专题01 函数的性质及其应用-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点

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1、 已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(－1)＝________.
【答案】： －1
【解析】：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－(2－1)＝－1，因此f(0)＋f(－1)＝－1.
2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－3，则不等式f(x)≤－5 的解集为________．
【答案】 (－∞，－3]
【解析】：当x＞0时，f(x)＝2x－3＞－2；因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0；当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝2－x－3，f(x)＝－2－x＋3，此时不等式f(x)≤－5可化为－2－x＋3≤－5，解得x≤－3.综上所述，该不等式的解集为(－∞，－3]．
3、 若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－b， x≥0，,axx＋2， x<0))(a，b∈R)为奇函数，则f(a＋b)的值为________．
【答案】： －1

解法2 因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称，
当x＞0，二次函数的图像顶点为eq \f(b,2)，－ eq \f(b2,4)，
当x＜0，二次函数的图像顶点为(－1，－a)，
所以－eq \f(b,2)＝－1，－eq \f(b2,4)＝a，解得a＝－1，b＝2，
经验证a＝－1，b＝2满足题设条件，
所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.
4、设函数y＝ex＋eq \f(1,ex)－a的值域为A，若A⊆[0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－∞，2]
【解析】：因为ex>0 ，所以y＝ex＋eq \f(1,ex)－a≥2eq \r(ex·\f(1,ex))－a＝2－a，当且仅当ex＝1，即x＝0时取等号．故所求函数的值域A＝[2－a，＋∞)．又A⊆[0，＋∞)，所以2－a≥0，即a≤2.
5、设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋lneq \f(x,4)，记an＝f(n－5)，则数列{an}的前8项和为________.
【答案】：－16
【解析】数列{an}的前8项和为f(－4)＋f(－3)＋…＋f(3)＝f(－4)＋(f(－3)＋f(3))＋(f(－2)＋f(2))＋(f(－1)＋f(1))＋f(0)＝f(－4)＝－f(4)＝－24＋lneq \f(4,4)＝－16.
6．设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则的值为________．
【答案】1
【解析】，因为函数周期为2，所以，于是，
所以代入已知【解析】式中，有，即．
7、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－k，,x≤0，,1－kx＋k，,x＞0)))是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．
【答案】：eq \f(1,2)≤k<1
【解析】：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e0－k≤k,1－k>0，))解得eq \f(1,2)≤k<1.
本题中f(x)是R上的增函数，所以必须注意在x＝0处两段函数值的大小关系．
8、定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝lg2(2＋x)＋(a－1)x＋b(a，b为常数)．若f(2)＝－1，则f(－6)的值为________．
【答案】4
【解析】：由题意得f(0)＝0，所以lg22＋b＝0，所以b＝－1，f(x)＝lg2(2＋x)＋(a－1)x－1，又因为f(2)＝－1，所以lg2(2＋2)＋2(a－1)－1＝－1，解得a＝0，f(x)＝lg2(2＋x)－x－1，f(－6)＝－f(6)＝－[lg2(2＋6)－6－1]＝4.
【问题探究，开拓思维】
例1、.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是________．
【答案】(－∞，2]
【解析】：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数，所以f(x)在R上为单调增函数．又因为f(－1)＝－2，所以f(1)＝2，故f(2x－3)≤2＝f(1)，即2x－3≤1，解得x≤2.
【关联1】、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x.若f(a)＋f(－a)＜4，则实数a的取值范围为________．
【答案】. (－1，1)
解法1(奇偶性的性质) 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(a)＋f(－a)＝2 f(|a|)<4，即f(|a|)<2，即|a|2＋|a|<2，(|a|＋2)(|a|－1)<0，解得－1解法2(奇偶性的定义) 当x≤0时，－x≥0，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以，f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，故f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\ac\hs10\c2(x2＋x，,x≥0，,x2－x，,x≤0.)))
当a≥0时，f(a)＋f(－a)＝(a2＋a)＋(－a)2－(－a)＝2a2＋2a<4，解得0≤a<1；
当a≤0时，f(a)＋f(－a)＝(a2－a)＋(－a)2＋(－a)＝2a2－2a<4，解得－1eq \a\vs4\al(解后反思) 解法2是从函数的奇偶性定义入手，先求函数【解析】式，再对a分类求解，没有充分运用函数的奇偶性，而解法1借助了函数奇偶性的性质，即对于R上偶函数f(x)有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，把自变量化成非负值，避免分类讨论．
【关联2】 设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x，若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2))) eq \a\vs4\al(思路分析) 在函数性质问题中，出现“双f”特征“f(x＋a)≥f2(x)”应联想到直接代入【解析】式求解(解法1)、用函数的单调性求解(解法2)，故法1只需根据条件求出函数f(x)的【解析】式；法2的难点在于是否能够把f2(x)写成f(t)的形式，易知f2(x)＝f(2x)．
解法1(利用【解析】式) 当x≥0时，定义在R上的偶函数f(x)＝2x，易得，f(x)＝2|x|，x∈R.由f(x＋a)≥f2(x)得，2|x＋a|≥(2|x|)2，即|x＋a|≥|2x|对于x∈[a，a＋2]恒成立，即(3x＋a)(x－a)≤0对于x∈[a，a＋2]恒成立，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（3a＋a）（a－a）≤0，,[3（a＋2）＋a]（a＋2－a）≤0，))解得a≤－eq \f(3,2).
解法2(偶函数的性质) 当x≥0时，定义在R上的偶函数f(x)＝2x，易得，f(x)＝2|x|，x∈R，易证f2(x)＝f(2x)，x∈R，故由f(x＋a)≥f2(x)得，|x＋a|≥|2x|对于x∈[a，a＋2]恒成立，下同解法1.
例2、 已知函数f(x)＝sinx－x＋eq \f(1－4x,2x)，则关于x的不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0的解集为________．
【答案】： {x|2eq \a\vs4\al(解后反思) 解此类抽象不等式，很少运用函数表达式，通过代入将它转化为具体不等式来解，主要是运用函数的奇偶性、单调性、定义域等性质，通过去掉对应法则f，将它转化为关于变量x的具体不等式来解．
【关联1】、若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t满足f(ln t)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,t)))≤2f(1)，那么t的取值范围是________．
【答案】：
【解析】：f(ln t)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,t)))=f(ln t)＋，
函数f(x)是定义在R上的偶函数。
【关联2】、 已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋f(lgeq \f(1,a)3)>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
【答案】： (0,1)∪(3，＋∞)
【解析】：由函数f(x)的【解析】式易得，该函数为奇函数且在定义域R上是单调增函数．故f(1)＋f(lgeq \f(1,a)3)>0，即f(lgeq \f(1,a)3)>－f(1)＝f(－1)，即lgeq \f(1,a)3>－1＝lgeq \f(1,a)a.所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)>1，,3>a))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<\f(1,a)<1，,33.
eq \a\vs4\al(解后反思) 遇到解与函数值有关的不等式的问题首先考虑研究所给函数的单调性和奇偶性，将所给不等式转化为自变量不等式，不要忽视函数的定义域对自变量的限制．
【关联3】、已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是 ．
【答案】：.
【解析】:由题设可得,即,
故可化为，
即,又,
故,且，故.
【关联4】、设函数是定义在上的奇函数，若的最小正周期为3，且满足，则实数的取值范围是 ．
【变式】、已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为 ．
【答案】：
【解析】：， 为奇函数且为增函数。
【关联】、．已知函数，，则t的取值范围是 ．
【答案】：
【解析】：由得，
进而，所以
构造函数，则是奇函数，并且在R上是增函数
所以有，，解得
例3、（2016江苏高考）设是定义在R上且周期为2的函数，在区间[)上， 其中，若，则的值是 .
【解析】，则，得，
因此．
【关联1】、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1, 1]上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋1，－1≤x<0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))其中a，b∈R.若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，则a＋3b的值为________．
【解析】 因为f(x)的周期为2，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))).
又因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(1,2)a＋1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(\f(b,2)＋2,\f(1,2)＋1)＝eq \f(b＋4,3)，所以－eq \f(1,2)a＋1＝eq \f(b＋4,3).整理，得a＝－eq \f(2,3)(b＋1)．①
又因为f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝eq \f(b＋2,2)，即b＝－2a.②
将②代入①，得a＝2，b＝－4． 所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.
【关联2】、 已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .
【答案】：
【解析】 作出函数,的图象，可见，
当时，，，方程在上有
10个零点，即函数与直线在上有10个公共点，
图二
由于函数的周期为3，因此直线与函数,
的公共点数为4，则有．
例4、已知函数
（1）若为奇函数，求的值和此时不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为R．
∵为奇函数，∴对恒成立，
即对恒成立，∴．
此时即，解得，
∴解集为．
（2）由得，即，
令，原问题等价于对恒成立，
亦即对恒成立， 令，
∵在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，有最小值，∴．
【关联1】、设（为实常数）．
（1）当时，证明：不是奇函数；
（2）若是奇函数，求a与b的值；
（3）当是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的、c，
都有成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由．
当时，，
因为，所以，，
所以
而对任何实数成立；
所以可取=对任何、c属于，都有成立
当时，，
所以当时，；当时，
1）因此取，对任何、c属于，都有成立．
2）当时，，解不等式得：．所以取，对任何属于的、c，都有成立．