高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案，共12页。学案主要包含了双曲线的定义的应用，求双曲线的标准方程等内容，欢迎下载使用。

§3.2　双曲线
3．2.1　双曲线及其标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．

知识点一　双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2.
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
思考　(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
答案　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
知识点二　双曲线标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2


1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　×　)
2．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)
3．双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a> b．(　×　)
4．在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　×　)

一、双曲线的定义的应用
例1　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．
答案　x2－＝1
解析　由题意得
解得
则该双曲线的方程为x2－＝1.
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解　由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝×64×＝16.
反思感悟　双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
跟踪训练1　(1)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11 B．9 C．5 D．3
答案　B
解析　由题意得||PF1|－|PF2||＝6，
∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)
故选B.
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8 C．24 D．48
答案　C
解析　解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.
在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∴＝|PF1||PF2|＝24.
二、求双曲线的标准方程
例2　(1)以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．
答案　－＝1
解析　由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，
解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)求过点P，Q且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．
解　设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
因为点P，Q在双曲线上，
则解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
反思感悟　求双曲线的标准方程
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．
(2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线．
跟踪训练2　(1)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
答案　－＝1
解析　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是________．
答案　k>5或－2 解析　∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)>0.
即或
解得k>5或－2
双曲线在生活中的应用
典例　由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
解　设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，

以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，
则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)，①
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为－＝1(x≥2)，②
联立①②，得P点坐标为(8,5)，
∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
[素养提升]　利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．

1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
答案　D
解析　F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
2．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　)
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2
答案　A
解析　∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.
∴－2＜m＜2.
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)
A．1 B．1或－2
C．1或 D.
答案　A
解析　由题意知解得a＝1.
4．“0≤k<3”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　∵0≤k<3，∴∴方程＋＝1表示双曲线；
反之，∵方程＋＝1表示双曲线，∴(k＋1)(k－5)<0，解得－1 故“0≤k<3”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A.
5．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
答案　－y2＝1
解析　由
⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝，所以b＝1，
故双曲线的方程为－y2＝1.

1．知识清单：
(1)双曲线的定义．
(2)双曲线的标准方程．
2．方法归纳：待定系数法、分类讨论．
3．常见误区：
双曲线焦点位置的判断， 忽略双曲线上的点到焦点距离的范围．


1．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
答案　D
解析　由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．
由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A. B. C. D．(，0)
答案　B
解析　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，∴c＝，
故右焦点坐标为.
3．已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　)
A. B．5 C．7 D.
答案　D
解析　根据题意可知，双曲线的标准方程为
－＝1.
由其焦距为4，得c＝2，
则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
4．已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　)
A．3或7 B．6或14
C．3 D．7
答案　A
解析　连接ON，ON是△PF1F2的中位线，
∴|ON|＝|PF2|，
∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，
∴|ON|＝|PF2|＝7或3.
5．(多选)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是(　　)
A．2 B．－1 C. 4 D．－3
答案　AB
解析　设双曲线的方程为－＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，
∴－ 6．若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________．
答案　(2，＋∞)
解析　由曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，可得－＝1，
即有m>0，且m－2>0，解得m>2.
7．以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程为______________．
答案　－＝1
解析　由题意， 知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点A(4，－5)代入双曲线方程，得－＝1.
又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
8．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于________．
答案　
解析　由方程－＝1知a2＝16，b2＝9，即a＝4，c＝＝5.
在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，＝＝＝＝.
9．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
解　已知双曲线－＝1，
则c2＝16＋9＝25，∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题意知b2＝25－a2，
故所求双曲线方程可写为－＝1.
∵点P在所求双曲线上，
∴－＝1，
化简得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝.
当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－＜0，
不合题意，舍去，
∴a2＝1，b2＝24，
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
10．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
解　(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，

则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|·h，
∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴所求双曲线C的方程为－＝1.

11．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
A．双曲线的一支 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案　A
解析　设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得
|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝1，
又|O1O2|＝4，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．
12．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　B
解析　不妨设P是双曲线右支上一点，
在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，
∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，
∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝4.故选B.
13．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为________.
答案　
解析　因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，
所以F(2,0)．
因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．
因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，
所以P(2，±3)，|PF|＝3.
又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，
所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.
14．已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则|PQ|＝________，△PF1Q的周长为________．
答案　　
解析　∵c＝＝2，∴F2(2,0)．
又点P的横坐标为2，∴PQ⊥x轴．
由－y2＝1，得y＝±，故|PF2|＝.
∴|PQ|＝.
又P，Q在双曲线的右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝2，|QF1|－|QF2|＝2.
∴|PF1|＝|QF1|＝2a＋＝，
∴△PF1Q的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝.

15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线C′：－＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为__________．

答案　2k(a－m)
解析　光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，
如图，

|BF2|＝2m＋|BF1|，
|BF1|＋|BA|＋|AF1|＝|BF2|－2m＋|BA|＋|AF1|＝|AF2|＋|AF1|－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m)．
16．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
解　设顶点A的坐标为(x，y)，则
kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，
即－＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1 当m<－1时，椭圆焦点在y轴上；
当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)．