人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用复习练习题

这是一份人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用复习练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课时分层作业(十七)　函数的极值与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．设函数f (x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f (x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)A．－x0是－f (－x)的极小值点B．对任意x∈R，f (x)≤f (x0)C．－x0是f (－x)的极小值点D．x0是－f (x)的极大值点A　[对于A，函数－f (－x)与函数f (x)的图象关于原点对称，因此－x0是－f (－x)的极小值点；对于B，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上f (x0)是否最大；对于C，函数f (－x)与函数f (x)的图象关于y轴对称，因此－x0是f (－x)的极大值点；对于D，函数f (x)与函数－f (x)的图象关于x轴对称，因此x0是－f (x)的极小值点，故D错误．]2．已知函数f (x)的导函数f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f (x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)　　　　 B．(0，＋∞)C．(0，1) D．(－1，0)D　[∵f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a<－1，∴f (x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f (x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1<a<0，则f (x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在x＝a处取得极大值，符合题意；若a>0，则f (x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D.]3．函数f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示则(　　)A．为f (x)的极大值点B．－2为f (x)的极大值点C．2为f (x)的极大值点D．为f (x)的极小值点A　[对于A选项，当－2＜x＜时，f ′(x)＞0，当＜x＜2时，f ′(x)＜0，为f (x)的极大值点，A选项正确；对于B选项，当x＜－2时，f ′(x)＜0，当－2＜x＜时，f ′(x)＞0，－2为f (x)的极小值点，B选项错误；对于C选项，当＜x＜2时，f ′(x)＜0，当x＞2时，f ′(x)＞0，2为f (x)的极小值点，C选项错误；对于D选项，由于函数y＝f (x)为可导函数，且f ′＜0，不是f (x)的极值点，D选项错误．故选A.]4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　)A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9xB　[∵三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，∴y′＝3x2＋2bx＋c.又x＝1，3是y′＝0的两个根，∴即∴y＝x3－6x2＋9x，又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，∴当x＝1时，f (x)极大值＝4 ，当x＝3时，f (x)极小值＝0，满足条件，故选B.]5．已知a为常数，函数f (x)＝xln x－ax2＋x有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　)A． B．(0，e)C． D．A　[f ′(x)＝ln x＋2－2ax，函数f (x)有两个极值点，则f ′(x)有两个零点，即函数y＝ln x与函数y＝2ax－2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数y＝ln x求导(ln x)′＝，则有解得要使函数图象有两个交点，则0＜2a＜e，即0＜a＜.故选A.]二、填空题6．已知函数f (x)＝x3－x2＋cx＋d无极值，则实数c的取值范围为________．　[∵f ′(x)＝x2－x＋c，要使f (x)无极值，则方程f ′(x)＝x2－x＋c＝0没有变号的实数解，从而Δ＝1－4c≤0，∴c≥.]7．(一题两空)若可导函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f ′(1)＝________，1是函数f (x)的________值．0　极大　[由题意可知，当x＜1时，f ′(x)＞0，当x＞1时，f ′(x)＜0，∴f ′(1)＝0，1是函数f (x)的极大值．]8．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f (x)极大值与极小值之差为________．4　[求导得f ′(x)＝3x2＋6ax＋3b，因为函数f (x)在x＝2取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a·2＋3b＝0，即4a＋b＋4＝0.              ①又因为图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，所以f ′(1)＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0， ②联立①②可得a＝－1，b＝0，所以f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当f ′(x)＞0时，x＜0或x＞2；当f ′(x)＜0时，0＜x＜2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)，因此求出函数的极大值为f (0)＝0＋c，极小值为f (2)＝－4＋c，故函数的极大值与极小值的差为0－(－4)＝4，故答案为4.]三、解答题9．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx－1，曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程为y＝－8x＋1.(1)求函数f (x)的解析式；(2)求y＝f (x)在区间(－1，4)上的极值．[解]　(1)因为f (x)＝x3＋ax2＋bx－1，所以f ′(x)＝3x2＋2ax＋b.所以曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程的斜率k＝f ′(x)|x＝1＝f ′(1)＝3＋2a＋b.又因为k＝－8，所以2a＋b＝－11. ①又因为f (1)＝1＋a＋b－1＝－8×1＋1，所以a＋b＝－7， ②联立①②解得a＝－4，b＝－3.所以f (x)＝x3－4x2－3x－1.(2)由(1)知，f ′(x)＝3x2－8x－3＝3(x－3)，令f ′(x)＝0得，x1＝－，x2＝3.当－1＜x＜－，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；当－≤x＜3，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；当3≤x＜4，f ′(x)＞0，f (x)单调递增．所以f (x)在区间(－1，4)上的极小值为f (3)＝－19，极大值为f ＝－.10．已知f (x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f (1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．[解]　f ′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c，(1)法一：∵x＝±1是函数的极值点，∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系知又f (1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0， ①3a－2b＋c＝0， ②又f (1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.(2)f (x)＝x3－x，∴f ′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．当x＜－1或x＞1时f ′(x)＞0，当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0.∴函数f (x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值，x＝－1为极大值点；当x＝1时，函数取得极小值，x＝1为极小值点．11．(多选题)定义在R上的可导函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是(　　)A．－3是f (x)的一个极小值点B．－2和－1都是f (x)的极大值点C．f (x)的单调递增区间是(－3，＋∞)D．f (x)的单调递减区间是(－∞，－3)ACD　[当x＜－3时，f ′(x)＜0，x∈(－3，＋∞)时f ′(x)≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3)．故选ACD.]12．(多选题)若函数f (x)＝x3＋2x2＋a2x－1有两个极值点，则a的值可以为(　　)A．0　    B．1　　　C．2　　　D．3AB　[∵f (x)＝x3＋2x2＋a2x－1，∴f ′(x)＝3x2＋4x＋a2.∵函数f (x)＝x3＋2x2＋a2x－1有两个极值点则f ′(x)＝3x2＋4x＋a2与x轴有两个交点，即Δ＝42－4×3×a2＞0解得－＜a＜，故满足条件的有AB.故选AB.]13．(一题两空)已知函数f (x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，这时f (x)的极大值是________．0　4e－2　[由题意知f ′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex.由f ′(0)＝－2m＝0，解得m＝0.则f (x)＝x2ex，f ′(x)＝(x2＋2x)ex，令f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，故函数f (x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)，所以函数f (x)在x＝－2处取得极大值，且有f (－2)＝4e－2.]14．(一题两空)已知函数f (x)＝xe2x－1，则函数f (x)的极小值为________，零点有________个．－－1　1　[∵f (x)＝xe2x－1，f ′(x)＝e2x＋2xe2x＝(1＋2x)e2x，令f ′(x)＝0，可得x＝－，如下表所示：x－f ′(x)－0＋f (x)↘极小值↗所以，函数y＝f (x)的极小值为f ＝－－1，f (x)＝0⇒e2x＝，则函数y＝f (x)的零点个数等于函数y＝e2x与函数y＝的图象的交点个数，如图所示：两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y＝f (x)只有一个零点．]15．已知函数f (x)＝(k∈R)．(1)k为何值时，函数f (x)无极值？(2)试确定k的值，使f (x)的极小值为0.[解]　(1)∵f (x)＝，∴f ′(x)＝.要使f (x)无极值，只需f ′(x)≥0或f ′(x)≤0恒成立即可．设g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k，∵ex＞0，∴f ′(x)与g(x)同号．∵g(x)的二次项系数为－2，∴只能满足g(x)≤0恒成立，∴Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，解得k＝4，∴当k＝4时，f (x)无极值．(2)由(1)知k≠4，令f ′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.①当＜2，即k＜4时，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：x2(2，＋∞)f ′(x)－0＋0－f (x)↘极小值↗极大值↘由题意知f ＝0，可得2·2－k·＋k＝0，∴k＝0，满足k＜4.②当＞2，即k＞4时，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：x2f ′(x)－0＋0－f (x)↘极小值↗极大值↘由题意知f (2)＝0，可得2×22－2k＋k＝0，∴k＝8，满足k＞4.综上，当k＝0或k＝8时，f (x)有极小值0.