2022届一轮复习专题练习7 第54练 不等式小题综合练（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习7 第54练 不等式小题综合练（解析版），共6页。试卷主要包含了在R上定义运算⊗等内容，欢迎下载使用。

A．a－c>b－d B．a＋c>b＋d
C.eq \f(a,d)>eq \f(b,c) D．ac>bd
2．关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是R，则实数a的取值范围为( )
A．{2} B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(6,5)))
C．∅ D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(33,8)，－1))
3．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝500＋30x元，若要求每天获利不少于1 300元，则日销售量x的取值范围是( )
A．20≤x≤30 B．20≤x≤45
C．15≤x≤30 D．15≤x≤45
4．已知变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y≤0，,x－3y＋5≥0，,x≥0，))则z＝lg2(x－y＋5)的最大值为( )
A．4 B．lg25
C．2 D.eq \f(10,3)
5．已知实数x，y满足axA.eq \f(1,x2＋1)>eq \f(1,y2＋1) B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．x－y>eq \f(1,x)－eq \f(1,y) D．[x]≥[y]
6．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若对任意x>2，不等式(x－a)⊗x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．[－1,7]
C．(－∞，3] D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
7．已知m>0，xy>0，当x＋y＝2时，不等式eq \f(2,x)＋eq \f(m,y)≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A．[eq \r(2)，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(0，eq \r(2)] D．(0,2]
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋1，x<0，,x－1，x≥0，))那么不等式x＋(x＋1)·f(x＋1)≤1的解集是( )
A．{x|－1≤x≤ eq \r(2)－1}
B．{x|x≤1}
C．{x|x≤ eq \r(2)－1}
D．{x|－eq \r(2)－1≤x≤ eq \r(2)－1}
9．(2020·新疆兵团农八师一四三团第一中学期中)已知z＝x＋y，其中x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≤0，,2x－y≤0，,y≤a，))若z取最大值的最优解只有一个，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，2]
C．(－∞，－2] D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3)))
10．已知正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，若对任意满足条件的x，y，都有(x＋y)2－a(x＋y)＋6≥0恒成立，则实数a的最大值为( )
A．2eq \r(6) B．7 C．4eq \r(6) D．8
11．已知正数a，b满足a2＋b2＝6，则beq \r(a2＋4)的最大值为____________．
12．已知0①lg2a>－1；②lg2a＋lg2b>－2；③lg2(b－a)<0；④lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))>1.
13．在平面直角坐标系中，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≥0，,2x－y≥0，,x≤a，a>0))表示的平面区域的面积为5，直线mx－y＋m＝0过该平面区域，则m的最大值是________．
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S5＝15，则eq \f(2Sn＋5,n)取得最小值时的n值为________．
答案精析
1．B [当a＝5>b＝4，c＝3>d＝1时，
a－c＝2，b－d＝3，则a－c因为a>b，c>d，两式相加得a＋c>b＋d，
故B项一定成立；
当a＝2>b＝1，c＝1>d＝－1时，eq \f(a,d)＝－2，eq \f(b,c)＝1，
则eq \f(a,d)当a＝－1>b＝－2，c＝－3>d＝－4时，
ac＝3，bd＝8，
则ac2．C [当a2－4＝0时，显然不满足题意．
关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是R，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4>0，,a＋22＋4a2－4≤0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>2或a<－2，,－2≤a≤\f(6,5)，))此不等式组无解．故选C.]
3．B [设该厂每天获得的利润为y元，则y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500,0根据题意知，－2x2＋130x－500≥1 300，
解得20≤x≤45，
所以当20≤x≤45时，每天获得的利润不少于1 300元，故选B.]
4．B [作可行域如图阴影部分(含边界)所示，
令t＝x－y＋5，则y＝x－t＋5，由图可知，当直线y＝x－t＋5过点(0,0)时，在y轴上的截距最小，所以t有最大值5，∴z＝lg2(x－y＋5)有最大值lg25.]
5．D [当0由axy，
A项，当x＝1，y＝－1时，满足x>y但eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(1,y2＋1)，故A错误；
B项，当x＝1，y＝－1时，满足x>y，但ln(x2＋1)＝ln(y2＋1)，故B错误；
C项，当x＝1，y＝－1时，满足x>y，
但x－y＝1＋1＝2，eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝1＋1＝2，x－y＝eq \f(1,x)－eq \f(1,y)，故C错误；
D项，∵x>y，∴[x]≥[y]成立，故D正确．]
6．A [由题意可得(x－a)⊗x＝(x－a)(1－x)≤a＋2，
即a(x－2)≤x2－x＋2对任意x>2恒成立，
∵x>2，∴x－2>0，
∴a≤eq \f(x2－x＋2,x－2)对任意x>2恒成立，
设f(x)＝eq \f(x2－x＋2,x－2)＝eq \f(x－22＋3x－2＋4,x－2)
＝(x－2)＋eq \f(4,x－2)＋3，x>2，
则f(x)≥2eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋3＝7
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当x－2＝\f(4,x－2)，即x＝4时取等号))，
即f(x)min＝7，∴a≤7，即a∈(－∞，7]，故选A.]
7．B [因为m>0，xy>0，x＋y＝2，
所以eq \f(2,x)＋eq \f(m,y)＝eq \f(1,2)(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(m,y)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(mx,y)＋\f(2y,x)＋m＋2))≥eq \f(1,2)(2eq \r(2m)＋m＋2)．
因为不等式eq \f(2,x)＋eq \f(m,y)≥4恒成立，
所以eq \f(1,2)(2eq \r(2m)＋m＋2)≥4，
整理得(eq \r(m)＋3eq \r(2))(eq \r(m)－eq \r(2))≥0，
解得eq \r(m)≥eq \r(2)，即m≥2.]
8．C [ 当x<－1时，原不等式可化为x＋(x＋1)(－x)≤1，解得x<－1，
当x≥－1时，原不等式可化为x＋(x＋1)x≤1，
解得－1≤x≤－1＋eq \r(2)，
综上不等式的解集为{x|x≤ eq \r(2)－1}．]
9．B [作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分(含边界)所示，
易知直线x＋y－3＝0与2x－y＝0交于点A(1,2)，
由于直线z＝x＋y与边界直线x＋y－3＝0平行或重合，
(1)当直线y＝a在点A的上方，即a>2时，平移直线z＝x＋y，当该直线与边界直线x＋y－3＝0重合时，直线在y轴上的截距最大，此时，z取最大值的最优解有无数个，不符合题意；
(2)当直线y＝a在点A的下方或经过点A，即a≤2时，设直线y＝a与直线2x－y＝0交于点B，平移直线z＝x＋y，当该直线经过点B，直线在y轴上的截距最大，此时，z取最大值的最优解有且只有一个．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，2]，故选B.]
10．B [∵x＋y＋3＝xy，且xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2，
∴x＋y＋3＝xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2，
整理即(x＋y－6)(x＋y＋2)≥0，
又∵x，y均为正实数，∴x＋y≥6，
由对于任意满足x＋y＋3＝xy的正实数x，y，均有(x＋y)2－a(x＋y)＋6≥0恒成立，
整理可得a≤(x＋y)＋eq \f(6,x＋y)恒成立，令m＝x＋y≥6，
令g(m)＝m＋eq \f(6,m)，当m≥6时，g′(m)＝1－eq \f(6,m2)>0，
∴g(m)＝m＋eq \f(6,m)在[6，＋∞)上单调递增，
∴g(m)≥g(6)＝7，因此a≤g(6)＝7，实数a的最大值为7.]
11．5
解析 a2＋b2＝6，beq \r(a2＋4)≤eq \f(b2＋a2＋4,2)＝5，
当且仅当b＝eq \r(a2＋4)即a＝1，b＝eq \r(5)时等号成立．
12．③④
解析 ∵0∵02eq \r(ab)，即ab∵0∴lg2(b－a)∵02eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，
lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))>lg22＝1，故④正确．
13.eq \f(4,3)
解析 不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≥0，,2x－y≥0，,x≤a，a>0))表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，其中A(a,2a)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(a,2)))，
所以△ABO的面积为eq \f(1,2)×a×eq \f(5,2)a＝5，解得a＝2，
故A(2,4)，B(2，－1)．
又直线mx－y＋m＝0可化为y＝m(x＋1)，可知直线过定点(－1,0)，斜率为m.
结合图象可知该直线过点A(2,4)时，m取最大值，把点A的坐标代入直线可得，m＝eq \f(4,3).
14．2
解析 设等差数列{an}的公差为d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S3＝3a1＋3d＝6，,S5＝5a1＋10d＝15，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝1，))
所以Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)＝n＋eq \f(nn－1,2)＝eq \f(n2＋n,2)，
所以eq \f(2Sn＋5,n)＝eq \f(n2＋n＋5,n)＝n＋eq \f(5,n)＋1
≥2eq \r(n·\f(5,n))＋1＝2eq \r(5)＋1，
当且仅当n＝eq \r(5)时，等号成立，但eq \r(5)∉N*，
由对勾函数的单调性可知，当n＝2或n＝3时，eq \f(2Sn＋5,n)取得最小值，
当n＝2时，eq \f(2S2＋5,2)＝2＋eq \f(5,2)＋1＝eq \f(11,2)；当n＝3时，eq \f(2S3＋5,2)＝3＋eq \f(5,3)＋1＝eq \f(17,3)，
因为eq \f(17,3)>eq \f(11,2)，因此，当n＝2时，eq \f(2Sn＋5,n)取得最小值．