数学人教A版 (2019)第四章 数列4.1 数列的概念课堂检测

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4.1 数列的概念与简单表示法（1）

一、单选题

1．已知数列中，2n+5，则（    ）

A．13    B．12    C．11    D．10

【答案】C

【解析】由已知得2×3+5=11．

故选C．

2．有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点.其中真命题的个数为（    ）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

【答案】B

【解析】对①，数列其通项公式，也可以是，故①错误；

对②，数列的项与具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误；

对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；

对④，由数列的定义知命题正确.

故选B.

3．已知数列-1，0，，，…，，…中，则是其（    ）

A．第14项   B．第12项   C．第10项   D．第8项

【答案】B

【解析】令=，化为：5n2﹣72n+144=0，

解得n=12，或n=（舍去）．

故选B．

4．数列的通项公式不满足下列递推公式的是（    ）

A．     B．

C．  D．

【答案】D

【解析】将代入四个选项得：

A. 成立；

B. 成立；

C.   成立；

D. 不恒成立。

故选D

5．数列的一个通项公式为（    ）

A．   B．  C．  D．

【答案】B

【解析】A项的前四项为，与题意不符；

B项的前四项为，与题意相符；

C项的前四项为，与题意不符；

D项的前四项为，与题意不符；综上所述，

故选B

6．数列2,5,11,20，x，47...中的x等于（    ）

A．28    B．32    C．33    D．27

【答案】B

【解析】因为数列的前几项为，

其中，

可得，解得，

故选B.

7．数列的一个通项公式是（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】B

【解析】所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为（﹣1）n，

故此数列的一个通项公式是，也可以通过将带入选项，验证选项，得到答案.

故选B．

8．已知数列…，则是这个数列的（    ）

A．第六项   B．第七项   C．第八项   D．第九项

【答案】B

【解析】由数列前几项归纳可知通项公式为,

时,,为数列第七项，

故选B.

9．已知数列对任意的满足，且，那么等于（    ）

A．   B．    C．    D．

【答案】C

【解析】∵对任意的p，q∈N*，满足ap＋q＝ap＋aq，∴p＝q＝n时，有a2n＝2an．

又a2＝－6，∴a8＝2a4＝4a2＝－24，故a10＝a2＋a8＝－30．

故选C

10．数列的通项公式是，，这个数列第几项起各项都为负数？（    ）

A．第6项   B．第7项   C．第8项   D．第9项

【答案】C

【解析】由题,令,即,或

,

数列从第8项起各项都为负,

故选C

11．已知，（），则数列的通项公式是（    ）

A．   B．   C．    D．

【答案】C

【解析】由，得：，

∴为常数列，即，故，

故选C

12．已知数列，，那么等于（    ）

A．   B．   C．    D．

【答案】A

【解析】由已知得：

，，，，

，，，

故数列为周期数列，周期为6，

故选A

二、填空题

13．已知数列的通项公式为，那么是这数列的第_____项.

【答案】9

【解析】令，即，解得或(舍去)，

则是这数列的第9项，

故填9.

14．数列，，，，，的一个通项公式为______.

【答案】

【解析】数列中的每一项是一负一正交替出现，所以通项有，

因为；，，，

所以.

故填.

15．已知数列满足，则_______.

【答案】

【解析】，，，，，

得到，故数列为周期为4的周期数列，。

故填

16．根据下列5个图形及相应点的个数变化规律.试猜测第6个图形中有________个点.

…

【答案】31

【解析】观察图像得第一图1个点，第二图3个点，第三图7个点，第四图13个点，第五图21个点，所以猜想第个图有个点，

故，

故填31.

17．已知正项数列{an}，满足an＋1＝，则an与an＋1的大小关系是________．

【答案】an＋1<an

【解析】∵

∴

∵数列为正项数列

∴，即.

故填.

18．设数列中，，则通项___________．

【答案】

【解析】∵∴，，

，，，，

将以上各式相加得：

故填

三、解答题

19．已知数列满足，且，求.

【解析】当时，，

即，解得，

当时，，即，解得

综上：

20．根据下列数列的首项和递推公式，写出数列前项，并由此归纳出它的通项公式.

（1），；

（2），.

【解析】（1），，

，，，，，

所以，数列的通项公式为；

（2），.

，，，，.

所以，数列的通项公式为.

21．在数列中，已知，.

（1）求证：；

（2）若，求的值；

（3）若，求的值.

【解析】（1）当时，因为，

所以等式成立.

（2）由（1）知数列是以2为周期的周期数列，

所以.

（3）因为，所以，

由于数列是以2为周期的，

所以.

22．已知函数的图象与轴正半轴的交点为，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令（为正整数），问是否存在非零整数，使得对任意正整数，都有？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【解析】（1）设，得，．

所以 ；

（2），若存在，满足恒成立

即：，

恒成立 

当为奇数时，

当为偶数时，

所以，

故： .