高中数学北师大版必修51.1正弦定理同步测试题

这是一份高中数学北师大版必修51.1正弦定理同步测试题，共5页。
课时分层作业(十一)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝(　　)A．　　　　　　 B．C．或 D．或C　[由正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，所以sin A(2sin B－)＝0.因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B＝，所以B＝或.]2．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a∶b∶c等于(　　)A．3∶2∶1   B．∶2∶1C．∶∶1 D．2∶∶1D　[因为A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，所以A＝90°，B＝60°，C＝30°，所以a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶∶＝2∶∶1.]3．符合下列条件的△ABC有且只有一个的是(　　)A．a＝1，b＝，A＝30°B．a＝1，b＝2，c＝3C．b＝c＝1，B＝45°D．a＝1，b＝2，A＝100°C　[对于A，由正弦定理得＝，所以sin B＝.又a<b，所以B＝45°或135°，所以满足条件的三角形有两个．对于B，a＋b＝c，构不成三角形．对于C，b＝c＝1，所以B＝C＝45°，A＝90°，所以满足条件的三角形只有一个．对于D，a<b，所以A<B，而A＝100°，所以没有满足条件的三角形．]4．已知△ABC中，·＜0，S△ABC＝，||＝3，||＝5，则∠BAC＝(　　)A．30° B．120°C．150° D．30°或150°C　[由S△ABC＝，得×3×5sin ∠BAC＝，∴sin∠BAC＝，又由·<0，得∠BAC>90°，∴∠BAC＝150°.]5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acos B＋acos C＝b＋c，则△ABC的形状是(　　)A．等边三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．直角三角形D　[∵acos B＋acos C＝b＋c，故由正弦定理得，sin Acos B＋sin Acos C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化简得：cos A(sin B＋sin C)＝0，又sin B＋sin C＞0，∴cos A＝0，即A＝，∴△ABC为直角三角形．]二、填空题6．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＝4bsin A，则cos B＝________.　[由a＝4bsin A得＝4b，故sin B＝，又△ABC是锐角三角形，故cos B＝.]7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．　[由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝.]8．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．2　[由于S△ABC＝，BC＝2，C＝60°，∴＝×2·AC·，∴AC＝2，∴△ABC为正三角形，∴AB＝2.]三、解答题9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．若a＝，sin B＝，C＝，求b.[解]　在△ABC中，∵sin B＝，0＜B＜π，∴B＝或B＝.又∵B＋C＜π，C＝，∴B＝，∴A＝.∵＝，∴b＝＝1.10．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.[解]　∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得＝＝2R，∴c＝＝＝5，∴2R＝＝＝10，∴R＝5.[能力提升练]1．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝(　　)A．3－　　　　　 B．C．2 D．3＋A　[∵AB＝，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得：＝⇒＝＝，∴BC＝3－.]2．在△ABC中，若A＝60°，a＝2，则等于(　　)A．1 B．2C．4 D．4C　[＝＝＝＝4，所以a＝4 sin A，b＝4sin B，c＝4 sin C，所以＝＝4.故选C．]3．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是________．(2,2)　[要使三角形有两解，则asin B<b<a，即所以2<x<2.]4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B，C为钝角，则的取值范围是________．(2,3)　[由题意知90°<C<180°，0°<A＋B<90°，因为A＝2B，所以0°<3B<90°，0°<B<30°，C＝180°－(A＋B)＝180°－3B，由正弦定理＝，得＝＝＝＝＝＝2cos2B＋cos 2B＝4cos2B－1，因为<cos B<1，所以2<4cos2B－1<3，即2<<3.]5．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝.(1)求sin A的值；(2)设AC＝，求△ABC的面积．[解]　(1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，得2A＝－B,0＜A＜.故cos 2A＝sin B，即1－2sin2A＝，sin A＝.(2)由(1)得cos A＝.又由正弦定理，得＝，BC＝AC＝3，又C＝＋A，∴sin C＝cos A＝.所以S△ABC＝AC·BC·sin C＝AC·BC·cos A＝3.