高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案设计，共11页。学案主要包含了点到直线的距离，两平行线间的距离，距离的综合应用等内容，欢迎下载使用。
2．3.3　点到直线的距离公式
2．3.4　两条平行直线间的距离
学习目标　1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．

知识点　点到直线的距离、两条平行线间的距离

点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长
图示


公式(或求法)
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝

思考1　点P (x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离怎样计算？
答案　P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；
P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.
思考2　两直线都与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？
答案　可以. 应用公式时要把直线方程都化为一般式方程．

1．当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了．(　×　)
2．点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)
3．直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．(　√　)
4．两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(　√　)

一、点到直线的距离
例1　(1)求点P(2，－3)到下列直线的距离．
①y＝x＋；②3y＝4.
解　①y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0，
则点P(2，－3)到该直线的距离为
＝.
②3y＝4可化为3y－4＝0，
则点P(2，－3)到该直线的距离为＝.
(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程．
解　设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
反思感悟　点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
跟踪训练1　(1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为________．
答案　2
(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为________．
答案　－6或
解析　由＝，
得|3m＋5|＝|m－7|，∴m＝－6或m＝.
二、两平行线间的距离
例2　(1)求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离；
(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程．
解　(1)由两直线平行得＝，
∴m＝6.
∴直线6x＋8y＋6＝0即为3x＋4y＋3＝0.
∴两平行直线间的距离d＝＝＝3.
(2)设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
由两平行线间的距离公式得
＝3，
解得m＝16或m＝－14.
故所求的直线方程为
3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
延伸探究　把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”．
解　由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0，可设l的方程为3x－4y＋c＝0，
又点P到l的距离为3，所以＝3.
解得c＝21或c＝－9，
所以，所求直线方程为
3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0.
反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝.
跟踪训练2　(1)已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　)
A．1 B．2 C. D．4
答案　A
解析　由两条直线平行可得＝，解得m＝24.即5x＋12y＋10＝0，
由两条平行线间的距离公式得d＝＝1.
(2)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．
因为A(1,1)，B(0，－1)．
所以kAB＝＝2，
所以两条平行直线的斜率为－，
所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
三、距离的综合应用
例3　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
解　(1)如图，显然有0