高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质教学设计及反思，共12页。教案主要包含了第1课时，教学过程，第2课时，教学目标，核心素养等内容，欢迎下载使用。
【第1课时】
不等关系与不等式
【教学过程】
一、新知初探
1．不等关系
不等关系常用不等式来表示．
2．实数a，b的大小比较
3．重要不等式
一般地，∀a，b∈R，有（a－b）2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．
二、初试身手
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为（ ）
A．T40
C．T≤40D．T≥40
答案：C
解析：限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40．
2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（ ）
A．v≤120km/h且d≥10m
B．v≤120km/h或d≥10m
C．v≤120km/h
D．d≥10m
答案：A
解析：v的最大值为120km/h，即v≤120km/h，车间距d不得小于10m，即d≥10m，故选A．
3．雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4．5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．
答案：4.5t0．
4．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．
解：由题意知，500x＋400y≤20 000，
即5x＋4y≤200．
【第2课时】
不等式及其性质
【教学过程】
一、新知初探
不等式的基本性质
（1）对称性：a＞b⇔b＜a．
（2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c．
（3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c．
（4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc．
（5）加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d．
（6）乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd．
（7）乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0（n∈N，n≥2）．
二、初试身手
1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）
A．a－b＞d－c
B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c
D．a－c＜a－d
答案：B
解析：根据不等式的性质判断．
2．与a>b等价的不等式是（ ）
A．|a|>|b|
B．a2>b2
C．eq \f(a,b)>1
D．a3>b3
答案：D
解析：可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A，B正确而不满足a>b．再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D．
3．设x0，∴ax>a2．
∴x2>ax>a2．
三、合作探究
类型1：利用不等式性质判断命题真假
例1：对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
C．若a＜b＜0，则eq \f(b,a)＞eq \f(a,b)
D．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＞0，b＜0
思路点拨：本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．
答案：D
解析：法一：∵c2≥0，∴c＝0时，
有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq \f(a,ab)＞eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，
故B为假命题；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0⇒－a＞－b＞0))
⇒eq \f(a,b)＞eq \f(b,a)，
故C为假命题；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b⇒b－a＜0，,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))ab＜0．
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝1．
有eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，故B错．取a＝－2，b＝－1，
则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2，有eq \f(b,a)＜eq \f(a,b)，故C错．
规律方法
运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练
1．下列命题正确的是（ ）
A．若a2＞b2，则a＞b
B．若eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若eq \r(a)＜eq \r(b)，则a＜b
答案：D
解析：A错，例如（－3）2＞22；B错，例如eq \f(1,2)＞eq \f(1,－3)；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b．
类型2：利用不等式性质证明简单不等式
例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2)．
思路点拨：可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0．
∴（a－c）2＞（b－d）2＞0．
两边同乘以eq \f(1,a－c2b－d2)，
得eq \f(1,a－c2)＜eq \f(1,b－d2)．
又e＜0，∴eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2)．
母题探究
本例条件不变的情况下，求证：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d)．
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d)．
又∵e＜0，∴eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d)．
规律方法
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
1．利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
2．应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
跟踪训练
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－acb，c>0，∴ac>bc．
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，
∴f－ac