专题02 二次函数及指、对数函数的问题的探究-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点

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1、已知4a＝2，lgax＝2a，则正实数x的值为________．
【答案】： eq \f(1,2)
【解析】：由4a＝2，得22a＝21，所以2a＝1，即a＝eq \f(1,2).由lgeq \f(1,2)x＝1，得x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1)＝eq \f(1,2).
2、函数的定义域为 ．
【答案】：
【解析】：由题意，，即，即，解得.
3、 函数f(x)＝lg2(－x2＋2eq \r(2))的值域为________．
【答案】|、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
【解析】：由题意可得－x2＋2eq \r(2)>0，即－x2＋2eq \r(2)∈(0,2eq \r(2)]，故所求函数的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))).
4、 设函数f(x)＝x2－3x＋a.若函数f(x)在区间(1,3)内有零点，则实数a的取值范围为________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(9,4)))
解法1 由f(x)＝0得a＝－x2＋3x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(9,4).因为x∈(1,3)，所以－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(9,4)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(9,4)))，所以a∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(9,4))).
解法2 因为f(x)＝x2－3x＋a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2－eq \f(9,4)＋a，所以要使函数f(x)在区间(1,3)内有零点，则需feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))≤0且f(3)>0，解得0eq \a\vs4\al(解后反思) 解法1将函数有零点的问题转化为方程后，再分离出参数a，从而转化为求函数的值域来加以解决，这体现了函数与方程之间的相互转化关系的应用；解法2则是借助于函数的图像，通过数形结合的方法来解决的．
5、 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的图像与x轴相切，若直线y＝c与y＝c＋5分别交f(x)的图像于A，B，C，D四点，且四边形ABCD的面积为25，则正实数c的值为________．
【答案】4
【解析】：由题意得a2＝4b.又由x2＋ax＋b＝c得AB＝|x1－x2|＝eq \r(a2－4b－c)＝2eq \r(c).同理CD＝2eq \r(c＋5).因为四边形ABCD为梯形，所以25＝eq \f(1,2)(2eq \r(c＋5)＋2eq \r(c))×5，解得c＝4.
6、．已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是 ．
【答案】：
7、．如图，已知正方形的边长为，平行于轴，顶点，和分别在函数，和()的图象上，则实数的值为 ．
y
x
O
A
D
B
C
【答案】
【解析】： 设（），因为正方形的边长为2，所以，，
则，即，解之得，即所求的实数的值为．
8、若，则a的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】由题意知，所以，解得，所以a的取值范围是.
9、已知函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,2x)))的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，则实数a的值为________．
【答案】eq \r(2) 解法1 由1－eq \f(a,2x)>0，得2x>a.显然a>0，所以x>lg2a.由题意，得lg2a＝eq \f(1,2)，即a＝eq \r(,2).
解法2 (秒杀解法)当x＝eq \f(1,2)时，必有1－eq \f(a,2x)＝0，解得a＝eq \r(,2).
10、 已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是________．
【答案】[－5，－2]
【解析】：因为x∈(0,2]，函数f(x)＝2x－1，所以f(x)的值域为(0,3]．又因为f(x)是[－2,2]上的奇函数，所以x＝0时，f(0)＝0，所以在[－2,2]上f(x)的值域为[－3,3]．而在[－2,2]上g(x)的值域为[m－1,8＋m]．如果对于任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则有[－3，3]⊆[m－1,8＋m]，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8＋m≥3，,m－1≤－3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－5，,m≤－2，))所以－5≤m≤－2.
11、已知函数f(x)＝xeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x2－a))，若存在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是________．
【答案】： (－1,5)
解法1 当x∈[1,2]时，f(x)<2，等价于|x3－ax|<2，即－2解法2 原问题可转化为先求：对任意x∈[1,2]，使得f(x)≥2时，实数a的取值范围．
则有x|x2－a|≥2，即|a－x2|≥eq \f(2,x).
(1) 当a≥4时，a≥x2＋eq \f(2,x)≥22＋eq \f(2,2)＝5，得到a≥5.
(2) 当a≤1时，x2－a≥eq \f(2,x)，有a≤x2－eq \f(2,x)≤1－eq \f(2,1)＝－1，得到a≤－1.
(3) 当10矛盾．
那么有a≤－1或a≥5，故原题【答案】为－1eq \a\vs4\al(解后反思) 对于存在性问题，可以直接转化为相应函数的最值问题，也可以参数和变量分离后再转化为函数的最值问题(如解法1)；也可以转化为命题的否定即恒成立问题来处理(如解法2)．
12、已知函数f(x)＝ex－1＋x－2(e为自然对数的底数)，g(x)＝x2－ax－a＋3，若存在实数x1，x2，使得f(x1)＝g(x2)＝0，且|x1－x2|≤1，则实数a的取值范围是________.
【答案】： [2,3]
解后反思 本题的突破口是利用函数f(x)的单调性求出x1＝1，然后转化成求函数值域问题，那么求实数a的取值范围就属于常规问题了，考生要特别关注这种创新与传统相结合的试题．
【问题探究，开拓思维】
例1、已知函数．
（1）若的两个零点均小于2，求实数a的取值范围；
（2）方程在上有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
【解析】 （1）由题意，等价于，解得或．
（2）①当时，此时在上有且只有一个实根，得；
②当时，即时，此时有，舍去；
③当时，即时，此时有或，舍去，
综上：．
eq \a\vs4\al(解后反思) 求解复合方程的解的问题，通常将复合方程转化为简单方程的复合形式，然后来分别研究简单函数的解的情况来研究问题
【变式1】、 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\ac\hs10\c2(x2－2ax－a＋1，,x≥0，,ln（－x），,x<0，)))g(x)＝x2＋1－2a.若函数y＝f(g(x))有4个零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a|\f(\r(5)－1,2)1))
eq \a\vs4\al(思路分析) 换元g(x)＝t，f(t)＝0，由g(x)＝x2＋1－2a＝t得x2＝t－(1－2a)，因为函数有四个零点，所以方程f(t)＝0有且仅有两个不相等的根t1，t2，且t1>1－2a，t2>1－2a，因为方程f(t)＝0的一个解为t＝－1，故按照1－2a与－1的大小关系，分三种情况讨论得出a的取值范围．
设g(x)＝t，因为函数y＝f(g(x))有四个不同的零点，所以方程f(t)＝0有且仅有两个不相等的根t1，t2，且由g(x)＝x2＋1－2a＝t，得x2＝t－(1－2a)，故t1>1－2a，t2>1－2a.
当t<0时，由ln(－t)＝0得t＝－1.
若1－2a＝－1，则a＝1，易得函数f(g(x))有五个不同的零点，舍去．
若1－2a<－1，则a>1，所以f(0)<0，所以方程f(t)＝0有且仅有一个正根，符合题意．
若1－2a>－1，则a<1，所以方程f(t)＝0必有两个正根，且t1>1－2a，t2>1－2a.
因为t>0时，f(t)＝t2－2at－a＋1，
所以a>0，Δ＝4a2－4(－a＋1)>0，f(0)>0，
f(1－2a)＝(1－2a)2－2a(1－2a)－a＋1>0，
解得eq \f(\r(5)－1,2)综上可知，eq \f(\r(5)－1,2)1，即{a|eq \f(\r(5)－1,2)1}．
eq \a\vs4\al(解后反思) 本题考查复合函数的零点问题，处理f(g(x))＝0解的个数问题，往往通过换元令t＝g(x)，f(t)＝0，研究t的解的个数，再讨论每一个解对应的g(x)＝t的解x的个数，常用数形结合的方法来处理．
【变式2】、已知函数f(x)＝x2－2ax＋a2－1，若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集，则实数a的取值范围是________．
【答案】： (－∞，－2]
eq \a\vs4\al(思路分析) 注意到f(f(x))<0是关于x的四次不等式，所以直接求解是有困难的，因此，首先得降次，由于f(x)可分解为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－a＋1))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－a－1))，从而应用整体思想，可将问题转化为a－1a－1，,x2－2ax＋a2－1