初中数学第二十二章 二次函数综合与测试习题

第二十二章 二次函数单元训练卷-2021-2022学年度人教版九年级数学上册

一、选择题

1.若函数 是关于x的二次函数，则m的值是（   ）           

A. 2                 B. -1或3                             C. 3                              D.   

2.对于函数 与 的图象的比较，下列说法不正确的是（   ）           

A. 开口都向下             B. 最大值都为0               C. 对称轴相同              D. 与x轴都只有一个交点

3.由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　）           

A. 其图象的开口向下                                          B. 其图象的对称轴为直线x＝4
C. 其顶点坐标为（4，2）                                   D. 当x＞3时，y随x的增大而增大

4.将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（   ）           

A. （﹣2，2）                       B. （﹣1，1）                     C. （0，6）                    D. （1，﹣3）

5.二次函数 的图象过 四个点，下列说法一定正确的是（   ）           

A. 若 ，则             B. 若 ，则
C. 若 ，则             D. 若 ，则

6.对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数.若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（   ）           

A. c＜                       B. 0＜c＜                     C. ﹣1＜c＜                D. ﹣1＜c＜0

7.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为 ，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　） 

A.  米                           B. 8米             C. 10米                             D. 2米

8.如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成-一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开。已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长。小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2。则：（   ）

A. 小明正确，小亮错误           B. 小明错误，小亮正确         C. 两人均正确          D. 两人均错误

9.如图，抛物线 与 轴只有一个公共点A（1，0），与 轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 ，则图中两个阴影部分的面积和为（   ） 

A. 1                                     B. 2                             C. 3                         D. 4

10.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：① 0；②﹣2＜b ；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n  ， 则正确的个数为（    ） 

A.1             B.2       C.3       D.4

二、填空题

11.二次函数 的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，平移后图象的函数表达式为________.   

12.将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，则h=________，k=________.   

13.如图，已知拋物线y=ax2 +bx+c与直线y=kx+m交于A(-3，-1)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是________。

14.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式________．

15.如图，正方形 的边长为4，， 、 、 、 分别是边 、 、 、 上的动点，  .则四边形 面积的最小值为________. 

16.已知抛物线 （ ， ， 是常数）， ，下列四个结论： 

①若抛物线经过点 ，则 ；

②若 ，则方程 一定有根 ；

③抛物线与 轴一定有两个不同的公共点；

④点 ， 在抛物线上，若 ，则当 时， .

其中正确的是________（填写序号）.

三、解答题

17.已知抛物线的顶点为(2，3)，且经过点(3，1)，求此抛物线对应的函数解析式。   

18.已知抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8．   

（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；   

（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求m的值．   

19.已知抛物线 经过 、 两点，求关于x的一元二次方程 的解.   

20.某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件若每件商品降价 元，每天的利润为 元，请完成以下问题的解答．   

（1）用含 的式子表示：①每件商品的售价为________元；②每天的销售量为________件；   

（2）求出 与 之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？   

21.二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧.   

（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；   

（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；   

（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围.   

22.农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同.以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）. 

（1）求直线AB的函数关系式；   

（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝ y+2.在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？   

23.如图，点 在函数 的图象上.已知 的横坐标分别为－2、4，直线 与 轴交于点 ，连接 . 

（1）求直线 的函数表达式；   

（2）求 的面积；   

（3）若函数 的图象上存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，则这样的点 共有________个.   

24.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC. 

（1）求该抛物线的表达式；   

（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；   

（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使 ，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.   

答案

一、现在通过

1.∵函数 是关于x的二次函数，

∴ ，且 ，

由 得， 或 ，

由 得， ，

∴ 的值是 ，

故答案为：C.

2.解：A、对于函数y=-3（x-1）2与y=-3x2中的a=-3＜0，则这两个抛物线的开口都向下，故本选项说法正确.

B、这两个抛物线顶点坐标分别是（1，0），（0，0），开口都向下，则它们的最大值都是0，故本选项说法正确.

C、对于函数y=-3（x-1）2与y=-3x2对称轴分别是x=1和y轴，对称轴不同，故本选项说法不正确.

D、函数y=-3（x-1）2与y=-3x2的图象与x轴的交点分别是（1，0），（0，0），即与x轴都只有一个交点，故本选项说法正确.

故答案为：C.

3.解： ，

a=3>0，抛物线开口向上，故A不正确；

对称轴为 ，故B正确；

顶点坐标为（4，-2），故C不正确；

当 时，y随x的增大而增大，故D不正确；

故答案为：B.

4.解：y=-x2-2x+3
=-（x2+2x+1）+4
=-（x+1）2+4
将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位即可得到
y=-x2+2
∴当x=-2时，y=-2；当x=-1时，y=1；当x=0时，y=2；当x=1时，y=1

故答案为：B.

5.解： 二次函数 的对称轴为：

，且开口向上，

距离对称轴越近，函数值越小，

，

A，若 ，则 不一定成立，故答案为：错误，不符合题意；

B,若 ，则 不一定成立，故答案为：错误，不符合题意；

C，若 ，所以 ，则 一定成立，故答案为：正确，符合题意；

D，若 ，则 不一定成立，故答案为：错误，不符合题意；

故答案为：C.

6.解：由题意知二次函数y=x2+x+c有两个不相等且小于1的二倍数，

∴x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，

整理，得：x2-x+c=0，

由x2-x+c=0有两个不相等的实数根知：△＞0，即1-4c＞0①，

令y=x2-x+c，画出该二次函数的草图如下：

而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x=1时，y=x2-x+c=c＞0②，

联立①②并解得：

0＜c＜ ，

故答案为：B.

7.解：当y＝0时，即 ＝0，

解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，

所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，

故答案为：B ．

8.解：设垂直于墙的一边的长为xm，隔离区的面积为ym2  ，
∴y=x（12-x）=-3（x-2）2+12，
∵12-3x≤5，
∴x≥  ，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，
∴当x=时，y有最大值为  ，
故小明错误，
当x=3时，y=9，
故小亮正确.

故答案为：B.

9.解：设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM.

由题意可知，AM=OB，

∵

∴OA=1，OB=AM=2，

∵抛物线是轴对称图形，

∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，

∵ ， ，

∴四边形ABOM为平行四边形，

∴ .

故答案为：B.

10.解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n），

∴对称轴x= ，

∴b=-2a＜0，

∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间

∴-3＜c＜-2＜0，

∴ 0；故①符合题意；

∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0），

∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0），

∵b=-2a

∴c= ，

∴-3＜ ＜-2，

∴﹣2＜b ，故②不符合题意；

∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0），

∴a-b+c=0，

∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③符合题意；

∵a＞0，∴-a＜0

∵b=-2a

∴3a+2b=-a＜0

∴2c﹣a＞2（a+b+c），

∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），

∴a+b+c=n  ，

∴2c﹣a＞2n；故④不符合题意；

故答案为：B

二、填空题

11.解：二次函数y=（x-1）2+1的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后图象的函数表达式为：y=（x-1-2）2+1+3，即y=（x-3）2+4.

故答案是：y=（x-3）2+4.

12.解： y=x2﹣2x+3
=x2﹣2x+1+2
=（x-1）2+2.
故答案为：1，2.

13.解： 根据图象可得不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是-3<x<0.
故答案为：-3<x<0.
14.解：如图所示．

由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），

设抛物线的表达式为y=ax2+11，

将点B的坐标（8，8）代入抛物线的表达式得： ，

所以抛物线的表达式为：y=﹣ x2+11．

15.解：设AE=x，则AE=BF=CG=DH=x，

∵正方形ABCD，边长为4，

∴AH=DG=BE=CF=4-x，

∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），

∴∠AEH+∠BEF=90°，∠EFB+∠GFC=90°，∠FGC+∠HGD=90°，

∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=90°，

∵EF=EH=HG=FG，

∴四边形EFGH是正方形，

在Rt△EAH中，EH2=AE2+AH2  ， 即EH2=x2+（4-x）2  ，

∴S四边形EFGH=EH2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，

当x=2时，S四边形EFGH有最小值8，

故答案为8.

16.解：∵抛物线经过点

∴ ，即9a-3b+c=0

∵

∴b=2a

故①正确；

∵b=c，

∴a=-2c，

∵cx2+bx+a=0

∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0

∴一定有根x=-2

故②正确；

当b2-4ac≤0时，图象与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③错误；

若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴 ，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>y2  ， 故④正确.

故填：①②④.

三、解答题

17. 解：设抛物线对应的函数解析式是y=a(x-2)2+3， 

把(3，1)代入得ax(3-2)2+3=1，解得a=-2，

所以抛物线解析式为y=-2(x-2)2+3

18. （1）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的对称轴为y轴， 

∴﹣ ＝0，

解得，m＝3，即m的值是3；

（2）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的顶点在x正半轴上， 

∴ ，

解得m＝11, 即m的值是11．

19.解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（4，0）， 

∴ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=4，

∵方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0可看作关于x-1的一元二次方程，

∴x-1=-3或x-1=4，

解得x1=-2，x2=5.

故答案为x1=-2，x2=5.

20. （1）（145−x）；（40＋2x）
（2）根据题意可得：y＝（145−x−80−5）（2x＋40），＝−2x2＋80x＋2400，＝−2（x−20）2＋3200， 

∵a＝−2＜0，

∴函数有最大值，

∴当x＝20时，y有最大值为3200元，此时售价为145−20＝125元，

∴售价为125元时利润最大，最大利润是3200元．

（1）由题意可知：①每件商品的售价为：（145−x）元；②每天的销售量为：（40＋2x）件；

故答案为：①（145−x），②（40＋2x）；

21. （1）解：∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a，

∴顶点横坐标为 =

（2）解：∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a= =﹣（x﹣p）（x﹣a），

∴p=-1

（3）解：∵二次函数图象顶点在y轴右侧，
∴  ，
∴a＞1.
设二次函数图象与x轴交点分别为C、D，C在D左侧，

令y=0，则-（x+1）（x-a）=0，
∴x=-1或a，
∴C（-1,0），D（a，0），
∴CD=a+1，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴A在CD上方，
∵过点（m+3,0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点x轴下方，如图，
∴CD≤3，
∴a+1≤3，
∴a≤2，
∴1＜a≤2.  

22. （1）解：设直线AB的函数关系式为 ， 

将 ， 代入可得： ，

解得： ，

∴直线AB的函数关系式 .

故答案为：

（2）解：将 代入 中， 

可得： ，

化简得： ，

设总销售额为 ，则

∵ ，

∴ 有最大值，当 时， 取到最大值，最大值为735.

故答案为：210.

23. （1）解：∵A，B是抛物线 上的两点， 

∴当 时， ；当 时，

∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（4，4）

设直线AB的解析式为 ，

把A，B点坐标代入得  

解得，  

所以，直线AB的解析式为：

（2）解：对于直线AB：   

当 时，

∴  

∴ = =6

（3）4  

解：（3）设点P的坐标为（ ， ）

 ∵ 的面积等于 的面积的一半，

∴ 的面积等于 =3，

①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，

∵

∴

整理，得，

解得， ，

∴在直线AB的下方有两个点P，使得 的面积等于 的面积的一半；

②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，

∵

∴

整理，得，

解得， ，

∴在直线AB的上方有两个点P，使得 的面积等于 的面积的一半；

综上，函数 的图象上存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，则这样的点 共有4个，

故答案为：4.

24.（1）解： 抛物线的对称轴为 ， 

，

，

点 的坐标为 ，

，

抛物线的解析式为 ，

点 在抛物线上，

，

，

，

抛物线的解析式为 ；

（2）解：Ⅰ、当点 在 轴上方时，如图1， 

记 与 的交点为点 ，

，

，

直线 垂直平分 ，

点 在直线 上，

点 ， ，

直线 的解析式为 ，

当 时， ，

点 ，

点 点 关于 对称，

，

直线 的解析式为 ，

即直线 的解析式为 ；

Ⅱ、当点 在 轴下方时，如图2，

，

，

由Ⅰ知，直线 的解析式为 ，

直线 的解析式为 ，

即直线 的解析式为 ；

综上，直线 的解析式为 或 ；

（3）解：由（2）知，直线 的解析式为 ①， 

抛物线的解析式为 ②，

  或 ，

，

，

，

，

点 在 轴左侧的抛物线上，

设 ， ，

过 作 轴的平行线交直线 于 ，

，

，

，

或 （舍）或 或 ，

或 或 .