初中数学第三章 概率的进一步认识综合与测试单元测试当堂检测题

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初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）
专题3.4第3章 概率的进一步认识单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019春•招远市期中）下列说法中，正确的是（　　）
A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是13
B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为13
C．小明参加篮球投篮游戏，因为投篮一次，只有两种可能的结果，不是“投中”就是“未投中”，所以投中的概率为13
D．掷一枚只有六个面骰子，合数点朝上的概率是13
【分析】根据概率公式可对A、C、D进行判断；利用画树状图法求概率可对B进行判断．
【解析】A、摸到红球的概率=13+2+1=16，所以A选项错误；
B、画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中掷出两次都是反面的结果数为1，所以掷出两次都是反面的概率=14，故B选项错误；
C、小明参加篮球投篮游戏，因为投篮一次，只有两种可能的结果，不是“投中”就是“未投中”，但它们不是等可能的结果数，所以不能利用概率公式计算概率，所以C选项错误；
D、掷一枚只有六个面骰子，合数点朝上的结果数为4、6，所以合数点朝上的概率=26=13，故D选项正确．
故选：D．
2．（2020•郑州一模）2019年9月8日第十一届全国少数民族传统体育运动会在郑州奥体中心隆重开幕，某单位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（　　）
A．116 B．112 C．18 D．16
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和同时选中小李和小张的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】根据题意画图如下：

共有12种等可能的结果数，其中同时选中小李和小张的有2种，
则同时选中小李和小张的概率为212=16；
故选：D．
3．（2020•牡丹江）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（　　）
A．13 B．49 C．35 D．23
【分析】用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“两球颜色相同”的结果数，进而求出概率．
【解析】用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有9种可能出现的结果，其中“两球颜色相同”的有4种，
∴P（两球颜色相同）=49．
故选：B．
4．（2019秋•德州期末）书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（　　）
A．310 B．925 C．425 D．110
【分析】画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）
共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，
所以从中随机抽取2本都是小说的概率=620=310．
故选：A．

5．（2020•金牛区模拟）书架上放着三本古典名著和两本外国小说，小明从中随机抽取两本，两本都是古典名著的概率是（　　）
A．425 B．925 C．310 D．110
【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【解析】用列表法列出所有可能出现的情况如下：

共有20种等可能的情况，其中两本都是古典名著的有6种，
∴P（两本古典名著）=620=310，
故选：C．
6．（2020•郑州模拟）太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程．根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（　　）

A．16 B．18 C．112 D．116
【分析】回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解析】回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，
∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为112；
故选：C．

7．（2019秋•南充期末）如图，转盘的红色扇形圆心角为120°．让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率是（　　）

A．12 B．13 C．49 D．59
【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解析】由图得：红色扇形圆心角为120，白色扇形的圆心角为240°，
∴红色扇形的面积：白色扇形的面积=12，
画出树状图如图，共有9个等可能的结果，让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的结果有4个，
∴让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率为49；
故选：C．

8．（2019秋•揭西县期末）口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据白球的频率稳定在0.3附近得到白球的概率约为03，根据概率的意义即可求出答案．
【解析】设袋中白球有x个，根据题意得：xx+14=0.3，
解得：x＝6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
故选：B．
9．（2019•德州）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字14，12，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（　　）
A．23 B．59 C．49 D．13
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得乙获胜的概率
【解析】画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
∴乙获胜的概率为49，
故选：C．
10．（2020•浙江自主招生）小甬最初站在平面直角坐标系的原点O处，然后他抛掷一枚硬币3次，并根据硬币抛掷情况做相应移动．每次当硬币数字朝上时，他就向x轴正方向移动一个单位；当硬币另一面朝上时，他就往x轴负方向移动一个单位．则他能够经过（2，0）的概率是（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得他能够经过（2，0）的概率，本题得以解决．
【解析】所有的可能性，如下图所示：

由上可得，他能够经过（2，0）的可能性有两种，
故他能够经过（2，0）的概率为：28=14，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•思明区校级二模）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有　5　个．
【分析】设袋中白球有x个，根据题意用黄球数除以白球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出白球数．
【解析】设袋中白球有x个，根据题意，得
15x+15=0.75，
解得x＝5．
所以袋中白球有5个．
故答案为5．
12．（2020•长葛市一模）在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有　14　个．
【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.35，然后根据概率公式计算即可．
【解析】设袋子中黄球有x个，根据题意，得：
x40=0.35，
解得：x＝14，
即布袋中黄球可能有14个，
故答案为：14．
13．（2020春•沙坪坝区校级月考）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：
种子个数
200
300
500
700
800
900
1000
发芽种子个数
187
282
435
624
718
814
901
发芽种子频率
0.935
0.940
0.870
0.891
0.898
0.904
0.901
根据实验所得数据，估计“发芽种子”的概率是　0.9　．（结果保留小数点后一位）
【分析】大量重复试验下“发芽种子”的频率可以估计“发芽种子”的概率，据此求解．
【解析】观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.9附近，
故“发芽种子”的概率估计值为0.9．
故答案为：0.9．
14．（2020•平顶山模拟）现有四张卡片，正面分别写有汉字“我”“爱”“中”“国”，反面是完全相同的五角星图案．现将背面朝上充分洗匀后，从中任意抽取2张，其正面文字恰好组成“爱国”字样的概率为　16　．
【分析】分别记“我”“爱”“中”“国”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找到正面文字恰好组成“爱国”字样的结果数，利用概率公式计算可得．
【解析】分别记“我”“爱”“中”“国”为A，B，C，D，画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中正面文字恰好组成“爱国”字样的结果数有2种结果，
所以其正面文字恰好组成“爱国”字样的概率=212=16，
故答案为：16．
15．（2020•平房区二模）在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，它们除颜色外完全相同，现从中一次摸出两个球，摸到的恰好都为红球的概率为　310　．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸出的球恰好都为红球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】列表得：
第一次
第二次
红
红
红
白
白
红

红，红
红，红
红，白
红，白
红
红，红

红，红
红，白
红，白
红
红，红
红，红

红，白
红，白
白
白，红
白，红
白，红

白，白
白
白，红
白，红
白，红
白，白

∵共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的为6种，
∴所摸到的球恰好都为红球的概率=620=310，
故答案为：310．
16．（2020•成都模拟）在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有　17　个．
【分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【解析】通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，
∵假设有x个红球，
∴xx+3=0.85，
解得：x＝17，
经检验x＝17是分式方程的解，
∴口袋中有红球约有17个．
故答案为：17．
17．如图，从甲地到乙地有三条路线，从乙地到丙地有三条路线，某人任选一条从甲地到丙地的路线，它正好是最短的路线的概率是　19　．

【分析】首先根据题意画出树状图，据树状图求解，即可得到答案．
【解析】根据题意：设从甲到乙有A，B，C三条路，从乙到丙有E，F，G三条路线，而选择B与F最短，
画树状图得：

∴一共有9条路线可以选择，选到BF的只有一条，
∴正好是最短的路线的概率是：19．
故答案为：19．
18．（2019秋•渝中区校级期末）某班级准备举办“迎鼠年，闹新春”的民俗知识竞答活动，计划A、B两组对抗赛方式进行，实际报名后，A组有男生3人，女生2人，B组有男生1人，女生4人，若从两组中各随机抽取1人，则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是　1425　．
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，由概率公式即可得出答案．
【解析】画树状图如图：

由树状图知，共有25种等可能结果，其中抽取到的两人刚好是1男1女的有14种结果，
∴抽取到的两人刚好是1男1女的概率是1425；
故答案为：1425．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•邗江区一模）某校举行趣味运动会共有三个项目：A．“协力竞走”、B．“快乐接力”、C．“摸石过河”．小明和小刚参与了该运动会的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到A．“协力竞走”项目组的概率为　13　；
（2）列表或画树状图求小明和小刚被分配到同一项目组的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出小明和小刚被分配到同一项目组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】（1）∵共有三个项目，分别是：A．“协力竞走”、B．“快乐接力”、C．“摸石过河”，
∴小明被分配到A．“协力竞走”项目组的概率为13；
故答案为：13；

（2）根据题意画图如下：

共有9种等情况数，其中小明和小刚被分配到同一项目组的有3种，
则P（同一项目组）=39=13．
20．（2020•金昌）2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．
（1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？
（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．
【分析】（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”只有1种，因此可求出概率；
（2）列表法表示所有可能出现的结果，进而求出概率．
【解析】（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”的概率是15；
（2）从A，B，C，D四个景区中任选两个景区所有可能出现的结果如下：

共有12种可能出现的结果，其中选择A、D两个景区的有2种，
∴P（选择A、D）=212=16．
21．（2020•船营区校级一模）在这场疫情中，“新型冠状性病毒”拆散了许多家庭，也有不少人的生命戛然而止，令人心痛．小明为了纪念这场疫情，自己动手做了四张扑克牌，四张扑克牌的文字分别为“武”、“汉”、“加”、“油”．小明将4张扑克牌翻成反面，然后搅匀扑克牌，搅匀后从中随机抽取一张牌，记录字后然后放回去，接着抽取一张牌，记录第二张牌上的字．请用画树状图或列表的方法，求出摸到两次“武”字的概率．

【分析】将武汉加油分别记为1、2、3、4，先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【解析】将武汉加油分别记为1、2、3、4，
列表如下：

1
2
3
4
1
11
12
13
14
2
21
22
23
24
3
31
32
33
34
4
41
42
43
44
由表可知共有16种等可能结果，其中摸到两次“武”字的只有1种结果，
∴摸到两次“武”字的概率为116．
22．（2020•宿迁）将4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀．
（1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为　14　．
（2）先从盒子中任意取出1张卡片，记录后放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片，求取出的两张卡片中，至少有1张印有“兰”字的概率（请用画树状图或列表等方法求解）．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．
【解析】（1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为14，
故答案为：14；
（2）画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中至少有1张印有“兰”字的有7种结果，
∴至少有1张印有“兰”字的概率为716．
23．（2019秋•东台市期末）在一个不透明的袋子里有1个红球，1个黄球和n个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇均匀后，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到白球的频率稳定于0.5左右，求n的值；
（2）在（1）的条件下，先从这个袋中摸出一个球，记录其颜色，放回，摇均匀后，再从袋中摸出一个球，记录其颜色．请用画树状图或者列表的方法，求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率．
【分析】（1）由“摸到白球的频率稳定于0.5左右”利用概率公式列方程计算可得；
（2）画树状图展示所有可能的结果数，找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】（1）根据题意，得：n2+n=12，
解得n＝2；

（2）画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中先后两次摸出不同颜色的两个球的结果数为10，
∴先后两次摸出不同颜色的两个球的概率为1016=58．
24．（2020•盐城）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．
（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）
（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为　16　；
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为　3　．

【分析】（1）画出树状图，即可得出答案；
（2）画出树状图，即可得出答案；
（3）由题意得出规律，即可得出答案．
【解析】（1）画树状图如下：

共有4种等可能结果，
∴图③可表示不同信息的总个数为4；
（2）画树状图如下：

共有16种等可能结果，
故答案为：16；
（3）由图①得：当n＝1时，21＝2，
由图④得：当n＝2时，22×22＝16，
∴n＝3时，23×23×23＝512，
∵16＜492＜512，
∴n的最小值为3，
故答案为：3．
25．某中学八年级（8）班同学积极参加体育锻炼，该班班长在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表示他的测试成绩及相关数据：

第一回投球
第二回投球
第三回投球
第四回投球
第五回投球
第六回投球
每回的投球次数n
5
10
15
20
25
30
每回的进球次数m
3
7

14
17
18
每次投进频率mn
0.6
0.7
0.4

0.68
0.6
（1）请将表格补充完整；
（2）根据表格画出班长每回投球时进球频率的折线统计图；
（3）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试成绩的频率将稳定在他每回投球时进球的概率附近摆动，请你估计这个概率，并说明理由．（结果用分数表示）
【分析】（1）本题中的频率计算方法：频率＝每回进球次数÷每回的投球次数，故可计算空中是6；
（2）利用描点法画图即可；
（3）利用样本估计总体可知概率为3+7+6+14+17+185+10+15+20+25+30=1321．
【解析】（1）15×0.4＝6，
14÷20＝0.7，
如下表：

第一回投球
第二回投球
第三回投球
第四回投球
第五回投球
第六回投球
每回的投球次数n
5
10
15
20
25
30
每回的进球次数m
3
7
6
14
17
18
每次投进频率mn
0.6
0.7
0.4
0.7
0.68
0.6
，（2）如图：

（3）这个概率为3+7+6+14+17+185+10+15+20+25+30=1321，
大量反复试验下频率稳定值即概率．
26．（2020•佛山模拟）某校为了解九年级全体学生物理实验操作的情况，随机抽取了30名学生的物理实验操作考核成绩，并将数据进行整理，分析如下：（说明：考核成绩均取整数，A级：10分，B级：9分，C级：8分，D级：7分及以下）
收集数据
10，8，10，9，5，10，9，9，10，8，9，10，9，9，8，9，8，10，7，9，8，10，9，6，9，10，9，10，8，10
整理数据
整理、描述样本数据，绘制统计表如下：
抽取的30名学生物理实验操作考核成绩频数统计表
成绩等级
A
B
C
D
人数（名）
10
m
n
3
根据表中的信息，解答下列问题：
（1）m＝　11　，n＝　6　；
（2）若该校九年级共有800名学生参加物理实验操作考核，成绩不低于9分为优秀，试估计该校九年级参加物理实验操作考核成绩达到优秀的学生有多少名？
（3）甲、乙、丙、丁是九年级1班物理实验考核成绩为10分的四名学生，学校计划从这四名学生中随机选出两名学生代表学校去参加全市中学生“物理实验操作”竞赛，用列表法或画树状图法，求甲、乙两名学生中至少有一名被选中的概率．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以数出m、n的值；
（2）根据题意和表格中的数据，可以计算出该校九年级参加物理实验操作考核成绩达到优秀的学生有多少名；
（3）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两名学生中至少有一名被选中的概率．
【解析】（1）由题意可得，
m＝11，n＝6，
故答案为：11，6；
（2）800×10+1130=560（名）
答：该校九年级参加物理实验操作考核成绩达到优秀的学生有560名；
（3）所有的可能性如下图所示，

则甲、乙两名学生中至少有一名被选中的概率是：3+3+2+23×4=1012=56，
即甲、乙两名学生中至少有一名被选中的概率是56．