2022届高考数学一轮复习单元检测六　平面向量、复数（解析版）

这是一份2022届高考数学一轮复习单元检测六　平面向量、复数（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元检测六　平面向量、复数(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2020·全国Ⅲ)复数的虚部是(　　)A．－  B．－  C.  D.答案　D解析　z＝＝＝＋i，其虚部为.2．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．第四象限答案　A解析　∵z＝＝＝4＋i，∴复数在复平面内对应的点的坐标是(4,1)，∴它对应的点在第一象限．3．(2020·江西省八校联考)已知复数z满足(z＋i)i＝2－3i，则|z|等于(　　)A.  B．3  C．10  D．18答案　B解析　∵(z＋i)i＝2－3i，∴zi－1＝2－3i，∴z＝＝－3－3i，∴|z|＝＝3.4．(2020·昆明一中检测)已知向量a＝，|b|＝2，且a·b＝1，则a与b的夹角为(　　)A．30°  B．45°  C．60°  D．90°答案　C解析　|a|＝＝1，∴cos〈a，b〉＝＝，∴a与b的夹角为60°.5．(2021·葫芦岛六校联考)已知向量a＝(0,2)，b＝(2，x)，且a与b的夹角为，则x等于(　　)A．－2  B．2  C．1  D．－1答案　B解析　由题意得，cos ＝＝＝，所以x>0，且2x＝，解得x＝2.6．(2021·昆明诊断)已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则·等于(　　)A．20  B．12  C．－12  D．－20答案　C解析　＝＋，＝－，||＝||＝2，所以·＝(＋)·(－)＝2－2＝22－42＝－12.7．若复数z＝(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)   B．(1，＋∞)C．(－1,1)   D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案　C解析　由题意得z＝＝＝，因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以所以－1<a<1.8．(2020·遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120°，k∈R，则|ka＋b|的最小值为(　　)A.  B.  C．1  D.答案　B解析　因为a和b是单位向量，且夹角为120°，所以|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2＝k2|a|2＋2k|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝k2－k＋1＝2＋≥，所以|ka＋b|≥，所以|ka＋b|的最小值为.9．(2020·济南模拟)已知点P为四边形ABCD所在平面内一点，且满足＋2＝0，＋＋4＝0，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λμ等于(　　)A.  B．－  C．－  D.答案　D解析　如图，取AB的中点O，连接DO.由＋2＝0，知AB∥CD，AB＝2CD，所以CD綊OB，所以四边形OBCD为平行四边形．又由＋＋4＝0，得－2＋4＝0，即＝2，所以D，P，O三点共线，且P为OD上靠近D的三等分点，所以＝＋＝＋＝＋，所以λ＝，μ＝，所以λμ＝.10．(2020·南昌模拟)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x＋y，则xy的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.答案　D解析　由题意知，由＝x＋y，可得x＋y＝1，x，y∈，xy＝x(1－x)＝x－x2＝－2＋，当x＝时，xy取最大值，当x＝或x＝时，xy取最小值. 11．(2021·安康联考)在△ABC中，B＝，AB＝1，BC＝，M为△ABC所在平面内一点，且AM＝2，若＝λ＋2μ(λ>0，μ>0)，则当λμ取得最大值时，λ＋μ等于(　　)A.  B.  C.  D．2答案　C解析　由＝λ＋2μ，得2＝4＝(λ＋2μ)2，即4＝λ2＋8μ2＋2λ×2μ×·，整理得4＝λ2＋8μ2＋2λμ，由基本不等式得4＝λ2＋8μ2＋2λμ≥2×2×λμ＋2λμ＝6λμ，所以λμ≤，当且仅当λ＝2μ＝，μ＝时等号成立，此时λ＋μ＝.12．(2020·常德模拟)在△ABC中，若|＋|＝|－|，AC＝6，AB＝3，E，F为BC边的三等分点，则·等于(　　)A．21  B．18  C．15  D．12答案　C解析　依题意，在△ABC中，|＋|＝|－|，所以⊥，即∠ABC＝90°，又AC＝6，AB＝3，所以∠BAC＝60°，则·＝||·||cos∠BAC＝9，因为E，F为BC边的三等分点，则＝＋＝＋(－)＝＋，＝＋＝＋(－)＝＋，所以·＝·＝2＋·＋2＝×32＋×9＋×62＝15.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________，其共轭复数＝________.答案　　1＋i解析　z＝＝1－i，则|z|＝＝，其共轭复数＝1＋i.14．(2020·哈师大附中月考)已知平面向量a，b满足a＝(1，)，|b|＝3，若a⊥(a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．答案　解析　由已知可得：|a|＝2，|b|＝3，∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝4－6cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝.15．(2020·济南调研)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.答案　－解析　由已知2a－b≠0，依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以解得k＝，λ＝－.16.(2021·赣州模拟)如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且OB＝2OD，AC＝2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若·＝6，则四边形ABCD的面积为________．答案　3解析　如图所示，作BF⊥AC，垂足为F，设DO＝x，∠EDB＝θ，DE＝h，则在Rt△DOE中，cos θ＝，因为·＝6，所以·＝h·3x·cos θ＝h·3x·＝3h2＝6，解得h＝，因为BF⊥AC，DE⊥AC，∠DOE＝∠COB，OB＝2OD，所以△DOE∽△BOF，所以BF＝2h，所以S四边形ABCD＝·h·2＋·2h·2＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知复数z＝(m2－2m－8)＋(m2－4)i.(1)若z为纯虚数，求实数m的值；(2)若复数z－m2(1＋i)＋8的模为2，求m的值．解　(1)∵z为纯虚数，则m2－2m－8＝0，m2－4≠0，解得m＝4.(2)由z＝(m2－2m－8)＋(m2－4)i可知，复数z－m2(1＋i)＋8＝(m2－2m－8)＋(m2－4)i－m2i－m2＋8＝－2m－4i.依题意得＝2，解得m＝±1.18．(12分)(2020·郑州模拟)已知z1＝－(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R，i为虚数单位，若z1＋z2是实数．(1)求实数a的值；(2)求1·z2的值．解　(1)z1＝－(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，z1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋[(2a－5)－(10－a2)]i.由题意知z1＋z2为实数，∴解得a＝3.(2)当a＝3时，z1＝2－i，z2＝－1＋i，1＝2＋i, 则1·z2＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i.19．(12分)已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若＝2，求点C的坐标．解　由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，(1)∵A，B，C三点共线，∴∥.∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴解得∴点C的坐标为(5，－3)．20．(12分)如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，点E为AB的中点，点D，F分别在边BC，AC上，且＝6，＝3，EF交AD于点P.(1)若∠BAC＝，求与夹角θ的余弦值；(2)求的值．解　(1)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(－2,0)，F(－1,0)，E(－1，)，D，∴＝，＝(0，－)，∴cos θ＝＝－.(2)由A，P，D三点共线，可设＝λ＝＋，同理，可设＝t＋(1－t)＝＋，由平面向量基本定理可得解得∴＝，＝.21．(12分)(2021·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.(1)求sin A的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．解　(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，所以cos A＝－.因为0<A<π，所以sin A＝＝＝.(2)由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则B＝.由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.故向量在方向上的投影为||cos B＝ccos B＝1×＝. 22．(12分)(2020·江西信丰中学模拟)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)，设函数f(x)＝2(a＋b)·b.(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；(2)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＝，求当0≤x≤时，g(x)＝f(x)＋4cos的取值范围．解　(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－，∴cos2x－sin 2x＝＝＝.(2)∵a·b＝sin xcos x－，b2＝cos2x＋1，∴f(x)＝2(a＋b)·b＝2a·b＋2b2＝2sin xcos x－＋2cos2x＋2＝2sin xcos x＋2cos2x＋＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，由正弦定理得＝＝，得sin A＝，∴A＝或A＝.∵b>a，∴B>A，即A是锐角，∴A＝，∴g(x)＝f(x)＋4cos＝sin＋＋4cos＝sin－.∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴≤sin≤1，∴≤sin－≤－.即g(x)∈.