高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念综合训练题

4.1 数列的概念与简单表示法（2）

重点练

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}

B．数列1，0，−1，−2与数列−2，−1，0，1是相同的数列

C．数列{}的第k项为1+

D．数列0，2，4，6，…可记为{2n}

2．已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（    ）

A．   B．   C．   D．

3．共有10项的数列的通项，则该数列中最大项､最小项的情况是（    ）

A．最大项为､最小项为    B．最大项为､最小项为

C．最大项为､最小项为    D．最大项为､最小项为

4．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

二、填空题

5．已知数列{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________.

6．已知数列满足，给出下列命题：

①当时，数列为递减数列；

②当时，数列不一定有最大项；

③当时，数列为递减数列；

④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.

请写出正确的命题的序号__________．

三、解答题

7．已知数列的通项公式是．

（1）判断是否是数列中的项；

（2）试判断数列中的各项是否都在区间内；

（3）试判断在区间内是否有无穷数列中的项？若有，是第几项？若没有，请说明理由．

参考答案

1．【答案】C

【解析】由数列的定义可知A中{1，3，5，7}表示的是一个集合，而非数列，故A错误；

B中，数列中各项之间是有序的，故数列1，0，−1，−2与数列−2，−1，0，1是不同的数列，故B错误；

C中，数列{}的第k项为=1+，故C正确；

数列0，2，4，6，…的通项公式为an=2n−2，故D错．

故选C．

2．【答案】C

【解析】因为在上单调减，在单调减，

所以当时，此时，当时，此时，因此数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别为，

故选C.

3．【答案】D

【解析】，

因为，故，

当时，，

当时，，

故即且对任意的恒成立.

当时，，

故即且对任意的恒成立.

所以数列中的最小项为，最大项为.

故选D.

4．【答案】D

【解析】根据题意，an＝f(n)＝，n∈N*，要使{an}是递增数列，必有，据此有：，综上可得2<a<3.

故选D.

5．【答案】(－3，＋∞)

【解析】因为数列{an}是单调递增数列，

所以an＋1－an>0 (n∈N*)恒成立．

又an＝n2＋λn (n∈N*)，所以(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)>0恒成立，即2n＋1＋λ>0.

所以λ>－(2n＋1) (n∈N*)恒成立．

而n∈N*时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．

故填(－3，＋∞)

6．【答案】③④

【解析】①当时，，，当时，，因此数列不是递减数列，故①不正确；

②当时，，由于

因此数列一定有最大项，故②不正确；

③当时，，，因此数列为递减数列，正确；

④当为正整数时，，因此数列必有两项相等的最大项，故正确.

综上可知：只有③④正确.

故填③④.

7．【答案】（1）不是数列中的项；（2）中的各项都在区间内；（3）区间内有数列中的项，且只有一项，是第2项：．

【解析】（1）由题可得，

令，解得．

因为不是正整数，所以不是数列中的项．

（2）因为，

又，所以，所以．

所以数列中的各项都在区间)内．

（3）令，即，

即，解得，又，所以．

故区间内有数列中的项，且只有一项，是第2项：．