+2b﹣3，可将（m，﹣3m）代入得出m2+2×（﹣3m）﹣3＝4，解方程即可．
【解析】根据题意得，m2+2×（﹣3m）﹣3＝4，
解得m1＝7，m2＝﹣1，
故答案为：7或﹣1．
14．（2019春•任城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D．E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．则当t＝　52　时，四边形AEFD的面积是△ABC面积的一半．

【分析】易证四边形AEFD为平行四边形，当点D．E运动的时间是t秒时，CD＝2t，AE＝t，CF=3t，BF＝BC﹣CF＝53-3t，根据四边形AEFD的面积是△ABC面积的一半，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】∵∠C＝30°，AB＝5，
∴DF=12CD，CF=32CD，BC=3AB＝53．
∵点E的速度为点D速度的一半，
∴AE=12CD＝DF．
又∵∠B＝90°，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
当点D．E运动的时间是t秒时，CD＝2t，AE＝t，CF=3t，BF＝BC﹣CF＝53-3t，
依题意，得：AE•BF=12×12AB•BC，
即t•（53-3t）=12×12×5×53，
整理，得：4t2﹣20t+25＝0，
解得：t1＝t2=52．
故答案为：52．
15．（2019秋•雁塔区校级期中）某种衬衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件每降价1元，则每天可多销售10件，如果每天盈利为1400元，那么每件应降价　6或10　元．
【分析】设每件降价x元，则平均每天可售出（40+10x）件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】设每件降价x元，则平均每天可售出（40+10x）件，
依题意，得：（20﹣x）（40+10x）＝1400，
整理，得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
故答案为：6或10．
16．（2019秋•黄浦区校级期中）如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为　11或﹣8　．
【分析】设较小的数为x，表示出较大的数，列出方程求出解即可．
【解析】设较小的数为x，则较大的数为x+3，
根据题意得：x（x+3）＝88，即x2+3x﹣88＝0，
分解因式得：（x﹣8）（x+11）＝0，
解得：x＝8或x＝﹣11，
∴x+3＝11或﹣8，
则较大的数为11或﹣8，
故答案为：11或﹣8
17．（2019秋•雁塔区校级月考）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，经过　2或4　秒，四边形APQC的面积等于16cm2．

【分析】设运动时间为t秒时，四边形APQC的面积等于16cm2，利用分割图形求面积法结合四边形APQC的面积等于16cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】设运动时间为t秒时，四边形APQC的面积等于16cm2，
依题意，得：12×6×8-12（6﹣t）×2t＝16，
整理，得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4．
故答案为：2或4．
18．（2019秋•江夏区校级月考）某商品现在出售一件可获利10元，每天可销售20件，若每降价1元可多卖2件，则降价　2　元时每天可获利192元．
【分析】设降价x元，则每天可售出（2x+20）件，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设降价x元，则每天可售出（2x+20）件，
依题意，得：（10﹣x）（2x+20）＝192，
解得：x1＝2，x2＝﹣2（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•江西一模）小明妈妈在春节期间以160元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以销售20件．为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经试销发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？为了满足降价要求，小明妈妈应打几折出售？
【分析】设每件商品降价x元，则平均每天可以销售（20+2x）件，根据平均每天的利润＝每件的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解析】设每件商品降价x元，则平均每天可以销售（20+2x）件，
依题意，得：（200﹣x﹣160）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵尽快减少库存，
∴x＝20，
∴200-x200×10＝9．
答：每件商品应降价20元，为了满足降价要求，小明妈妈应打9折出售．
20．（2019秋•洛川县期末）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
【分析】（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240．
∵商家需尽快将这批商品售出，
∴x＝60．
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．
21．（2020春•高邮市期末）为了满足市场上的口罩需求，某厂购进A、B两种口罩生产设备若干台，已知购买A种口罩生产设备共花费360万元，购买B种口罩生产设备共花费480万元．购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设备的单价和为140万元．
（1）求A、B两种口罩生产设备的单价；
（2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每天可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每天减少20盒，要保证每天销售口罩盈利6000元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元？
【分析】（1）设A种口罩生产设备的单价为x万元，则B种口罩生产设备的单价为（140﹣x）万元，根据购买的两种设备数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每盒口罩可涨价m元购进A口罩m个，根据每天销售口罩盈利6000元，即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可求解．
【解析】（1）设A种口罩生产设备的单价为x万元，则B种口罩生产设备的单价为（140﹣x）万元，依题意有
360x=480140-x，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
则140﹣x＝140﹣60＝80．
答：A种口罩生产设备的单价为60万元，则B种口罩生产设备的单价为80万元；
（2）设每盒口罩可涨价m元，依题意有
（50﹣40+m）（500﹣20m）＝6000，
解得m1＝5，m2＝10（舍去）．
故每盒口罩可涨价5元．
22．（2020•兴化市模拟）在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价x（元/千克）满足的关系为一次函数y＝﹣2x+80．
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
【分析】（1）把x＝23.5代入函数式即可求出结论；
（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】（1）∵y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．
∴当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．
答：当天该水果的销售量为33千克．

（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
解得：x1＝35，x2＝25．
∵20≤x≤32，
∴x＝25．
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．
23．（2020春•芝罘区期中）为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．
（1）若每个粽子售价4.5元，则每天的销量是　450　个；
（2）为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
【分析】（1）根据“并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个”解答．
（2）设每个粽子的定价为x元，由于每天的利润为800元，根据利润＝（定价﹣进价）×销售量，列出方程求解即可．
【解析】（1）由题意，得500﹣10×0.50.1=450（个）．
故答案是：450；

（2）设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．
根据题意，得（x﹣3）（500﹣10×x-40.1）＝800，
解得x1＝7，x2＝5．
∵售价不能超过进价的200%，
∴x≤3×200%．即x≤6．
∴x＝5．
答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．
24．（2019秋•江夏区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从B点出发以每秒1cm的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为t（s）
（1）用含t的代数式表示CP、CQ的长，并直接写出t的取值范围；
（2）多长时间后△CPQ的面积为6cm2？
（3）多长时间后P点、Q点的距离为52？

【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据勾股定理解方程即可得到结论．
【解析】（1）CP＝BC﹣BP＝8﹣t；CQ＝t；t的取值范围为：0＜t≤6；
（2）设t秒后△CPQ的面积为6cm2，
根据题意得，12（8﹣t）t＝6，
解得：t＝2，t＝6，
答：经过2s或6s时△CPQ的面积为6cm2；
（3）设t秒后P点、Q点的距离为52，
根据题意得，（8﹣t）2+t2＝（52）2，
解得：t＝1或t＝7（不合题意舍去），
答：设1秒后P点、Q点的距离为52．