2022届一轮复习专题练习9 第77练 圆锥曲线小题综合练（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习9 第77练 圆锥曲线小题综合练（解析版），共6页。试卷主要包含了已知F1，F2分别是椭圆E，抛物线C，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

A．2 B．10 C.eq \r(7) D．2eq \r(7)
2．已知F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点，P为椭圆E上一点，直线l为∠F1PF2的外角平分线，过点F2作直线l的垂线，交F1P的延长线于点M，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1M))等于( )
A．10 B．8 C．6 D．4
3．以双曲线eq \f(y2,3)－x2＝1的顶点为焦点，离心率为eq \f(\r(3),3)的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1 D.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,9)＝1
4．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A，B两点，其弦AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))，则直线的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
5．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，C与抛物线x2＝8y的准线交于点A和点B，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(3)，则C的实轴长为( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(2) C．2 D．4
6．(2020·西安模拟)若直线y＝x＋t与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(t))变化时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))的最大值为( )
A．2 B.eq \f(4\r(5),5)
C.eq \f(4\r(10),5) D.eq \f(8\r(10),5)
7．(2020·山东师大附中模拟)过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
8．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为( )
A．y2＝16x B．y2＝8x
C．y2＝32x D．y2＝24x
9．已知双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1上的两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为( )
A．－8 B．0 C．0或8 D．0或－8
10．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴交于点M，经过M且斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1>x2，则下列结论正确的是( )
A．－1B．y1y2＝8x1x2
C．∠AFB不可能为直角
D．当k2＝eq \f(1,2)时，△AFB的面积为16
11．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2内切圆的半径为________．
12．(2020·天津模拟)已知双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为eq \f(\r(5),3)c (c为双曲线的半焦距的长)，则该双曲线的离心率为________．
13．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)))＋eq \f(4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))的最小值是________．
14．已知F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，eq \f(p,2)为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则eq \f(|AB|,|CD|)＝________.
答案精析
1．D [抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1的左焦点为(－eq \r(7)，0)，所以p＝2eq \r(7).]
2．A [如图，直线l为∠F1PF2的外角平分线，直线l⊥F2M，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PM))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)).
由椭圆方程得a＝5，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1M))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PM))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2a＝10.
]
3．D [∵双曲线eq \f(y2,3)－x2＝1的顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\r(3)))，
由题意，椭圆的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\r(3)))，即c＝eq \r(3)，
∵离心率为eq \f(\r(3),3)，即eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
∴a＝3，
∴b2＝a2－c2＝9－3＝6，
∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,6)＝1.]
4．A [设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，
∵A，B在抛物线上，
∴yeq \\al(2,1)＝4x1，yeq \\al(2,2)＝4x2，
两式相减可得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∵线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))，
∴2(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2.
则直线的方程为y－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，即2x－y－1＝0.]
5．C [设等轴双曲线为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,a2)＝1，抛物线x2＝8y的准线方程为y＝－2，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2－x2＝a2，,y＝－2，))解得x＝±eq \r(4－a2)，所以2eq \r(4－a2)＝2eq \r(3)，解得a＝1，所以实轴长为2.]
6．C [联立两个方程化为5x2＋8tx＋4t2－4＝0.
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，
则x1＋x2＝－eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2－1))，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋x2))2－4x1x2)))
＝eq \r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))2－\f(16,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2－1)))))＝eq \f(4,5)eq \r(10－2t2)，
而Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8t))2－4×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4t2－4))>0，解得0≤t2<5.
∴取t2＝0得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))max＝eq \f(4\r(10),5).]
7．B [当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝6；当直线l的倾斜角为0°时，|AB|＝2<6.故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得|AB|＝6，故选B.]
8．A [由题意可得该圆的圆心是线段OF的中垂线与抛物线的交点，所以圆心横坐标为eq \f(p,4)，半径r＝eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝eq \f(3p,4)，又该圆的面积为36π，则r＝6，所以eq \f(3p,4)＝6，p＝8，则该抛物线方程为y2＝16x.]
9．D [设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
MN的中点为P(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)－\f(y\\al(2,1),3)＝1，,x\\al(2,2)－\f(y\\al(2,2),3)＝1，,x1＋x2＝2x0，,y1＋y2＝2y0，))
得(x2－x1)(x2＋x1)＝eq \f(1,3)(y2－y1)(y2＋y1)，
显然x1≠x2，∴eq \f(y2－y1,x2－x1)·(y2＋y1)＝3(x2＋x1)，
即kMN·y0＝3x0.
∵M，N关于直线y＝x＋m对称，
∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.又∵y0＝x0＋m，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,4)，\f(3m,4)))，代入抛物线方程得eq \f(9,16)m2＝18·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,4)))，
解得m＝0或m＝－8.]
10．D [依题意知F(2,0)，M(－2,0)，直线l的方程为y＝k(x＋2)，联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝kx＋2，))
消去y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
因为直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2≠0，,4k2－82－16k4>0，))解得－1因为x1x2＝eq \f(4k2,k2)＝4，所以yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝8x1×8x2＝64×4＝256，由于y1，y2同号，所以y1y2＝16，于是y1y2＝4x1x2，故选项B错误；
由于eq \(FA,\s\up6(→))＝(x1－2，y1)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(x2－2，y2)，
所以eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝4－2·eq \f(8－4k2,k2)＋4＋16＝32－eq \f(16,k2)，
当k2＝eq \f(1,2)时，eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝0，∠AFB为直角，故选项C不正确；
△AFB的面积S＝S△MFA－S△MFB＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y1－y2))＝2eq \r(y1＋y22－4y1y2)，
当k2＝eq \f(1,2)时，
y1＋y2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)＝k(x1＋x2＋4)＝16k，因此S＝2eq \r(16k2－4×16)＝16，故D正确．]
11.eq \f(36,25)
解析 △ABF2的周长为4×5＝20，面积为S＝eq \f(1,2)×2c×eq \f(2b2,a)＝eq \f(2×4×9,5)＝eq \f(72,5)，又S＝eq \f(1,2)×20×r＝10r，所以r＝eq \f(72,10×5)＝eq \f(36,25).
12.eq \f(3,2)
解析 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点坐标为(±c,0)，其中c＝eq \r(a2＋b2).
所以一个焦点到一条渐近线的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(bc)),\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(5),3)c，即b＝eq \f(\r(5),3)c，
因此，a＝eq \r(c2－b2)＝eq \f(2,3)c，由此可得双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).
13.eq \f(9,4)
解析 由题意得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，b＝1，解得a＝2，c＝eq \r(3)，于是|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)))＋\f(4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)))＋\f(4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))))≥eq \f(1,4)(5＋2eq \r(4))＝eq \f(9,4)，
当且仅当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝eq \f(8,3)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝eq \f(4,3)时等号成立．
14．16
解析 因为直线4x－3y－2p＝0过C1的焦点F(C2的圆心)，故|BF|＝|CF|＝eq \f(p,2)，所以eq \f(|AB|,|CD|)＝eq \f(|AF|－\f(p,2),|DF|－\f(p,2)).
由抛物线的定义得|AF|－eq \f(p,2)＝xA，|DF|－eq \f(p,2)＝xD，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3y－2p＝0，,y2＝2px，))整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得xA＝2p，xD＝eq \f(p,8)，故eq \f(|AB|,|CD|)＝eq \f(xA,xD)＝eq \f(2p,\f(p,8))＝16.