人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系教案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系教案设计，共6页。教案主要包含了教材分析，教学目标，核心素养，教学重难点，课前准备，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。

【教材分析】
本节内容结合初三学过的一元二次方程，三角形相似，勾股定理，必修一集合的知识，让学生通过古代数学语言，体会数学在实际生活中的应用，了解近年来高考的语境。
【教学目标】
1．掌握一元二次方程一般式解集的方法．
2．掌握一元二次方程根与系数的关系．
3．会用整体代入法解一元二次方程．
4．学会用配方法推出一元二次方程的解集．
5．灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题．
【核心素养】
1．数学抽象：学会整体代入法解特殊一元二次方程思想方法。
2．逻辑推理：由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其过程。
3．数学建模：在实际情景中分析问题，构建一元二次方程模型，计算结果，检验结果实际性。
4．数学运算：掌握解一元二次方程的运算法则，选择运算方法。
5．数据分析：对特殊一元二次方程选择相关系数进行分析，得出简捷运算方法。
【教学重难点】
教学重点
1．掌握用配方法，整体代入法解一元二次方程．
2．用根与系数的关系解题．
3．实际情景问题中构建一元二次方程模型．
教学难点
1．用整体代入法解一元二次方程．
2．灵活运用根与系数的关系，基础恒等式解决问题．
【课前准备】
回顾初中所学的一元二次方程，三角形相似，勾股定理等知识。
【教学过程】
一、一元二次方程的解集
情境与问题
我们知道，形如
ax2+bx+c=0
的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0．
从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？
尝试与发现
你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明．
不难知道，如果一个一元二次方程可以化为
x2=t
的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集①是容易获得的．（①如不特别声明，本书中所说的一元二次方程的解均指的是实数解，下同。）
例如，方程x2=3的解集为{一，}，方程x2=0的解集为{0}，方程x2=-2的解集为∅．
一般地，方程x2=t：
当t>0时，解集为{，-}；
（2）当t=0时，解集为{0}；
（3）当t<0时，解集为∅．
更进一步，形如（x-k）2=t（其中k，t是常数）的一元二次方程的解集也容易得到．例如，由（x-1）2=2可知x-1=﹣或x-1=，从而x=1-或x=1+，因此解集为{1-，1+}．
一般地，方程（x-k）2=t：
当t>0时，解集为________；
当t=0时，解集为________；
当t<0时，解集为________．
因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为（x-k）2=t的形式，就可得到方程的解集．
尝试与发现
怎样将x2+2x+3=0化为（x-k）2=t的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集．
我们知道，利用配方法可得
x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2
因此x2+2x+3=0可以化为（x+1）2=﹣2，从而解集为∅．
事实上，利用配方法，总是可以将ax2+bx+c=0（a≠0）化为（x-k）2=t的形式。过程如下：因为a≠0，所以
一般地，Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式．由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定。
前述情境与问题中的方程可以化为（x+17）2=71289，从而可解得x=250或x=-284（舍）．
典型例题
例1：求方程的解集．
分析：这不是一个一元二次方程，但是通过把看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程．
解：设=y，则y≥0，且原方程可变为
因此可知y=1+或y=1-（舍）
从而=1+，即x=3+2，所以原方程的解为{3+2}．
二、一元二次方程根与系数的关系
我们知道，当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解集不是空集时，这个方程的解可以记为
①
①当Δ=0时，x1=x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根．
尝试与发现
这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系．
典型例题
例2：已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
（1）x12+x22；（2）|x1-x2|．
尝试与发现
解：如下图所示：
【教学反思】
本节内容新引用了“整体代入法”数学思想，也有一元二次方程常考的“分类讨论”思想，对学生的运算能力有一定的要求。