浙教版九年级上册第1章二次函数综合与测试同步练习题

展开

这是一份浙教版九年级上册第1章二次函数综合与测试同步练习题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 (-1,0) 、 (3,0) ，且与y轴交于点 (0,-5) ，则当 x=2 时，y的值为（）
A.-5 B.-3 C.-1 D.5
2.已知抛物线 y=ax2+bx+c 上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
以下结论正确的是（）
A. 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下
B. 当 x<3 时，y随x增大而增大
C. 方程 ax2+bx+c=0 的根为0和2
D. 当 y>0 时，x的取值范围是 03.在平面直角坐标系中，将二次函数 y=x2 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）
A. y=(x-2)2+1 B. y=(x+2)2+1 C. y=(x+2)2-1 D. y=(x-2)2-1
4.如图，已如抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上，与 x 轴的一个交点为 (-1,0) ，对称轴为直线 x =1 .下列结论错误的是（）
A. abc>0 B. b2>4ac C. 4a+2b+c>0 D. 2a+b=0
5.已知 y=2x2-4x+1 ，且 {x+n=2m-32x-n=m ，其中 m≤3 ， n≥-3 ，则 y 的取值范围（）
A. -1≤y≤17 B. 1≤y≤17 C. -1≤y≤8 D. -1≤y≤1
6.如图，矩形 OABC 中， A(-3,0) ， C(0,2) ，抛物线 y=-2(x-m)2-m+1 的顶点 M 在矩形 OABC 内部或其边上，则 m 的取值范围是（）
A. -3≤m≤0 B. -3≤m≤-1 C. -1≤m≤2 D. -1≤m≤0
7.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（）人
A. 56 B. 55 C. 54 D. 53
8.小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数 y=-112x2+23x+53 ，则小明此次成绩为（）
A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米
9.如图是二次函数 y1=ax2+bx+c(a≠0) 和一次函数 y2=mx+n(m≠0) 的图象.则下列结论正确的是（）
A. 若点 M(-2,d1),N(12,d2),P(2,d3) 在二次函数图像上，则 d1B. 当 x<-12 或 x>3 时， y1>y2
C. 2a-b=0
D. 当 x=k2+2 （ k 为实数）时， y1≤c
10.如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(-1,0) ， B(3,0) ，与y轴交于点C ．下列结论：
① ac>0 ；②当 x>0 时，y随x的增大而增大；③ 3a+c=0 ；④ a+b≥am2+bm ．
其中正确的个数有（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11.二次函数y＝x2﹣2x＋m的最小值为2，则m的值为________．
12.抛物线 y=(x-2)2+3 的顶点坐标是________．
13.某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为________元．
14.已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为________．
15.抛物线 y=(a2+2)x2+bx+c 经过点 A(-1,t) ， B(5,t) 两点，则不等式 (a2+2)(x+3)2+bx>-3b-c+t 的解集是________.
16.如图，矩形 ABCD 中AB＝2，AD＝5，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）.连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则 ΔDEF 面积最小值为________.
三、解答题
17.二次函数图像的顶点坐标是（-2，3），并经过点（1，2），求这个二次函数的函数关系式．
18.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．
19.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t ，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50＋0.2x ，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
20.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面 OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 OA=8m ，桥拱顶点 B 到水面的距离是 4m .
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为 1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 O 点 0.4m 时，桥下水位刚好在 OA 处.有一名身高 1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) ，该抛物线在 x 轴下方部分与桥拱 OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移 m(m>0) 个单位长度，平移后的函数图象在 8≤x≤9 时， y 的值随 x 值的增大而减小，结合函数图象，求 m 的取值范围.
21.如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m）与x轴的正半轴交于点C.
（1）求a，m的值和点C的坐标；
（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当 PBPA=25 时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由.
22.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）.
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1 ，求实数m的最小值.
23.在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+2mx+2m2-m 的顶点为A ．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点 B(2,yB) ， C(5,yC) 在抛物线上，且 yB>yC ，则m的取值范围是________；（直接写出结果即可）
（3）当 1≤x≤3 时，函数y的最小值等于6，求m的值．
24.在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx-3 交x轴于点 A(-1,0) ， B(3,0) ，过点B的直线 y=23x-2 交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B ， C重合），求 △PBC 面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON ，是否存在点M ，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题
1.解：∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 (-1,0) 、 (3,0) ，且与y轴交于点 (0,-5) ，
∴ {c=-5a-b+c=09a+3b+c=0 ，
解方程组得 {c=-5a=53b=-103 ，
∴抛物线解析式为 y=53x2-103x-5 ，
当 x=2 时， y=53×4-103×2-5=-5 ．
故答案为：择A．
2.解：将 (-1,3),(0,0),(3,3) 代入抛物线的解析式得；
{a-b+c=3c=09a+3b+3=3 ，
解得： a=1,b=-2,c=0 ，
所以抛物线的解析式为： y=x2-2x=x(x-2)=(x-1)2-1 ，
A、 ∵a>0 ，抛物线开口向上，不符合题意，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线 x=1 ，在 1C、方程 ax2+bx+c=0 的根为0和2，符合题意，符合题意；
D、当 y>0 时，x的取值范围是 x<0 或 x>2 ，不符合题意，不符合题意；
故答案为：C．
3.解：∵ y=x2 的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数 y=x2 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为 y=(x+2)2+1 ，
故答案为：B
4.解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x =1 ，
∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，
∴abc＞0，故A不符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；
∴ b2-4ac>0, 即 b2>4ac, 故B不符合题意；
当x=2时， y=4a+2b+c<0 ，即 4a+2b+c<0 ，故C符合题意；
∵抛物线对称轴为直线 x=-b2a=1
∴ b=-2a ，即 2a+b=0 ，故D不符合题意，
故答案为：C.
5.解：由 {x+n=2m-32x-n=m 可得：
{x=n+1x=m-1 ，
∵m≤3，n≥-3，
∴ {x=n+1≥-3+1=-2x=m-1≤3-1=2 ，
即-2≤x≤2，
∵y=2x2-4x+1，
对称轴为直线x= -b2a =1且a=2＞0，开口向上，
∴当x=1时，y有最小值，最小值为y=2×12-4×1+1=-1，
当x=-2时，y有最大值，最大值为y=2×（-2）2-4×（-2）+1=17，
∴-1≤y≤17，
故答案为：A.
6.解：抛物线 y=-2(x-m)2-m+1 的顶点坐标M为（m ， -m＋1），
∵ A(-3,0) ， C(0,2) ，
∴ {-3≤m≤00≤-m+1≤2 ，
∴-1≤m≤0，
故答案为：D ．
7.解：设旅行团人数为x人，此时的营业额为y元，则 x≥30 ，
由题意得： y=[800-10(x-30)]x=-10(x-55)2+30250 ，
由二次函数的性质可知，在 x≥30 内，当 x=55 时，y取得最大值，
即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，
故答案为：B．
8.解：当 y=0 时， -112x2+23x+53=0 ，即 (x+2)(x-10)=0 .
解得： x1=-2 （舍）， x1=10 .
则小明此次成绩时10米.
故答案为：B.
9.解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，且|-2-1|＞|2-1|＞ |12-1| ，
∴d1＜d3＜d2 ，故A错误；
无法求得两个函数图象的交点坐标，故B错误；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴ -b2a=1 ，
∴2a+b=0，故C错误；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴点（0，c）与点（2，c）关于对称轴对称，
∴当x=k2+2（k为实数）时，y1≤c，故D正确.
故答案为：D.
10.∵二次函数的图象经过点A(—1，0)，B(3， 0)
∴对称轴 x=-b2a=1,a-b+c=0
∴b =-2a ， c = -3a
∵二次函数的图象开口向下
∴a < 0
∴2a+b+c = -3a >0，∴ac＜0故①不符合题意；
∵二次函数的图象开口向下，对称轴 x=-b2a=1 ，
∴当x >1时，y随x的增大而减小；故②不符合题意；
∵c = -3a
∴3a+c=0，故③符合题意；
由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a)
∵当x=1时，y最大=a+b+c ，当x=m时，y= am2+bm+c
∴ a+b≥am2+bm 故④符合题意；
故答案为：B
二、填空题
11.解：y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，
∵a＝1＞0，
∴当x＝1时，y有最小值为m﹣1，
∴m﹣1＝2，
∴m＝3．
故答案为：3．
12.解：∵抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），
∴抛物线 y=(x-2)2+3 的顶点坐标是（2，3），
故答案为：（2，3）．
13.解：设销售单价为x元时，销售利润最大，
单价利润为（x-20）元，
销售数量为280-（x-30）•10，
∴利润总额为y=（x-20）•[280-（x-30）•10]，
化简得：y=-10x2+780x-11600，
配方得：y=-10(x-39)2+3610，
当单价为39元时，有最大利润3610元，
故答案为：39．
14.解：当a﹣1＝0时，即a＝1时，函数为y＝﹣2x﹣2，此一次函数与坐标轴共有两个交点；
当a﹣1≠0，此函数为二次函数，
若a﹣3＝0，抛物线解析式为y＝2x2﹣6x ，抛物线经过原点且抛物线与x轴有两个交点；
若△＝0，抛物线的顶点在x轴上，即△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）（a﹣3）＝0，
解得：a＝ 34 ，
抛物线解析式为y＝﹣ 14 x2﹣ 32 x﹣ 94 ＝﹣ 14 （x+3）2 ，抛物线的顶点为（﹣3，0），则抛物线与x轴和y轴各一个交点，则与坐标轴共有两个交点．
综上所述，a的值为1或3或 34 ．
故答案为：1或3或 34
15.解：∵ (a2+2)(x+3)2+bx>-3b-c+t
∴ (a2+2)(x+3)2+b(x+3)+c>t
由 y=(a2+2)x2+bx+c 的向左平移3个单位得到， y'=(a2+2)(x+3)2+b(x+3)+c
∵抛物线 y=(a2+2)x2+bx+c 经过点 A(-1,t) ， B(5,t) 两点
∴ y'=(a2+2)(x+3)2+b(x+3)+c 的经过点（-4，t），（2，t），
∵ a2+2>0
∴ y' 开口向上
∴当 x>2 或 x<-4 时 (a2+2)(x+3)2+b(x+3)+c>t
即 (a2+2)(x+3)2+bx>-3b-c+t 的解集为 x>2 或 x<-4
故答案： x>2 或 x<-4
16.解：由题意得：AP=t，PD=5-t，
∴ S△PDC=12PD⋅CD=5-t ，
∵四边形PCEF是正方形，
∴ S△DEF+S△PDC=12S正方形EFPC ，
∵ PC2=PD2+CD2 ，
∴ PC2=22+(5-t)2=t2-10t+29 ，
∴ S△DEF=12(t2-10t+29)-(5-t)=12t2-4t+192=12(t-4)2+32 ，
∴当t=4时，△DEF的面积最小，最小值为 32 .
故答案为： 32 .
三、解答题
17. 解：设二次函数解析式为y＝a（x＋2）2＋3，
把（1，2）代入得9a＋3＝2，解得a＝ -19 ，
所以二次函数解析式为：y＝ -19 （x+2）2+3．
18. 解：设AB＝xm，矩形ABCD的面积设为y（平方米），
则AB＋EF＋CD＝3x，
∴AD＝BC＝ 900-3x2 ．
∴y＝ x•900-3x2 ＝ -32x2+450x ．
由于二次项系数小于0，所以y有最大值，
∴当AB=x＝ -b2a ＝ -450÷[2×(-32)] ＝150时，函数y取得最大值．
当AB=150m，矩形ABCD的面积最大
19. （1）解：设y与x之间的函数关系式为 y＝kx+b ，
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得： {20k+b=1530k+b=12.5 ，
解得： {k=-14b=20 ，
∴y与x之间的函数关系式为 y=-14x+20 ；
（2）解：设销售收入为P（万元），
∴ P=(1-20%)xy=45×(-14x+20)x=-15x2+16x ，
∴P与x之间的函数关系式为 P=-15x2+16x ；
（3）解：设销售总利润为W，
∴ W=P-6.2x-m=-15x2+16x-6.2x-(50+0.2x) ，
整理，可得： W=-15x2+485x-50=-15(x-24)2+3265 ，
∵﹣ 15 ＜0，
∴当 x＝24 时，W有最大值为 3265 ，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是 3265 万元．
20. （1）解：根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得： a=-14 ，
∴二次函数的解析式为：y= -14 (x-8)x= -14 x2+2x（0≤x≤8）
（2）解：由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y= -14 x2+2x，得y= -14 ×12+2×1= 74 ＞1.68，
答：他的头顶不会触碰到桥拱
（3）解：由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y= 14 x2-2x，
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=- 14 x2+2x，
∴新函数表达式为： y={14x2-2x(0≤x≤8)-14x2+2x(x〈0或x〉8) ，
∵将新函数图象向右平移 m(m>0) 个单位长度，
∴ O' （m，0）， A' （m+8，0）， B' （m+4，-4），如图所示，
根据图象可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在 8≤x≤9 时， y 的值随 x 值的增大而减小.
21 （1）解：把 A(-1,5) 代入函数解析式得：
-20a=5,
∴a=-14,y=-14(x-3)(x+6),
把 B(-5,m) 代入 y=-14(x-3)(x+6),
∴m=-14×(-8)×1=2,B(-5,2).
令 y=0,
∴-14(x-3)(x+6)=0,
∴x1=3,x2=-6,
结合题意可得： C(3,0).
（2）解：如图，设 P(x,0), 而 A(-1,5),B(-5,2),
∴PA2=(x+1)2+25,PB2=(x+5)2+4,
∵PBPA=25，则 PB2PA2=425,
∴4PA2=25PB2,
∴4(x2+2x+26)=25(x2+10x+29),
∴21x2+242x+621=0,
∴(7x+27)(3x+23)=0,
∴x1=-277,x2=-233,
∴P(-277,0),P(-233,0).
（3）解：存在，理由如下：
如图，连接 AB, 过 C 作 CM//AB 交抛物线于 M,
则 A,B 到直线 CM 的距离相等，
设直线 AB 为 y=kx+b,
∴{-k+b=5-5k+b=2, 得： {k=34b=234,
∴ 直线 AB 为 y=34x+234,
由 AB//CM, 设 CM 为 y=34x+n ，而 C(3,0),
∴n=-94, 则直线 CM 为 y=34x-94,
∴{y=34x-94y=-14(x-3)(x+6)
解得： {x=3y=0 或 {x=-9y=-9,
∴M(-9,-9).
如图，当 CM 过 AB 的中点 D 时，则 S△BCD=S△ACD,
∴A,B 到 CM 的距离相等，
∵A(-1,5),B(-5,2), 则 D(-3,72),
同理可得： CD 的解析式为： y=-712x+74,
∴{y=-712x+74y=-14(x-3)(x+6),
解得： {x=3y=0 或 {x=-113y=359,
∴M(-113,359).
综上： M(-9,-9) 或 M(-113,359).
22. （1）解：∵二次函数的图象经过点（0，4），
∴c＝4；
∵对称轴为直线：x＝﹣ b2 ＝1，
∴b＝﹣2，
∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4
（2）解：当b2﹣c＝0时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x2+bx+b2 ，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当b＜﹣ b2 ，即b＜0时，二次函数的最小值在x＝b处取到；
∴b2+b2+b2＝21，解得b＝ 7 ，b＝﹣ 7 舍去；
②b﹣3＞﹣ b2 ，即b＞2时，二次函数的最小值在x＝b﹣3处取到；
∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b＝4，b＝﹣1（舍去）；
③b﹣3≤﹣ b2 ≤b，即0≤b≤2时，二次函数的最小值在x＝﹣ b2 处取到；
∴（﹣ b2 ）2+b•（﹣ b2 ）+b2＝21，解得b＝±2 7 （舍去）.
综上，b的取值为 7 或4.
（3）解：由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，
对称轴为直线：x＝1，
∵1＞0，
∴当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，且最大值为4；
∵二次函数y2＝2x2+x+m的对称轴为直线：x＝﹣ 14 ，且2＞0，
∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，且最小值为m，
∵当0≤x≤1时，总有y2≥y1 ，
∴m≥4，即m的最小值为4.
23. （1）解：由题意可知：
抛物线 y=x2+2mx+2m2-m=(x+m)2+m2-m ，
∴顶点A的坐标为 (-m,m2-m)
（2）m<-72
（3）解：二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为 x=-m ，
分类讨论：
①当 -m<1 ，即 m>-1 时，
x=1 时二次函数取得最小值为 y=12+2m+2m2-m=2m2+m+1 ，
又已知二次函数最小值为6，
∴ 2m2+m+1=6 ，解得 m=-1+414 或 m=-1-414 ，
又 m>-1 ，故 m=-1+414 符合题意；
②当 -m>3 ，即 m<-3 时，
x=3 时二次函数取得最小值为 y=32+2m×3+2m2-m=2m2+5m+9 ，
又已知二次函数最小值为6，
∴ 2m2+5m+9=6 ，解得 m=-32 或 m=-1 ，
又 m<-3 ，故 m=-32 或 m=-1 都不符合题意；
③当 1≤-m≤3 ，即 -3≤m≤-1 时，
x=m 时二次函数取得最小值为 y=m2+2m2+2m2-m=m2-m ，
又已知二次函数最小值为6，
∴ m2-m=6 ，解得 m=3 或 m=-2 ，
又 -3≤m≤-1 ，故 m=-2 符合题意；
综上所述， m=-1+414 或 -2
解：(2)将 B(2,yB) 代入 y=x2+2mx+2m2-m 中，
得到 yB=22+2m×2+2m2-m=2m2+3m+4 ，
将 C(5,yC) 代入 y=x2+2mx+2m2-m 中，
得到 yC=52+2m×5+2m2-m=2m2+9m+25 ，
由已知条件知： yB>yC ，
∴ 2m2+9m+25<2m2+3m+4 ，
整理得到： 6m<-21 ，
解得： m<-72 ，
故m的取值范围是： m<-72 ；
24. （1）解：将点 A(-1,0) ， B(3,0) 代入 y=ax2+bx-3 中，得：
{0=a-b-30=9a+3b-3
解得 {a=1b=-2
∴该抛物线表达式为 y=x2-2x-3
（2）解：过点P作 PD//y 轴，交x轴于点D，交BC于点E，作 CF⊥PD 于点F，连接PB，PC，如图．
设点 P(m,m2-2m-3) ，则点 E(m,23m-2) ．
∵点P、E均位于直线 y=23x-2 的下方
∴P、E两点的纵坐标均为负
∴ PE=-m2+2m+3 ， DE=-23m+2
∴ PE=PD-DE=-m2+2m+3-(-23m+2) =-m2+83m+1
∵点C的坐标为方程组 {y=x2-2x-3y=23x-2 的一个解
∴解这个方程组，得 x1=3 ， x2=-13
∵点B坐标为 (3,0)
∴点C的横坐标为 -13
∴ BD+CF=3+|-13|=103
∴ S△PBC=S△PEB+S△PEC
=12PE⋅BD+12PE⋅CF
=12PE(BD+CF)
=12(-m2+83m+1)⋅103
=-53(m-43)2+12527 ．（其中 -13∵ -53<0
∴这个二次函数有最大值，且当 m=43 时， S△PBC 的最大值为 12527
（3）解：存在
设M(p,q)，其中 q=p2-2p-3 ，且p≠0，则直线OM的解析式为： y=qpx
由于ON⊥OM，则直线ON的解析式为： y=-pqx
解方程组 {y=-pqxy=23x-2 ，得 x=6q2q+3p ， y=-6p2q+3p
即点N的坐标为 (6q2q+3p,-6p2q+3p)
∴ ON2=(6q2q+3p)2+(-6p2q+3p)2=36(p2+q2)(2q+3p)2
∵ OM2=p2+q2 ，且OM=ON
∴ 36(p2+q2)(2q+3p)2=p2+q2
∴ (2q+3p)2=36
即 2q+3p=6 或 2q+3p=-6
把 q=p2-2p-3 代入两式中并整理，得： 2p2-p-12=0 或 2p2-p=0
解方程得： p1=1-974 ， p2=1+974 ， p3=12 ， p4=0 (舍去)
当 p1=1-974 时， q1=21+3978 ；当 p2=1+974 时， q2=21-3978 ；当 p3=12 时， q3=-154
故点M的坐标分别为： (1-974,21+3978) 或 (1+974,21-3978) 或 (12,-154)
当p=0时，则q=－3，即M(0,－3)，而 B(3,0) ，且OM⊥OB
即此时点M也满足题意
综上所述，满足题意的点M的坐标为 (0,-3) 或 (1-974,21+3978) 或 (1+974,21-3978) 或 (12,-154)
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
m
3
…