2022届一轮复习专题练习5 第40练 平面向量的数量积（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习5 第40练 平面向量的数量积（解析版），共7页。试卷主要包含了①④等内容，欢迎下载使用。
考点一 平面向量数量积的基本运算
1．(2020·黄冈模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(0，m)，c＝(2,4)，且(a－b)⊥c，则实数m的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2．非零向量a，b 满足|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b与b 夹角θ的大小为( )
A．135° B．120°
C．60° D．45°
3．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3＋\r(3),3) B.eq \f(9,2)
C.eq \r(3) D．9
考点二 平面向量数量积的应用
4．已知向量a＝(sin x，cs x)，向量b＝(1，eq \r(3))，则|a＋b|的最大值为( )
A．1 B.eq \r(3) C．9 D．3
5．已知向量m，n满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m＋n))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m－2n))，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))，则m与n的夹角的余弦值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
6．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上运动，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最小值为( )
A．－1 B．0 C．1 D.eq \r(3)
7．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
考点三 平面向量的应用
8.(2020·云南师大附中模拟)如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝2，∠CAB＝60°，点D是BC边上靠近B的三等分点，则AD等于( )
A.eq \f(\r(37),3) B.eq \f(\r(97),9)
C.eq \f(4\r(3),9) D.eq \f(4\r(3),3)
9．若向量a＝(1,1)与b＝(λ，－2)的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________________．
10.(2020·北京模拟)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2))，F1与F2的夹角为θ.给出以下结论：
①θ越大越费力，θ越小越省力；
②θ的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))；
③当θ＝eq \f(π,2)时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(G))；
④当θ＝eq \f(2π,3)时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(G)).
其中正确结论的序号是________．
11．(2020·运城模拟)已知向量a，b满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))⊥b，则a，b的夹角θ是( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
12．设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(b＋a－c)＝0，则|c|的最大值等于( )
A．1 B．2
C．1＋eq \f(\r(5),2) D.eq \r(5)
13．(2020·南昌模拟)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝3，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝4，若对任意实数t，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ka＋tb))>1恒成立，则实数k的范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2\r(15),15)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(15),15)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2\r(15),15)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(15),15)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(15),15)，\f(2\r(15),15)))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(15),15)，\f(2\r(15),15)))
14．(2020·杭州模拟)已知平面向量a，b满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝1，a·b＝1，记b与a＋b的夹角为θ，则cs θ的最小值是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
答案精析
1．C [由已知得a－b＝(2,1－m)，又(a－b)⊥c，所以2×2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－m))×4＝0，解得m＝2.]
2．A [∵非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，
∴a2＝a·b，由|a－b|＝|a|，
可得a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝eq \r(2)|a|，
∴cs θ＝eq \f(a－b·b,|a－b||b|)＝eq \f(a·b－|b|2,|a||b|)
＝eq \f(|a|2－2|a|2,\r(2)|a|2)＝－eq \f(\r(2),2)，
∴θ＝135°，故选A.]
3．D [由题意得∠ABC＝120°，
eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2×2×cs 120°＝－2，
eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))·(eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))＝(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))－\(BA,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))2－eq \f(3,2)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))2
＝eq \f(1,2)×22－eq \f(3,2)×(－2)＋22＝9.]
4．D [|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝1＋2(sin x＋eq \r(3)cs x)＋4＝5＋4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，
∴当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝1时，|a＋b|2的最大值为9，
∴|a＋b|的最大值为3.]
5．B [∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m＋n))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m－2n))，
∴m2＋n2＋2m·n＝m2＋4n2－4m·n，
∴m·n＝eq \f(1,2)n2，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))，
设向量m与n的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(m·n,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n)))＝eq \f(\f(1,2)n2,2n2)＝eq \f(1,4).]
6．B [如图，
以A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
AB＝2，AD＝1则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))，
又M点在CD上，设M(x,1)，x∈[0,2]，
则eq \(MA,\s\up6(→))＝(－x，－1)，eq \(MB,\s\up6(→))＝(2－x，－1)，
eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
当x＝1时，有最小值0.]
7．B [设点M为BC边的中点，由题意可得|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|，
|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|＝|2eq \(OM,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|＝2|eq \(AM,\s\up6(→))|，
据此结合题意可知，CB＝2AM，
由三角形的性质可知，△ABC的形状是直角三角形．]
8．A [由题意，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))2＝eq \f(4,9)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))2＋eq \f(1,9)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))2＋eq \f(4,9)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(16,9)＋1＋eq \f(4,9)×2×3×eq \f(1,2)＝eq \f(37,9)，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))))＝eq \f(\r(37),3).]
9．(－∞，－2)∪(－2,2)
解析 因为a＝(1,1)，b＝(λ，－2)，
所以a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉，
即cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(λ－2,\r(2)·\r(4＋λ2))，
由题意可知，
a·b