2022届高考数学一轮复习单元检测二　函数的概念与性质（解析版）

这是一份2022届高考数学一轮复习单元检测二　函数的概念与性质（解析版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元检测二　函数的概念与性质(时间：60分钟　满分：100分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝的定义域为(　　)A．[－3,5]   B．[－3，－1)∪(－1,5]C．(－∞，－3]∪[5，＋∞)   D．[－5，－1)∪(－1,3]答案　B解析　要使函数有意义，则解得－3≤x≤5且x≠－1.2．下列函数既是奇函数又在区间(0,1)上单调递减的是(　　)A．y＝   B．y＝－|x|C．y＝x3   D．y＝－x2＋1答案　A解析　函数y＝既是奇函数又在区间(0,1)上单调递减，A正确；函数y＝－|x|是偶函数，B不正确；函数y＝x3是奇函数，但是在区间(0,1)上单调递增，C不正确；函数y＝－x2＋1是偶函数，D不正确．3．若函数f(x)＝则f(f(2))的值为(　　)A．1  B．3  C．4  D．－4答案　C解析　∵f(2)＝22－2－3＝－1，∴f(f(2))＝f(－1)＝5－1＝4.4．已知函数f(x)对任意实数x满足f(2x－1)＝2x2，则f(3)等于(　　)A．8  B．4  C．18  D．2答案　A解析　因为f(2x－1)＝2x2，令2x－1＝3，解得x＝2，所以f(3)＝2×22＝8.5．(2021·长春模拟)已知f(x)＝若f(a)＝10，则a的值为(　　)A．5   B．－3C．－3或5   D．－3或3或5答案　C解析　当a>0时，f(a)＝2a＝10，解得a＝5；当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝3(舍去)或a＝－3.6．如果奇函数y＝f(x)在[－7，－1]上是减函数，且最大值是5，那么，f(x)在[1,7]上是(　　)A．增函数，最大值为－5   B．减函数，最大值为－5C．减函数，最小值为－5   D．增函数，最小值为－5答案　C解析　奇函数的函数图象关于坐标原点成中心对称，若奇函数f(x)在区间[－7，－1]上是减函数且最大值为5，那么f(x)在区间[1,7]上是减函数且最小值为－5.7．已知f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且当x>1时，f(x)＝4x＋3.若a＝f(－1)，b＝f(0)，c＝f()，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a<c<b   B．b<c<aC．a<b<c   D．c<b<a答案　D解析　∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴a＝f(－1)＝f(3)，b＝f(0)＝f(2)，又当x>1时，f(x)＝4x＋3，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(3)>f(2)>f()．故a>b>c.8．(2021·合肥模拟)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)等于(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　C解析　f(x)＝＝1＋，令g(x)＝，定义域为R，又g(－x)＝＝－g(x)，所以g(x)是奇函数，又f(a)＝1＋g(a)＝，解得g(a)＝－，所以f(－a)＝1＋g(－a)＝1－g(a)＝.9．若函数f(x)满足∀a，b∈R，f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋等于(　　)A．2 020  B．2 021  C．4 042  D．4 040答案　D解析　令a＝x，b＝1，∴f(x＋1)＝f(x)·f(1)＝2f(x)，即＝2，∴＋＋＋…＋＝2＋2＋2＋…＋2＝4 040.10．已知狄利克雷函数f(x)＝则下列结论不正确的是(　　)A．f(x)的值域为{0,1}   B．f(x)的定义域为RC．f(x＋1)＝f(x)   D．f(x)是奇函数答案　D解析　对于A, f(x)的值域为{0,1}．故A正确；对于B, f(x)的定义域为R.故B正确；对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故f(x＋1)＝f(x)成立．故C正确；对于D, 因为f(0)＝1.故D错误．11．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，且f(2)＝0，则不等式x·f(－x)<0的解集是(　　)A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)   B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－2,0)∪(2，＋∞)   D．(－2,0)∪(0,2)答案　B解析　根据题意知，f(x)在(－∞，0]上为减函数，又f(x)为偶函数，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(2)＝0，所以f(－2)＝f(2)＝0，所以x·f(－x)<0等价于x·f(x)<0，当x<0时，f(x)>0，此时x<－2，当x>0时，f(x)<0，此时0<x<2，综上，x∈(－∞，－2)∪(0,2)．12．已知函数f(x)的定义域为R，且对任意x∈R，都有f(x)＝f(－x)及f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，当x1，x2∈[0,2]且x1≠x2时，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0成立，则下列四个结论中不正确的是(　　)A．f(2)＝0B．函数f(x)在区间[－6，－4]上单调递增C．直线x＝－4是函数f(x)的一条对称轴D．方程f(x)＝0在区间[－6,6]上有4个不同的实根答案　B解析　由题意知，函数f(x)的定义域为R，因为对于任意x∈R，都有f(x)＝f(－x)，可得函数f(x)为偶函数，又因为当x1，x2∈[0,2]且x1≠x2时，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0成立，可得函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，又由f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，令x＝－2，可得f(2)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝f(2)＝0，A正确；所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，则函数的大致图象如图所示，函数f(x)在区间[－6，－4]上单调递减，所以B不正确；直线x＝－4是函数f(x)的一条对称轴，所以C正确；方程f(x)＝0在区间[－6,6]上共有4个不同的实数根，所以D正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2021·长沙模拟)函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.答案　1解析　f(x)为奇函数，则f(0)＝－a＋1＝0，∴a＝1，经检验，当a＝1时f(x)为奇函数．14．已知函数f(x)＝在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案　(1,3]解析　由分段函数解析式知，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在[－1,1]上单调递增，∴f(x)在[－1，a－2]上单调递增，有－1<a－2≤1，即a∈(1,3]．15．函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(－x)，当x∈[0,1)时，f(x)＝x2，则f ＝________.答案　－解析　根据题意知，函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(－x)，则f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，则f ＝f ＝f  ＝－f ，又当x∈[0,1)时，f(x)＝x2，则f ＝2＝，则f ＝－f ＝－.16．若函数f(x)在定义域D内的某个区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称f(x)在M上是“弱增函数”．已知函数g(x)＝x2＋(4－a)x＋a在(0,2]上是“弱增函数”，则实数a的值为________．答案　4解析　由题意可知函数g(x)＝x2＋(4－a)x＋a在(0,2]上是增函数，∴≤0，解得a≤4，令h(x)＝＝x＋＋4－a，则h(x)在(0,2]上是减函数，①当a≤0时，h(x)在(0,2]上为增函数，不符合题意；②当a>0时，由对勾函数的性质可知h(x)在(0，]上单调递减，∴≥2，解得a≥4，又a≤4，∴a＝4.三、解答题(本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)写出f(x)的单调区间(只需写出结果)；(3)若方程f(x)＝a有解，求实数a的取值范围．解　(1)因为f(x)＝x2－2|x|的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减，在[－1,0]上单调递增，故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调递增区间为[－1,0]，[1，＋∞)．(3)因为方程f(x)＝a有解，所以函数y＝f(x)与直线y＝a的图象有交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，a≥－1.所以实数a的取值范围是[－1，＋∞)．18．(10分)(2021·杭州质检)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝.(1)求f(x)的解析式；(2)用定义法证明f(x)在[0，＋∞)上单调递减；(3)解不等式f(t2＋2t－6)＋>0.(1)解　设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝＝，又f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－，而f(0)＝0适合上式，∴f(x)的解析式为f(x)＝(2)证明　任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，∵x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，∴x2－x1>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，∴>0，即f(x1)－f(x2)>0，∴函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减．(3)解　由函数的解析式可知f(1)＝－，而不等式可化为f(t2＋2t－6)>－，∴f(t2＋2t－6)>f(1)，又由(2)可得函数f(x)在R上单调递减，∴t2＋2t－6<1，解得－1－2<t<－1＋2，∴不等式的解集为(－1－2，－1＋2)．