北师大版九年级上册1 反比例函数达标测试

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初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）
专题6.3 反比例函数的k的几何意义
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•沈河区二模）反比例函数y=kx图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．k＞0
B．y随x的增大而减小
C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2
D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜1
【分析】根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断．
【解析】A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；
B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；
D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误．
故选：C．
2．（2020•成都模拟）如图，A、B是反比例函数y=2x的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据反比例函数的性质可知△AOC的面积为1，由于对称性可知：△AOC与△BOC的面积相等，从而可求出答案．
【解析】由题意可知：△AOC的面积为1，
∵A、B关于原点O对称，
∴△AOC与△BOC的面积相等，
∴S△ABC＝2S△AOC＝2，
故选：B．
3．（2020•武汉模拟）平面直角坐标系中，矩形OABC如图放置，y=kx（k＞0，x＞0）的图象与矩形的边AB、BC分别交于E、F两点，下列命题：①若E、F重合，则S矩形OABC＝k；②若E、F不重合，则线段EF与矩形对角线AC平行；③若E为AB的中点，则S矩形OABC＝2k，其中真命题的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①设B（a，b），若E、F重合，则y=kx（k＞0，x＞0）的图象过点B，根据反比例函数的比例系数的几何意义便可判断；
②若E、F不重合，用a、b、k表示表示E、F的坐标，进而得AB、BC、BE、BF，再证明△BEF∽△BAC，进而判断结论；
③若E为AB的中点，则E（12a，b），进而求得ab的值，便可判断结论．
【解析】设B（a，b），
①若E、F重合，则y=kx（k＞0，x＞0）的图象过点B，根据反比例函数的比例系数的几何意义知，S矩形OABC＝k，
故①是真命题；

②若E、F不重合，
∵B（a，b），
∴E（kb，b），F（a，ka），
∴BE＝a-kb=ab-kb，BF＝b-ka=ab-ka，AB＝a，BC＝b，
∴BEBF=ab-kbab-ka=ab=BABC，
∵∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BAC，
∴∠BFE＝∠BCA，
∴EF∥AC，
故②是真命题；

③若E为AB的中点，则E（12a，b），

∴k=12ab，
∴ab＝2k，
∴S矩形OABC＝AB•BC＝ab＝2k，
故③是真命题．
故选：D．
4．（2020•公主岭市一模）如图，函数y=2x（x＞0）和y=6x（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是 ②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（　　）

A．0.5 B．1 C．2 D．3.5
【分析】根据点M是 ②区域内一点，MN⊥x轴于点N，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到1＜S△MON＜3，即可得到正确选项．
【解析】∵点M是 ②区域内一点，MN⊥x轴于点N，
∴12×2＜S△MON＜12×6，
∴1＜S△MON＜3，
故选：C．
5．（2020•武汉模拟）对于反比例函数y=k2+1x，下列说法正确的个数是（　　）
①函数图象位于第一、三象限；
②函数值y随x的增大而减小
③若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2；
④P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积是定值．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用反比例函数的性质用排除法解答．
【解析】反比例函数y=k2+1x，因为k2+1＞0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故①说法正确，②错误，
若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜0＜y2＜y3；故说法③错误；
P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积为12（k2+1），故④说法正确；
故选：B．
6．（2020春•新沂市期末）如图，两个反比例函数y=4x和y=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【分析】根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA=12×4＝2，S△BOA=12×2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．
【解析】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴S△POA=12×4＝2，S△BOA=12×2＝1，
∴S△POB＝2﹣1＝1．
故选：A．
7．（2020•丹江口市模拟）如图，矩形ABCD的顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，顶点B、C在x轴上，对角线DB的延长线交y轴于点E，连接CE，若△BCE的面积是6，则k的值为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．12
【分析】先设A（a，b），得出BO＝a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE＝12，最后根据AB∥OE，得出BCOB=ABEO，即BC•EO＝AB•OB，求得ab的值即可．
【解析】设A（a，b），则BO＝a，CD＝AB＝b，
∵矩形ABCD的顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝ab，
∵△BCE的面积是6，∴12×BC×OE＝6，即BC×OE＝12，
∵AB∥OE，
∴BCOB=ABEO，即BC•EO＝AB•OB，
∴12＝b×a，即ab＝12，
∴k＝12，
故选：D．
8．（2020•安阳模拟）如图，点A是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（　　）

A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解析】连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝4，
而S△OAB=12|k|，
∴12|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故选：D．

9．（2020春•襄汾县期末）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=k1x（x＞0）及y2=k2x（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值等于（　　）

A．1 B．3 C．6 D．8
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为k12，△BOP的面积为k22，由题意可知△AOB的面积为k12-k22=3，依此可求k1﹣k2的值．
【解析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为k12，△BOP的面积为k22，
∴△AOB的面积为k12-k22，
∴k12-k22=3，
∴k1﹣k2＝6．
故选：C．
10．（2020•福州模拟）已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线y=kx与边BC交于点D、与对角线OB交于中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（　　）

A．10 B．5 C．103 D．203
【分析】设E点的坐标是（x，y），根据E是OB的中点，得到B点的坐标，求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出k．
【解析】设E点的坐标是（x，y），
∵E是OB的中点，
∴B点的坐标是（2x，2y），
则D点的坐标是（k2y，2y），
∵△OBD的面积为10，
∴12×（2x-k2y）×2y＝10，
解得，k=203，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•盱眙县校级模拟）如图，⊙O的半径为3，双曲线的关系式分别为y=1x和y=-1x，则阴影部分的面积为　92π　．

【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．
【解析】双曲线y=1x与y=-1x的图象关于x轴对称，
根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，
并且扇形的圆心角为180°，半径为3，
所以：S阴影=180π×32360=92π．
故答案为92π．
12．（2020•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，2），点C是反比例函数y=kx（x＞0）图象上一点，∠ABC＝135°，AC交y轴于点D，ADDC=23，则k的值为　154　．

【分析】过A作AH⊥BC于H，得到AH＝BH=102，根据已知条件得到B，H，A，O四点共圆，连接OH，推出H在第二象限角平分线上，作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，根据全等三角形的性质得到AM＝BN=12，求得直线HB的解析式，根据平行线分线段成比例定理求得OI，于是得到C的坐标，代入y=kx（x＞0）即可求得k的值．
【解析】∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∴AB=OA2+OB2=5，
过A作AH⊥BC于H，
∵∠ABC＝135°，
∴∠HBA＝∠HAB＝45°，
∴AH＝BH=22×5=102，
∵BH⊥AH，BO⊥AO，
∴B，H，A，O四点共圆，
连接OH，
∴∠BOH＝∠BAH＝45°，
∴H在第二象限角平分线上，
作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，
则四边形HMON是正方形，
∴HM＝HN，
在Rt△AHM与Rt△BHN中，
HM=HNAH=BH，
∴Rt△HAM≌Rt△HBN（HL），
∴AM＝BN，
∵OM＝ON，
∴AM＝BN=12，
∴H（-32，32），
∴直线BH的解析式为y=13x+2，
过C作CI⊥x轴于I，
∴OD∥CI，
∴OAOI=ADCD=23，
∴2OI＝3AO＝3，
∴OI=32，
把x=32代入y=13x+2得y=52，
∴C点坐标为（32，52），
∵点C是反比例函数y=kx（x＞0）图象上一点，
∴k=32×52=154，
故答案为154．

13．（2020•南平二模）在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，且点A与点B关于直线y＝x对称，C为AB的中点，若AB＝4，则线段OC的长为　23　．

【分析】设A（t，2t），利用关于直线y＝x对称的点的坐标特征得到B（2t，t），再根据两点间的距离公式得到（t-2t）2+（2t-t）2＝42，则t-2t=4（舍去）或t-2t=-4，解分式方程得到t的值，则A（6-2，6+2），B（6+2，6-2），接着利用线段中点坐标公式写出C点坐标，然后利用两点间的距离公式求出OC的长．
【解析】设A（t，2t），
∵点A与点B关于直线y＝x对称，
∴B（2t，t），
∵AB＝4，
∴（t-2t）2+（2t-t）2＝42，
即t-2t=4（舍去）或t-2t=-4，
解方程t-2t=4，经检验得到得t＝﹣2-6（舍去）或t＝﹣2+6，
∴A（6-2，6+2），B（6+2，6-2），
∵C为AB的中点，
∴C（6，6），
∴OC=(6)2+(6)2=23．
故答案为23．
14．（2020•三水区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A的坐标是（0，﹣2），点B的坐标是（﹣1，0），且ABBC=23，点C在第一象限且恰好在反比例函数y=kx上，则k的值为　3　．

【分析】过点C作CH⊥x轴于H，由勾股定理可求AB的长，可得BC的长，由锐角三角函数可得BH＝2CH，由勾股定理可求CH的长，即可求解．
【解析】∵点A的坐标是（0，﹣2），点B的坐标是（﹣1，0），
∴AO＝2，BO＝1，
∴AB=1+4=5，
∵ABBC=23，
∴BC=325，
如图，过点C作CH⊥x轴于H，

设点C（a，ka），
∴OH＝a，CH=ka，
∴BH＝1+a，
∵∠BAO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBH＝90°，
∴∠BAO＝∠CBH，
∴tan∠BAO＝tan∠CBH=OBOA=CHBH，
∴12=CHBH，
∴BH＝2CH，
∵BC2＝CH2+BH2，
∴9×54=5CH2，
∴CH=32，BH＝3，
∴a+1＝3，
∴a＝2，
又∵CH=32=ka，
∴k＝3，
故答案为：3．
15．（2020•宁波模拟）如图，双曲线y=kx与△OAB交于点A，C，已知A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，且S△OAB＝21，则k＝　8　．

【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，设A、B的横坐标为5a，则C点的横坐标为2a，根据反比例函数性质和已知三角形的面积，用a、k表示出CD、BE、OD、OE，证明△OCD∽△OBE，由比例线段列出方程进行解答．
【解析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，
∴设A、B的横坐标为5a，则C点的横坐标为2a，
∵S△OAB＝21，
∴12AB⋅5a=21，
∴AB=425a，
∵双曲线y=kx与△OAB交于点A，C，
∴CD=k2a，AE=k5a，OD＝2a，OE＝5ak，
∴BE=k+425a，
∵CD∥BE，
∴△OCD∽△OBE，
∴CDBE=ODOE，
即k2ak+425a=2a5a，
解得，k＝8，
故答案为：8．
16．（2020•宁波模拟）如图，反比例函数y=kx（k＜0，x＜0）的图象与矩形ABCD的边AB，AD分别交于点G，H，点G与点B关于x轴对称，点H与点D关于y轴对称．若△AGH的面积为2，矩形ABCD的面积为17，则k的值为　-134　．

【分析】设H（a，ka），G（b，kb），求得AH、AG、AD、AB，再通过已知面积列出方程，进而求得k的值．
【解析】设H（a，ka），G（b，kb），则
AH＝a﹣b，AG=ka-kb=k(b-a)ab，
AD＝a﹣b+（﹣2a）＝﹣a﹣b，AB=k(b-a)ab+2×kb=k(a+b)ab，
∵△AGH的面积为2，矩形ABCD的面积为17，
∴12(a-b)⋅k(b-a)ab=2，-(a+b)⋅k(a+b)ab=17，
即k(a-b)2ab=-4，k(a+b)2ab=-17，
两式相减得，k[(a-b)2ab-(a+b)2ab]=13，
∴﹣4k＝13，
∴k=-134，
故答案为：-134．
17．（2020•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x＞0）分别与边AB、边BC相交于点E、点F，且点E、点F分别为AB、BC边的中点，连接EF．若△BEF的面积为3，则k的值是　12　．

【分析】设B点的坐标为（a，b），根据中点求得E、F的坐标，再把E、F坐标代入反比例函数解析式，得k与a、b的关系式，再根据△BEF的面积为3，列出a、b的方程，求得ab，便可求得k．
【解析】∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵点E、点F分别为AB、BC边的中点，
∴E（12a，b），F（a，12b），
∵E、F在反比例函数的图象上，
∴12ab=k，
∵S△BEF＝3，
∴12×12a⋅12b=3，即18ab=3，
∴ab＝24，
∴k=12ab＝12
故答案为：12．
18．（2020•福田区模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，连接OM、ON、MN．若∠MON＝45°，则k的值为　2-1　．

【分析】由点M、N都在y=kx的图象上，即可得出S△ONC＝S△OAM=12|k|，再由正方形的性质可得出OC＝OA，∠OCN＝∠OAM＝90°，结合三角形的面积公式即可得出CN＝AM，将△OAM绕点O逆时针旋转90°，点M对应M′，点A对应A′，由旋转和正方形的性质即可得出点A′与点C重合，以及N、C、M′共线，通过角的计算即可得出∠M'ON＝∠MON＝45°，结合OM′＝OM、ON＝ON即可证出△M'ON≌△MON（SAS），由此即可得出M′N＝MN，再由CN＝AM，通过边与边之间的关系即可得出BM＝BN，设AM＝CN＝x，则BM＝BN＝1﹣x，MN＝2x，在Rt△BMN中，利用勾股定理列出x的方程，求得x的值，便可得出M点的坐标，最后用待定系数法求得k便可．
【解析】∵点M、N都在y=kx的图象上，
∴S△ONC＝S△OAM=12|k|．
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC＝OA，∠OCN＝∠OAM＝90°，
∴12OC•CN=12OA•AM．
∴CN＝AM．
将△OAM绕点O逆时针旋转90°，点M对应M′，点A对应C，如图所示．

∵∠OCM′+∠OCN＝180°，
∴N、C、M′共线．
∵∠COA＝90°，∠NOM＝45°，
∴∠CON+∠MOA＝45°．
∵△OAM旋转得到△OCM′，
∴∠MOA＝∠M′OC，
∴∠CON+∠COM'＝45°，
∴∠M'ON＝∠MON＝45°．
在△M'ON与△MON中，
OM'=OM∠M'ON=∠MONON=ON，
∴△M'ON≌△MON（SAS），
∴MN＝M'N．
∵CN＝AM．
又∵BC＝BA，
∴BN＝BM．
设AM＝CN＝x，则BM＝BN＝1﹣x，MN＝2x，
又∵∠B＝90°，
∴BN2+BM2＝MN2，
∴（1﹣x）2+（1﹣x）2＝（2x）2，
解得，x=2-1，或x=-2-1（舍去），
∴AM=2-1，
∴M（1，2-1），
∵M点在反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象上，
∴k＝1×（2-1）=2-1），
故答案为：2-1）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•越城区期末）已知图中的曲线是反比例函数y=m-5x（m为常数）图象的一支．
（1）根据图象位置，求m的取值范围；
（2）若该函数的图象任取一点A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求m的值．

【分析】（1）由反比例函数图象位于第一象限得到m﹣5大于0，即可求出m的范围；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义得出12（m﹣5）＝4，解得即可．
【解析】（1）∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，
∴m﹣5＞0，
解得m＞5．
（2）∵S△OAB=12|k|，△OAB的面积为4，
∴12（m﹣5）＝4，
∴m＝13．
20．（2018秋•宝山区期末）如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数y=12x的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，求图中阴影部分的面积．

【分析】先由∠ACB＝90°，BC＝4，得出B点纵坐标为4，根据点B在反比例函数y=12x的图象上，求出B点坐标为（3，4），则OC＝3，再解Rt△ABC，得出AC＝43，则OA＝43-3，设AB与y轴交于点D，由OD∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出ODBC=OAAC，求得OD＝4-3，最后根据梯形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝4，
∴B点纵坐标为4，
∵点B在反比例函数y=12x的图象上，
∴当y＝4时，x＝3，即B点坐标为（3，4），
∴OC＝3．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，AC=3BC＝43，OA＝AC﹣OC＝43-3．
设AB与y轴交于点D．
∵OD∥BC，
∴ODBC=OAAC，即OD4=43-343，
解得OD＝4-3，
∴阴影部分的面积是：12（OD+BC）•OC=12（4-3+4）×3＝12-323．
21．（2018•港南区二模）如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，AB⊥x轴，垂足为A，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．
（1）若OA＝AB，求k的值；
（2）若BC＝BD，连接OC，求△OAC的面积．

【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥OA于F，则CF＝AE．由AB＝8，AC＝BC，CE⊥AB，可得AE＝BE＝CF＝4，可求C点坐标，即可求k的值．
（2）设A点坐标为（m，0），则C，D两点坐标分别为（m﹣3，4），（m，3），由C，D是反比例函数y=kx（x＞0）的图象上的点．可求m的值，即可求A，C坐标，可得△OAC的面积．
【解析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥OA于F，则CF＝AE

∵AB＝8，AC＝BC，CE⊥AB
∴BE＝AE＝CF＝4
∵AC＝BC＝5
∴CE＝3
∵OA＝AB＝8
∴OF＝5
∴点C（5，4）
∵点C在y=kx图象上
∴k＝20
（2）∵BC＝BD＝5，AB＝8
∴AD＝3
设A点坐标为（m，0），则C，D两点坐标分别为（m﹣3，4），（m，3）
∵C，D在y=kx图象上
∴4（m﹣3）＝3m
∴m＝12
∴A（12，0），C（9，4），D（12，3）
∴S△AOC=12×12×4＝24
22．（2020•枣庄三模）如图，点A（32，4），B（3，m）是直线AB与反比例函数y=nx（x＞0）图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．
（1）求反比例函数和直线AB的表达式；
（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2，求S2﹣S1．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由点A坐标得AC＝4，则点B到AC的距离为3-32=32，则S1=12×4×32=3，而点A，B到DE的距离分别为32，3，进而求出S2，即可求解．
【解析】（1）由点A(32，4)在反比例函数y=nx(x＞0)图象上，
∴4=n3，解得n＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x(x＞0)，
将点B（3，m）代入y=6x(x＞0)并解得m＝2，
∴B（3，2），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，
∴4=32k+b2=3k+b，解得k=-43b=6，
∴直线AB的表达式为y=-43x+6；

（2）由点A坐标得AC＝4，
则点B到AC的距离为3-32=32，
∴S1=12×4×32=3，
设AB与y轴的交点为E，则点E（0，6），如图：

∴DE＝6﹣1＝5，
由点A(32，4)，B(3，2)知，点A，B到DE的距离分别为32，3，
∴S2=S△BDE-S△AED=12×5×3-12×5×32=154，
∴S2-S1=154-3=34．
23．（2020•铁岭模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，4），点A在x轴正半轴上，点D、E分别在边AB、OA上，且AD＝3BD，AE＝3OE．一次函数y＝kx+b的图象经过点D和点E，反比例函数y=mx(x＞0)的图象经过点D，与BC的交点为点F．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点P在直线DE上，且使△OPE的面积与四边形OEFC的面积相等，求点P的坐标．

【分析】（1）由正方形OABC的顶点C的坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据AD＝3BD，求出AD的长，确定出D点坐标，代入反比例解析式求出m的值，再由AE＝3OE，确定出EO的长，即E点坐标，将D与E两点的坐标代入y＝kx+b求出k与b的值，即可确定出一次函数的解析式；
（2）把y＝4代入反比例解析式求出x的值，确定出F点坐标，得到FC的长，设P（x，y），根据△OPE的面积与四边形OEFC的面积相等，求出y的值，进而得到x的值，确定出P坐标即可．
【解析】（1）因为四边形ABCD为正方形，C（0，4），所以OA＝OC＝AB＝BC＝4，
所以A（4，0），B（4，4）．
因为AD＝3BD，AE＝3OE，
所以AD＝3，DB＝1，AE＝3，OE＝1，
所以D（4，3），E（1，0）．
因为反比例函数y=mx的图象经过D点，所以m＝4×3＝12，
所以反比例函数的解析式是y=12x．
又因为一次函数y＝kx+b的图象经过点D，E，
所以4k+b=3k+b=0，解得k=1b=-1，
所以一次函数的解析式为y＝x﹣1；
（2）因为反比例函数y=12x的图象经过点F，
所以当y＝4时，x＝3，
所以F（3，4），所以CF＝3，
所以S四边形OEFC=12（OE+CF）•OC=12（1+3）×4＝8．
设点P（x，x﹣1），则S△OPE=12OE•|yp|=12×1×|x﹣1|=12×|x﹣1|，
因为△OPE的面积与四边形OEFC的面积相等，
所以12×|x﹣1|＝8，即|x﹣1|＝16，
解得，x1＝17，x2＝﹣15，
当x＝17时，y＝16；当x＝﹣15时，y＝﹣16，
所以点P的坐标为（17，16）或（﹣15，﹣16）．

24．（2020•晋江市模拟）如图，双曲线y=kx（k＞0）与直线y＝mx（m＞0）相交于A，B两点，其中点A在第一象限，AD⊥x轴于点D，BF⊥x轴于点F．
（1）当m=12时，点F的坐标为（﹣4，0），求点A、B的坐标及k的值；
（2）过y轴上的点N作NC∥x轴交双曲线y=kx（x＞0）于点E，交直线AD于点C，连接OE，若点A是CD的中点，且四边形OACE的面积为4，求k的值．

【分析】（1）根据F的坐标求得B（﹣4，﹣2），进而根据中心对称求得A（4，2），利用待定系数法即可求得k＝9；
（2）设A的坐标为（a，ka），根据题意得到C（a，2ka），进一步求得E（12a，2ka），得出EN＝EC=12a，根据S正方形ONCD﹣S△AOD﹣S△EON＝4，得到a•2ka-12⋅a•ka-12⋅2ka•12a=4，解得即可．
【解析】（1）∵点F的坐标为（﹣4，0），BF⊥x轴，
∴点B的横坐标为﹣4，
把x＝﹣4代入y=12x中，得y＝﹣2，
∴B（﹣4，﹣2），
∵A与B关于点O成中心对称，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入y=kx，求得k＝8；
（2）设A的坐标为（a，ka），
∵点A是CD的中点，
∴C（a，2ka），
∴E的纵坐标为2ka，
代入y=kx中，则2ka=kx，
解得x=12a，
∴E（12a，2ka），
∴EN＝EC=12a，
∵四边形OACE的面积为4，
∴S正方形ONCD﹣S△AOD﹣S△EON＝4，
∴a•2ka-12⋅a•ka-12⋅2ka•12a=4，解得k＝4．