高中数学北师大版必修52.1等差数列测试题

这是一份高中数学北师大版必修52.1等差数列测试题，共5页。
课时分层作业(四)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　)A．30　　　　 B．15C．5 D．10B　[因为数列{an}为等差数列，所以a2＋a4＝6＝2a3，得a3＝3，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15.]2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根A　[由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，所以a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．]3．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为(　　)A．20 B．22C．24 D．28C　[由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，解得a8＝24，且a8＋a12＝2a10,2a10－a12＝a8＝24.]4．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是(　　)A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列C　[∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．]5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是(　　)A．1 B．2C．4 D．6B　[由题意得a1＋a2＋a3＝3a2＝12，故a2＝4，(a2－d)·a2·(a2＋d)＝4(4－d)(4＋d)＝48.因为d＞0，故d＝2，a1＝a2－d＝4－2＝2.]二、填空题6．在等差数列{an}中，a9＝8，a12≥23，则公差d的取值范围为________．[5，＋∞)　[由题意得a12＝a9＋3d，即8＋3d≥23，解得d≥5.]7．在等差数列{an}中，公差d＝2，a1＋a3＋a5＝27，a2＋a4＋a6＝________.33　[根据数列{an}为等差数列，得a1＋a3＋a5＝3a3＝27，所以a3＝9，又d＝2，所以a4＝11.所以a2＋a4＋a6＝3a4＝3×11＝33.]8．若数列{an}满足2an＝an＋1＋an－1，且a15＝8，a60＝20，则a75＝________.24　[因为2an＝an＋1＋an－1，所以数列{an}是等差数列，故45d＝a60－a15＝12，即d＝，a75＝a60＋15d＝20＋15×＝24.]三、解答题9．首项为a1，公差为d的正整数的等差数列{an}满足下列两个条件：(1)a3＋a5＋a7＝93；(2)满足an>100的n的最小值是15，试求公差d和首项a1的值．[解]　因为a3＋a5＋a7＝93，所以3a5＝93，所以a5＝31，所以an＝a5＋(n－5)d>100，所以n>＋5.因为n的最小值是15，所以14≤＋5<15，所以6<d≤7 ，又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3.10．(1)已知{an}是等差数列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值；(2)已知在等差数列{an}中，若a49＝80，a59＝100，求a79.[解]　(1)∵{an}是等差数列，∴a1＋a15＝a4＋a12＝a3＋a13＝2a8.又∵a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，∴a8＝2，即a3＋a13＝2a8＝2×2＝4.(2)∵{an}是等差数列，可设公差为d.由a59＝a49＋10d，知10d＝100－80，解得d＝2.又∵a79＝a59＋20d，∴a79＝100＋20×2＝140.[能力提升练]1．数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　)A．－2　　　　　 B．－C．2 D．C　[∵an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列，且d＝3.a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3，a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36，∴log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.]2．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为(　　)A．an＝2n－5 B．an＝2n－3C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1B　[∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋(n－1)·2＝2n－3.]3．数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，a1＝5，则使得数列为等差数列的实数m的值为________．－　[a1＝5，a2＝3×5＋32－1＝23，a3＝3×23＋33－1＝95，依题意得，，成等差数列，∴2·＝＋，∴m＝－.]4．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列． 第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．n2＋n　[观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第n＋1列的数是n＋[(n＋1)－1]×n＝n2＋n.]5．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求数列{bn}的通项公式；(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？[解]　(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n，设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则满足m＝4n－1，n∈N＋，所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，所以新数列{bn}也为等差数列，且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.(3)因为m＝4n－1，n∈N＋，所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．