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2022届新高考一轮复习苏教版 第7章 第3讲 等比数列及其前n项和 课件(57张)
展开3.等比数列的性质已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和(m,n,p,q,r,k∈N*)(1)若m+n=p+q=2r,则am·an=ap·aq=a.(2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列.(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).
【特别提醒】1.由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.2.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.
4.(2020年新课标Ⅱ)数列{an}中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=( )A.2B.3C.4D.5【答案】C
6.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.【答案】27,81 【解析】设公比为q,由题意得q×q3=243,q=3,则数列第二项为9×3=27,第三项为9×32=81.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”):(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( )(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( )(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( )(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
示通法 熟练掌握等比数列的通项公式及前n项和公式,尤其是运用等比数列前n项和公式中注意公比是否为1,同时注意整体转化思想在解题中的运用.
【答案】(1)D (2)B
【答案】(1)4 (2)2n-1
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,q>0,则a8=a6+2a4,即a4q4=a4q2+2a4,解得q2=2或q2=-1(负值舍去).又a2=1,所以a6=a2q4=4.
【解题技巧】解决等比数列的基本运算常用方法
【变式精练】1.(1)等比数列{an}中各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=( )A.9B.15C.18D.30(2)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=________.【答案】(1)D (2)-8
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,求证:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.解:(1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,有a1+a2=S2=4a1+2.所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3.
【解题技巧】等比数列的4种常用判定方法
[提醒](1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法,其他方法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n=1时的情况进行验证.
【变式精练】2.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).(1)求a2,a3的值;(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列.
解:(1)因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),所以当n=1时,a1=2×1=2;当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,所以a2=4;当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,所以a3=8.综上,a2=4,a3=8.
(2)证明:a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*)①,所以当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)Sn-1+2(n-1)②.①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2.所以-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,
【解题技巧】等比数列的性质可以分为3类,一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形,根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1等于( )A.1B.2C.3D.4【答案】(1)A (2)C
高考对数学运算的要求有三个层次:第一层次是运算的正确性;第二层次是运算的合理性与迅速性;第三层次是运算的思维性.对数列的运算主要表现为:理解数列问题,掌握数列运算法则,探究运算思路,求得运算结果.通过对数列性质的学习,发展数学运算能力,促进数学思维发展.
素养提升类——数学运算:等比数列性质的应用
【解题技巧】方程观点以及基本量(首项和公比)思想是求解等比数列问题的基本方法,本例在求解与等比数列有关的问题时,除了要灵活地运用定义和公式外,还要注意挖掘隐含条件,利用性质,以减少运算量,提高解题速度.
迁移应用已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=________.【答案】2
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