高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理第1课时学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理第1课时学案及答案，共12页。学案主要包含了向量概念的应用，空间向量的加减运算，空间向量的线性运算等内容，欢迎下载使用。

1．1.1 空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其线性运算
学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．
知识点一 空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
4．几类特殊的空间向量
思考 空间中的两个向量是不是共面向量？
答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
知识点二 空间向量的线性运算
思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？
答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．
思考2 由数乘λa＝0，可否得出λ＝0?
答案 不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0.
1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × )
2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ )
3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × )
4．向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．( √ )
一、向量概念的应用
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|＞|eq \(CD,\s\up6(→))|，则eq \(AB,\s\up6(→))＞eq \(CD,\s\up6(→))
D．相等向量其方向必相同
答案 D
解析 A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的加法满足结合律
D．任一向量与它的相反向量不相等
答案 BC
解析 |a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC.
反思感悟 空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练1 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若a≠b，则|a|≠|b|；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
答案 ①
解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．
二、空间向量的加减运算
例2 如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)eq \(AA′,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))；
(2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→)).
解 (1)eq \(AA′,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))－eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(A′D′,\s\up6(———→))＝eq \(AD′,\s\up6(—→)).
(2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(B′C′,\s\up6(——→))＝(eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(A′B′,\s\up6(———→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))
＝eq \(AB′,\s\up6(—→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＝eq \(AC′,\s\up6(—→)).
向量eq \(AD′,\s\up6(—→))，eq \(AC′,\s\up6(—→))如图所示．
延伸探究
试把本例中的体对角线所对应向量eq \(AC′,\s\up6(—→))用向量eq \(AA′,\s\up6(—→))，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))表示．
解 在平行四边形ACC′A′中，由平行四边形法则可得eq \(AC′,\s\up6(—→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→))，
在平行四边形ABCD中，
由平行四边形法则可得eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)).
故eq \(AC′,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→)).
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
跟踪训练2 (多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq \(BD1,\s\up6(—→))的是( )
A.eq \(A1D1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))
B.eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))－eq \(D1C1,\s\up6(—→))
C.eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DD1,\s\up6(—→))
D.eq \(B1D1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(DD1,\s\up6(—→))
答案 AB
解析 A中，eq \(A1D1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD1,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(—→))；
B中，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))－eq \(D1C1,\s\up6(—→))＝eq \(BC1,\s\up6(—→))＋eq \(C1D1,\s\up6(—→))＝eq \(BD1,\s\up6(—→))；
C中，eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DD1,\s\up6(—→))＝eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(DD1,\s\up6(—→))＝eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BB1,\s\up6(—→))＝eq \(B1D,\s\up6(—→))≠eq \(BD1,\s\up6(—→))；
D中，eq \(B1D1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(DD1,\s\up6(—→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(DD1,\s\up6(—→))＝eq \(BD1,\s\up6(—→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))≠eq \(BD1,\s\up6(—→)).故选AB.
三、空间向量的线性运算
例3 在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式．
(1)eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))；
(2)eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))．
解 (1)因为G是△BCD的重心，所以|eq \(GE,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3)|eq \(BE,\s\up6(→))|，
所以eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(GE,\s\up6(→))，又因为eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→))，
所以由向量的加法法则，可知eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \(GE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→)).
从而eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→)).
(2)如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，
则四边形APHQ为平行四边形，且有eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))，eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AQ,\s\up6(→))，而eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))，eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))，
所以eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))－eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FH,\s\up6(→)).
反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的注意点
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．
跟踪训练3 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若eq \(A1B1,\s\up6(—→))＝a，eq \(A1D1,\s\up6(—→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(—→))＝c，则下列向量中与eq \(B1M,\s\up6(—→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
答案 A
解析 eq \(B1M,\s\up6(—→))＝eq \(B1B,\s\up6(—→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝c＋eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
1．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
答案 D
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.
3．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(BA,\s\up6(→))
答案 B
4．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
答案 A
解析 ∵eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|.
∴四边形ABCD为平行四边形．
5．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案 3a－2b
1．知识清单：
(1)向量的概念．
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．
(3)向量的线性运算的运算律．
2．方法归纳：
三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．
3．常见误区：对空间向量的理解
应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．

1．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．模为0是一个向量方向不确定的充要条件
B．若向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))同向，则eq \(AB,\s\up6(→))＞eq \(CD,\s\up6(→))
C．若两个非零向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))满足eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，则eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))互为相反向量
D.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合
答案 AC
解析 A正确，模不为0的向量方向是确定的．
B错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
C正确，由eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，得eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))互为相反向量．
D错误，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))的充要条件是|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|，且eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))同向．但A与C，B与D不一定重合．
2．化简eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))所得的结果是( )
A.eq \(PM,\s\up6(→)) B.eq \(NP,\s\up6(→))
C．0 D.eq \(MN,\s\up6(→))
答案 C
解析 eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(NM,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(NM,\s\up6(→))－eq \(NM,\s\up6(→))＝0，故选C.
3．在空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(OA,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))
C.eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))
答案 C
4．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→))＋eq \(C1A1,\s\up6(—→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB1,\s\up6(—→))
答案 A
解析 在A选项中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→))＋eq \(C1A1,\s\up6(—→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0.
5．如果向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|，则( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))同向 D.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))同向
答案 D
6．设A，B，C，D为空间任意四点，则eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝________.
答案 eq \(AD,\s\up6(→))
解析 eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
7．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，化简eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))的结果是________．
答案 2eq \(AC,\s\up6(→))
解析 eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AC,\s\up6(→)).
8．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.
答案 2
9.如图所示的是平行六面体ABCD －A1B1C1D1，化简下列各式：
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))；
(2)eq \(DD1,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \(AC1,\s\up6(—→)).
(2)eq \(DD1,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA1,\s\up6(—→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(—→)).
10．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))，并标出化简结果的向量．
解 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
因为E，F，G分别为BC，CD，DB的中点，
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(GD,\s\up6(→)).
所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→)).
故所求向量为eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))，如图所示．
11．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(DB,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \(BA,\s\up6(→))
答案 D
解析 方法一 eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝(eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→)).
方法二 eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→)).
12．在三棱锥A－BCD 中，E是棱CD的中点，且eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))，则 eq \(AF,\s\up6(→))等于( )
A. eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
B. eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
C．－5eq \(AB,\s\up6(→))＋3eq \(AC,\s\up6(→))＋3eq \(AD,\s\up6(→))
D.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
答案 D
解析 因为 E 是棱 CD 的中点，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))，
所以 eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)).
13．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq \(A1B,\s\up6(→))＝________.
答案 －c－a＋b
解析 如图，
eq \(A1B,\s\up6(—→))＝eq \(B1B,\s\up6(—→))－eq \(B1A1,\s\up6(—→))
＝eq \(B1B,\s\up6(—→))－eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \(CC1,\s\up6(—→))－(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝________.
(2)用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(—→))表示eq \(OC1,\s\up6(—→))，则eq \(OC1,\s\up6(—→))＝________.
答案 (1)eq \(A1A,\s\up6(—→)) (2)eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))
解析 (1)eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→)).
(2)因为eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，
所以eq \(OC1,\s\up6(—→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)).
15．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若eq \(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(z,3)eq \(CC′,\s\up6(——→))，则x＋y＋z＝________.
答案 6
解析 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，eq \(AC′,\s\up6(——→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(——→))，
又eq \(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(z,3)eq \(CC′,\s\up6(——→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,\f(y,2)＝1，,\f(z,3)＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，,z＝3，))
∴x＋y＋z＝6.
16.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq \(AA1,\s\up6(—→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)eq \(AP,\s\up6(→))；
(2)eq \(A1N,\s\up6(—→))；
(3)eq \(MP,\s\up6(→)).
解 (1)∵P是C1D1的中点，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1D1,\s\up6(——→))＋eq \(D1P,\s\up6(—→))＝a＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(D1C1,\s\up6(——→))
＝a＋c＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq \f(1,2)b.
(2)∵N是BC的中点，
∴eq \(A1N,\s\up6(—→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝－a＋b＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AP,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
减法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
数乘
当λ>0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
当λ<0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))；
当λ＝0时，λa＝0
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.